利用三角形全等测距离解析Word文件下载.docx
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【点评】本题主要考查三角形全等的判定,看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS.
4.(2016秋•临清市期末)如图,要量湖两岸相对两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时可得△ABC≌△EDC,用于判定全等的是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断,注意看题目中提供了哪些证明全等的要素,要根据已知选择判断方法.
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:
CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL,做题时注意选择.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
5.(2016秋•微山县期末)如图,两棵大树间相距13m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°
,且EA=ED.已知大树AB的高为5m,小华行走的速度为lm/s,小华走的时间是( )
A.13B.8C.6D.5
【分析】首先证明∠A=∠DEC,然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD,进而可得EC=AB=5m,再求出BE的长,然后利用路程除以速度可得时间.
∵∠AED=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
∵ABE=90°
∴∠A+∠AEB=90°
∴∠A=∠DEC,
在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴EC=AB=5m,
∵BC=13m,
∴BE=8m,
∴小华走的时间是8÷
1=8(s),
B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是正确判定△ABE≌△ECD.
6.(2015秋•重庆校级月考)要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,点O为卡钳两柄交点,且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD之长了,其中的依据是全等三角形的判定条件( )
【分析】连接AB、CD,然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等,根据全等三角形对应边相等解答.
如图,连接AB、CD,
在△ABO和△DCO中,
∴△ABO≌△DCO(SAS),
∴AB=CD.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
7.(2014春•富平县期末)如图,△ABD≌△CDB,且AB,CD是对应边.下面四个结论中不正确的是( )
A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC,且AD=BC
【分析】全等的两个三角形一定能够完全重合,故面积、周长相等.AD和BC是对应边,因此AD=BC.
∵△ABD≌△CDB,AB,CD是对应边
∴∠ADB=∠CBD,AD=BC,△ABD和△CDB的面积相等,△ABD和△CDB的周长相等
∴AD∥BC
则选项A,B,D一定正确.
由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD,因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立
故选C.
【点评】本题主要考查了全等三角形性质的应用,做题时要结合已知与图形上的条件进行思考.
8.(2016春•贵阳期末)如图,是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A.45cmB.48cmC.51cmD.54cm
【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF,再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF(SAS),进而得出C△DEF=C△ABC=24cm,结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个金属框架所需这种材料的总长度.
∵BF=EC,BC=BF+FC,EF=EC+CF,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴C△DEF=C△ABC=24cm.
∵CF=3cm,
∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF=24+24﹣3=45cm.
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理(SAS).本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,熟练掌握全等三角形的判定定理是关键.
9.已知△ABC≌△A′C′B′,∠B与∠C′,∠C与∠B′是对应角,那么下列说法中:
①BC=C′B′;
②∠C的平分线与∠B的平分线相等;
③AC上的高与A′B′边上的高相等;
④AB上的中线与A′B′边上的中线相等,其中正确的说法的个数( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】全等三角形的对应边相等,对应角相等,
对应边上的对应高相等,对应中线相等,对应角平分线相等.
不是对应边上的高线,中线就不一定相等.
不是对应角的平分线也不一定相等.
∵△ABC≌△A′C′B′
∴BC=C′B′,AC上的高与A′B′边上的高相等.
①、③项正确.
【点评】本题考查了全等三角形性质的应用;
容易出现的错误是:
受字母的影响,找错对应角,与对应顶点,正确确定对应关系是解题的关键.
10.(2005春•怀宁县期末)小明不慎将三角形模具打碎为四块,若他只带其中一块到商店去,就能还配一块与原来一模一样的三角形模具,应带( )块去合适.
A.AB.BC.CD.D
【分析】此题应采用排除法通过逐个分析,只有D中保留了两角及一边,可确定其形状.从而确定最终答案.
A只保留了一个角及部分边,不能配成和原来一样的三角形玻璃;
B,C则只保留了部分边,不能配成和原来一样的三角形玻璃;
而D不但保留了一个完整的边还保留了两个角,所以应该带“D”去,根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃.
故选D.
【点评】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查,通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况.
11.(2012秋•云南校级期中)如图,欲测量内部无法到达的古塔相对两点A,B间的距离,可延长AO至C,使CO=AO,延长BO至D,使DO=BO,则△COD≌△AOB,从而通过测量CD就可测得A,B间的距离,其全等的根据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
【分析】根据已知:
CO=AO,DO=BO,对顶角∠AOB=∠COD,利用SAS可判断△COD≌△AOB.
在△COD和△AOB中,
∵
∴△COD≌△AOB(SAS).
