利用导数研究函数的单调性专题Word格式文档下载.docx
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x
的极值是()
eC.eD.e2
4.(2019·
青岛月考)函数
f(x)=cos
x-x
在(0,π)上的单调性是()
A.先增后减B.先减后增
C.单调递增D.单调递减
5.(2017·
浙江卷)函数
y=f(x)的导函数
y=f′(x)的图象如图所示,则函数
y=f(x)的图象可能是(
)
6.(2019·
豫南九校考评)若函数
f(x)=x(x-c)2
在
x=2
处有极小值,则常数
c
的值为()
A.4B.2
或
6C.2D.6
2
考点一求函数的单调区间
4
3
(1)确定
a
的值;
g(x)=f(x)ex,求函数
g(x)的单调减区间.
【规律方法】1.求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数
f(x)的定义域;
f′(x);
(3)在定义域内解不等式
0,得单调递增区间;
(4)在定
义域内解不等式
0,得单调递减区间.
2.若所求函数的单调区间不止一个时,用“,”与“和”连接.
【训练
1】
(1)已知函数
f(x)=xln
x,则
f(x)()
A.在(0,+∞)上递增B.在(0,+∞)上递减
⎝e⎭
⎝
e⎭
(2)已知定义在区间(-π,π)上的函数
f(x)=xsin
x+cos
f(x)的单调递增区间为________.
【例
2】
(2017·
全国Ⅰ卷改编)已知函数
f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数
a≤0.
(1)讨论
f(x)的单调性;
f(x)≥0,求
的取值范围.
x2
考点三函数单调性的简单应用
角度
1比较大小或解不等式
⎝2
⎭
f′(x)是函数
f(x)的导函数,则下列不等式成立的是()
3
⎭
4
6
⎭⎝
e
f(x)1
ex,则不等式
F(x)<
e2的解集为()
A.(-∞,1)
C.(1,e)
B.(1,+∞)
D.(e,+∞)
2根据函数单调性求参数
h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数
的取值范围;
(2)若函数
h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数
3】
(1)已知
f(x)是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为
f′(x),且不等式
xf′(x)<
2f(x)
恒成立,则()
A.4f
(1)<
f
(2)B.4f
(1)>
f
(2)C.f
(1)<
4f
(2)D.f
(1)>
4f′
(2)
(2)(2019·
淄博模拟)若函数
f(x)=kx-ln
在区间(2,+∞)上单调递增,则
k
的取值范围是()
2⎦
【基础巩固题组】
(建议用时:
40
分钟)
一、选择题
1.函数
y=f(x)的图象如图所示,则
y=f′(x)的图象可能是()
2.函数
f(x)=x·
ex-ex+1
的单调递增区间是()
A.(-∞,e)
C.(e,+∞)
B.(1,e)
D.(e-1,+∞)
3.(2019·
青岛二中调研)若函数
f(x)=x3-12x
在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数
的取值范围
是()
A.k≤-3
或-1≤k≤1
k≥3B.不存在这样的实数
k
C.-2<
k<
2D.-3<
-1
1<
ln
x
A.f
(2)>
f(e)>
f(3)
C.f(3)>
f
(2)>
f(e)
B.f(3)>
f
(2)
D.f(e)>
f(3)>
5.(2019·
济宁一中模拟)函数
f(x)的定义域为
R,f(-1)=2,对任意
x∈R,f′(x)>
2,则
f(x)>
2x+4
的
解集为()
A.(-1,1)
C.(-∞,-1)
B.(-1,+∞)
D.(-∞,+∞)
二、填空题
6.已知函数
f(x)=(-x2+2x)ex(x∈R,e
为自然对数的底数),则函数
5
7.若函数
f(x)=ax3+3x2-x
恰好有三个单调区间,则实数
的取值范围是________.
32⎣3⎭
三、解答题
a31
9.已知函数
f(x)=
+
-ln
x-
,其中
a∈R,且曲线
y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线
y=
x.
(1)求
(2)求函数
f(x)的单调区间.
