史上最全的难题排列组合大全Word文档下载推荐.docx

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四.定序问题倍缩空位插入策略

例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有

种方法。

思考:

可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

空模型处理

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

完成此事共分六步:

把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人

并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！

种排法即

！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!

种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七.多排问题直排策略

例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有

种,再排后4个位置上的特殊元素丙有

种,其余的5人在5个位置上任意排列有

种,则共有

种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

第一步从5个球中选出2个组成复合元共有

种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有

种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有

种排法，再排小集团内部共有

种排法，由分步计数原理共有

种排法.

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一　品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成９个空隙。

在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有

种分法。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2.

求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。

这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有

只含有1个偶数的取法有

和为偶数的取法共有

。

再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:

分三步取书得

种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则

中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有

种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以（为均分的组数）避免重复计数。

1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

（

）

名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有

种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有

种，由分类计数原理共有

种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.（27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

从5个球中取出2个与盒子对号有

种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有

种

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

（9）

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种

十六.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：

先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×

3×

5×

7×

11×

13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：

练习:

正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共

每个四面体有

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成

对异面直线

十七.化归策略

例17.25人排成5×

5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

将这个问题退化成9人排成3×

3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×

3方队中选3人的方法有

再从5×

5方阵选出3×

3方阵便可解决问题.从5×

5方队中选取3行3列有

选法所以从5×

5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140

十九.树图策略

例19．

人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过

次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中

号人不坐

号椅（

）的不同坐法有多少种？

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

二十一：

住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.

因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7

种.

染色问题的计数方法

一、区域染色问题

1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。

例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？

分析先给

四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×

2×

2＝48种

2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。

例2（2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？

分析依题意至少要

选用3种颜色。

（1）当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有

（2）当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有

种；

若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有

种，故用四种颜色时共有2

由加法原理可知满足题意的着色方法共有

＋2

＝24＋2×

24＝72种。

3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。

例3用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

（1）四格涂不同的颜色，方法数为

；

（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为2

（1）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为

因此，所求的涂法种数为

＋

＝260种

3.根据相间区域使用颜色的种类分类讨论

例4如图4，一个六边形的6个区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用

同一颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。

（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4×

3＝108种方法

（2）当相间区域A、C、E着两种不同颜色时，有

种着色方法，此时B、D、F有3×

2种着色方法，故共有

×

2＝432种着色方法。

（1）当相间区域A、C、E着三种不同颜色时，有

种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法，此时共有

2＝192种方法。

故总计有108＋432＋192＝732种方法

二点染色问题

点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:

（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；

（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。

例5将一个四棱锥S－ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法1满足题设条件的染色至少要用三种颜色

（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A、B、C、D四点，，此时只能A与C，B与D分别同色，故有

＝60种方法。

（1）若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有

种染法；

再从余下的两种颜色种任选一种染D或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有

＝240中方法。

（1）若恰用五种颜色，有

＝120种染法。

综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。

解法2设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S、A、B染色，有5×

4×

3＝60种染色方法。

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D与A、C、S不同色，有3种选择；

C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1×

3＋2×

2＝7种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法数是60×

7＝420种

评注图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。

您不妨一试。

（1）用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A、B、C、D、E染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）

（2）如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？

三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：

（2）根据相对的线段是否同色分类讨论。

例5用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8）

解法1

（1）使用四种颜色有

（2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有

（3）使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有

因此，所求的染色方法数为

＝84种

解法2染色按AB-BC-CD-DA的顺序进行，对AB、BC染色有4×

3＝12种染色方法。

由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：

当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择；

当CD与AB不同色时，CD有2种可供选择的颜色，DA有2种可供选择的颜色，从而对CD、DA染色有1×

由乘法原理，总的染色方法数为12×

7＝84种。

利用相同的方法可解决例7

例6中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个区域内坐定。

有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法

共有多少种？

例7用六种颜色给正四面体A－BCD的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）

分析正四面体有三组对棱AB与CD、AC与BD、AD与BC。

满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

解

（1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有

（2）若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的组内对棱同色，但组与组之间不同色，故有

（3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有

（4）若恰用六种颜色染色，则有

种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为

＝4080种

四面染色问题

例9（1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？

（注：

如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）

分析显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论。

解根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。

（1）用了六种颜色，确定某种颜色（例如红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种不同染色方案，这里的“第一面”总是相同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余3个面有3！

种染色方案，根据乘法原理n1＝5×

3！

＝30种

（2）用了五种颜色，选定五种颜色有

＝6种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2＝

5×

3＝90

（3）用了四种颜色，仿上分析可得n3＝

＝90

（4）用了三种颜色，n4＝

＝20

故总的染色方案有n＝n1＋n2＋n3＋n4＝230种。