【点评】本题考查了全等三角形的应用,在实际生活中,对于难以实地测量的线段,常常通过两个全等三角形,转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来,从而求解.
12.(2012•杭州模拟)我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞不论张开还是缩拢,△AED与△AFD始终保持全等,因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.你知道△AED≌△AFD的理由吗?
( )
A.SASB.ASAC.SSSD.AAS
【分析】由题意可知AE=AF,AD=AD,DE=DF根据三对边相等的两三角形全等即可证明△AED≌△AFD.
理由如下,
证明:
∵E、F为定点,
∴AE=AF,
又∵AD=AD,ED=FD,
∴在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(SSS).
【点评】本题考查了全等三角形的判断方法,常见的判断定理有:
(1)判定定理1:
SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等.
(2)判定定理2:
SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:
ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.
(4)判定定理4:
AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:
HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.
二.填空题(共7小题)
13.(2016春•保定校级期末)“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是 SSS (用字母表示).
【分析】根据题目中的条件DE=DF,EH=FH,再加上公共边DH=DH,可利用SSS证明△DEH≌△DFH,再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH.
【解答】证明:
∵在△DEH和△DFH中
∴△DEH≌△DFH(SSS),
∴∠DEH=∠DFH.
故答案为:
SSS.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是掌握判定三角形全等的方法,SSS、ASA、AAS、SAS.
14.(2016秋•临城县期末)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30cm,依据是 全等三角形对应边相等 和 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 (用文字语言叙述).
【分析】根据中点定义求出OA=OB,OC=OD,然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等,根据全等三角形对应边相等即可证明.
∵O是AB、CD的中点,
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD,
∵AD=30cm,
∴CB=30cm.
所以,依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等,全等三角形对应边相等.
两边及夹角对应相等的两个三角形全等,全等三角形对应边相等.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,比较简单,证明得到三角形全等是解题的关键.
15.(2016秋•诸暨市期中)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 20 m.
【分析】根据两平行线间的距离相等得到OB=OD,再由一对直角相等,一对内错角相等,利用ASA得到三角形AOB与三角形COD全等,利用全等三角形对应边相等即可求出CD的长.
∵AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,
∴OB=OD,
∵OB⊥AB,OD⊥DC,
∴∠ABO=∠CDO=90°
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(ASA),
∴CD=AB=20m,
20
【点评】此题考查了全等三角形的应用,垂直定义,以及平行线间的距离,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
16.(2013秋•莱城区校级期中)刘老师拿着一张三角形的硬纸板(△ABC)让各小组自制一个与它全等的三角形,第一小组测量了∠A的度数和AB、BC的长度;
第二小组分别测量了三边的长度;
第三小组测量了三个角的度数;
第四小组测量了BC、AC的长度及∠C的度数,那么你认为第 二、四 小组能制作出符合要求的三角形.
【分析】分别利用全等三角形的判定方法进行判断得出符合题意的图形.
如图所示:
第一小组测量了∠A的度数和AB、BC的长度;
此时利用ASS无法证明全等,故不能制作出符合要求的三角形;
此时利用SSS证明全等,故能制作出符合要求的三角形;
此时利用AAA无法证明全等,故不能制作出符合要求的三角形;
第四小组测量了BC、AC的长度及∠C的度数,此时利用SAS证明全等,故能制作出符合要求的三角形;
二、四.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
17.(2010•石家庄校级模拟)“石门福地”小区有一块直角梯形花园,测量AB=20米,∠DEC=90°
,∠ECD=45°
,则该花园面积为 200 平方米.
【分析】先根据,∠DEC=90°
得出△CDE是等腰直角三角形,即DE=CE,再根据平行线的性质及直角三角形的性质得出∠1=∠4,2=∠3,进而判断出△ADE≌△BEC,由全等三角形的性质可得出AD+BC=AB,再由梯形的面积公式即可求解.
∵∠DEC=90°
∴∠EDC=45°
∴DE=CE,
∵四边形ABCD是直角梯形,
∴AD∥BC,∠A=∠B=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠ECD=∠EDC=45°
∴∠1+∠3=90°
∵∠1+∠2=90°
,∠3+∠4=90°
∴∠1=∠4,∠2=∠3,
在Rt△ADE与Rt△BEC中,
∠1=∠4,ED=CE,∠2=∠3,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴AD=BE,AE=BC,
∴AD+BC=AB=20米,
∴该花园面积=
(AD+BC)×
AB=
×
20×
20=200(平方米).
200.
【点评】本题考查的是全等三角形的应用及梯形的面积公式、平行线的性质,根据题意得出Rt△ADE≌Rt△BEC是解答此题的关键.