1e
10.(2019·
成都七中检测)设函数
f(x)=ax2-a-ln
x,g(x)=x-ex,其中
a∈R,e=2.718…为自然对数
的底数.
(2)证明:
当
x>
1
时,g(x)>
0.
【能力提升题组】
20
11.(2017·
山东卷)若函数
exf(x)(e=2.718
28…是自然对数的底数)在
f(x)的定义域上单调递增,则称函
数
f(x)具有
M
性质.下列函数中具有
性质的是()
A.f(x)=2-x
C.f(x)=3-x
B.f(x)=x2
D.f(x)=cos
⎛1⎫
集为()
6
A.(e,+∞)B.(0,e)
⎝e
14.已知函数
f(x)=aln
x-ax-3(a∈R).
(1)求函数
f(x)的单调区间;
y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线的倾斜角为
45°
,对于任意的
t∈[1,2],函数
g(x)=
⎣2⎦
15.(多填题)已知函数
f(x)=x3+mx2+nx-2
的图象过点(-1,-6),函数
g(x)=f′(x)+6x
的图象关于
y
轴对称.则
m=________,f(x)的单调递减区间为________.
7
答案
【答案】
(1)×
(2)√(3)×
(4)×
(5)√
【解析】
(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有
f′(x)≥0.
(3)函数的极大值也可能小于极小值.
(4)x0
为
f(x)的极值点的充要条件是
f′(x0)=0,且
两侧导函数异号.
【教材衍化】
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解析】由题意知在
x=-1
处
f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
A.
B.
e
C.e
D.e2
【答案】C
【解析】
因为
f′(x)=2-(ln
x+1)=1-ln
x,令
f′(x)=0,所以
x=e,当
0
时,解得
0<
x<
e;
e,所以
x=e
时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e.
【真题体验】
A.先增后减
C.单调递增
B.先减后增
D.单调递减
8
【答案】D
【解析】易知
f′(x)=-sin
x-1,x∈(0,π),
则
0,所以
在(0,π)上递减.
y=f(x)的图象可能是()
【解析】设导函数
y=f′(x)与
轴交点的横坐标从左往右依次为
x1,x2,x3,由导函数
y=f′(x)的图
象易得当
∈(
-∞,
x1)
∪(x2
,
x3)
时,
;
x∈
(x1
x2)
∪(x3
,+∞)时,
0(
其中
x1<
x2<
x3),所以函数
f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观
察各选项,只有
D
选项符合.
A.4
C.2
D.6
【解析】函数
的导数为
f′(x)=3x2-4cx+c2,
由题意知,在
处的导数值为
12-8c+c2=0,解得
c=2
6,
又函数
处有极小值,故导数在
处左侧为负,右侧为正,而当
e=6
时,f(x)=
x(x-6)2
处有极大值,故
c=2.
【考点聚焦】
【答案】见解析
9
【解析】
(1)对
f(x)求导得
f′(x)=3ax2+2x,
3⎝3⎭
⎝3⎭⎝3⎭332
⎝2⎭
令
g′(x)<
0,即
x(x+1)(x+4)<
0,
解得-1<
-4,
所以
g(x)的单调减区间为(-1,0),(-∞,-4).
⎝
(1)因为函数
x,定义域为(0,+∞),所以
f′(x)=ln
x+1(x>
0),当
时,
e⎝e⎭e
(2)f′(x)=sin
x+xcos
x-sin
x=xcos
x.令
f′(x)=xcos
0,则其在区间
(-π,π)上的解集为
⎭⎝2
考点二讨论函数的单调性
10
f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若
a=0,则
f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.
⎝2⎭
⎝⎝2⎭⎭
⎝2⎭⎭
(2)①当
a=0
时,f(x)=e2x≥0
恒成立.
⎝2⎭⎝
⎝2⎭⎭⎣4⎝2⎭⎦
⎣4⎝2⎭⎦
即
0>
a≥-2e4时,f(x)≥0.
综上,a
的取值范围是[-2e4,0].
【规律方法】1.
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0
的点和函数的间断点.
2.个别导数为
的点不影响所在区间的单调性,如
f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0
x=0
时取到),
f(x)在
R
上是增函数.
ax2-a
xx
(1)当
a≤0
时,f′(x)>
f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
(x+
a)(x-
a)
11
①当
x∈(0,
a)时,f′(x)<
f(x)的单调递减区间为(0,
a).
②当
x∈(
a,+∞)时,f′(x)>
f(x)的单调递增区间为(
a,+∞).
综上所述,当
时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
a>
时,函数
a),单调递增区间为(
【答案】
(1)B
(2)B
⎧π
cos
xcos2xcos2x
π
e2e⎝e⎭⎝e2
又
π
⎛π⎫
cos
(ex)2=ex,
又
f(x)-f′(x)>
0,知
F′(x)<
∴F(x)在
上单调递减.
由
e2=F
(1),得
1,
12
所以不等式
e2的解集为(1,+∞).
h(x)在(0,+∞)上存在单调减区间,
112
则当
时,x-ax-2<
有解,即
x2-x有解.
12
设
G(x)=x2-x,所以只要
G(x)min.
⎛1⎫2
-1.即实数
的取值范围是(-1,+∞).
(2)由
h(x)在[1,4]上单调递减,
1212
a≥x2-x恒成立,设
G(x)=x2-x,
a≥G(x)max.
x∈[1,4],所以
∈⎢
,1⎥,
77
G(x)max=-16(此时
x=4),所以
a≥-16.
717(7x-4)(x-4)
又当
a=-时,h′(x)=
+x-2=,
(7x-4)(x-4)
∵x∈[1,4],∴h′(x)=≤0,
当且仅当
x=4
时等号成立.
∴h(x)在[1,4]上为减函数.
13
⎫
⎣16⎭
【规律方法】1.利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为
先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.
2.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的
x∈(a,b)都有
f′(x)≥0
且在(a,b)内的任一非空子区间上,
f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
C.f
(1)<
4f
(2)
B.4f
(1)>
D.f
(1)>
A.(-∞,-2]
C.[2,+∞)
B.⎢
,+∞⎪
(1)设函数
f(x)
x2f′(x)-2xf(x)
xf′(x)-2f(x)
x2
x4
x3
12
>
22
,所以
4f
(1)>
f
(2).
11
xx
22⎣2⎭
【反思与感悟】
1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求
0,f′(x)<
的解区间,并注意函数
f(x)的定义域.
2.含参函数的单调性要注意分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性.
3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思
路解决.
【易错防范】
1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.
14
2.注意两种表述“函数
f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数
f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
3.在某区间内
0(f′(x)<
0)是函数
f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
4.可导函数
f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:
对
x∈(a,b),都有
f′(x)≥0(f′(x)≤0),且
f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
【分层训练】
【解析】由函数
f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在
(-∞,0)上,f′(x)>
0;
在(0,+∞)上,f′(x)<
0,选项
满足.
【解析】由
ex-ex+1,
得
f′(x)=(x+1-e)·
ex,
0,解得
e-1,
所以函数
f(x)的单调递增区间是(e-1,+∞).
k≥3
B.不存在这样的实数
15
D.-3<
f(x)=x3-12x,得
f′(x)=3x2-12,
f′(x)=0,解得
x=-2
x=2,
只要
f′(x)=0
的解有一个在区间(k-1,k+1)内,函数
f(x)在区间(k-1,k+1)上就不单调,则
k-1<
-2<
k+1
2<
k+1,解得-3<
3.
1-ln
∴x∈(0,e),f′(x)>
0,x∈(e,+∞),f′(x)<
故
时,f(x)max=f(e),
2ln
8ln
3ln
2636
【答案】B
2x+4,得
f(x)-2x-4>
0,设
F(x)=f(x)-2x-4,则
F′(x)=f′(x)-2,
2,所以
F′(x)>
上恒成立,所以
F(x)在
上单调递增.
F(-1)=f(-1)-2×
(-1)-4=2+2-4=0,故不等式
等价于
F(x)>
F(-1),所以
-1.
f(x)=(-
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