18.如图,在新修的小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段绿色长廊上各修一小亭E,M,F,且BE=CF,点M是BC的中点,在凉亭M与F之间有一池塘,不能直接到达,要想知道M与F的距离,只需要测出线段 EM 的长度.理由是依据 全等三角形的对应边相等 可以证明 △BEM≌△CFM ,从而由全等三角形对应边相等得出.
【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM,从而得出CF=BE,即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离.
要想知道M与F的距离,只需要测出线段EM的长度.
理由是依据全等三角形的对应边相等可以证明△BEM≌△CFM,从而由全等三角形对应边相等得出.
连接EF
∵AB∥CD,(已知)
∴∠B=∠C(两线平行内错角相等).
∵M是BC中点
∴BM=CM,
∵在△BEM和△CFM中,
∴△BEM≌△CFM(SAS).
∴CF=BE(对应边相等).
EM,全等三角形的对应边相等,△BEM≌△CFM.
【点评】本题考查了全等三角形的应用;
关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等.
19.如图所示.A,B,C,D是四个村庄,B,D,C在一条东西走向公路的沿线上,BD=1km,DC=1km,村庄AC,AD间也有公路相连,且公路AD是南北走向,AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖,所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥,测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有 1.1 km.
【分析】根据BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°
,AD=AD,得出△ADB≌△ADC,进而得出AB=AC=3,这样可得出斜拉桥长度.
由题意知:
BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°
∵在△ADB和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC(SAS),
∴AB=AC=3km,
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7=1.1(千米).
1.1.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质,根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键.
三.解答题(共9小题)
20.(2017春•景泰县期末)小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°
,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°
,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可.
∵∠CPD=36°
,∠APB=54°
,∠CDP=∠ABP=90°
∴∠DCP=∠APB=54°
在△CPD和△PAB中
∴△CPD≌△PAB(ASA),
∴DP=AB,
∵DB=36,PB=10,
∴AB=36﹣10=26(m),
答:
楼高AB是26米.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键.
21.(2017春•抚顺县期中)课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图所示.
(1)试判断DC与BE的数量关系,并说明理由.
(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)
【分析】
(1)根据题意可得AC=BC,∠ACB=90°
,AD⊥DE,BE⊥DE,进而得到∠ADC=∠CEB=90°
,再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再证明△ADC≌△CEB即可得出答案;
(2)由题意得:
AD=4a,BE=3a,根据全等可得DC=BE=3a,根据勾股定理可得(4a)2+(3a)2=252,再解即可.
【解答】
(1)证明:
由题意得:
AC=BC,∠ACB=90°
,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
,∠ACD+∠DAC=90°
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴DC=BE;
(2)解:
∵一块墙砖的厚度为a,
∴AD=4a,BE=3a,
由
(1)得:
△ADC≌△CEB,
∴DC=BE=3a,
在Rt△ACD中:
AD2+CD2=AC2,
∴(4a)2+(3a)2=252,
∵a>0,
解得:
a=5,
砌墙砖块的厚度a为5cm.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,以及勾股定理的应用,关键是正确找出证明三角形全等的条件.
22.(2016春•府谷县期末)如图,A、B两建筑物位于河的两岸,为了测量它们的距离,可以沿河岸作一条直线MN,且使MN⊥AB于点B,在BN上截取BC=CD,过点D作DE⊥MN,使点A、C、E在同一直线上,则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离,请说明理由.
【分析】可以沿河岸作射线BF,且使BF⊥AB,在BF上截取BC=CD,过D点作DE⊥BF,使E、C、A在一条直线上,证明出这两个三角形全等,从而可得到结论.
∵AB⊥MN,
∴∠ABC=90°
同理∠EDC=90°
∴∠ABC=∠EDC,
在△ABC和△EDC中
∴△ACB≌△ECD(ASA),
∴AB=DE.
【点评】本题考查全等三角形的应用,关键是证明三角形全等,从而得到线段相等,得到结论.
23.(2016秋•乳山市期中)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°
),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
【分析】根据题意可得AC=BC,∠ACB=90°
,再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再证明△ADC≌△CEB即可,利用全等三角形的性质进行解答.
∴△ADC≌△CEB(AAS);
AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,
∴DE=DC+CE=20(cm),
两堵木墙之间的距离为20cm.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是正确找出证明三角形全等的条件.
24.(2016秋•玉环县期中)如图,在一个风筝ABCD中,AB=AD,BC=DC,分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC.
(1)∠B与∠D相等吗?
请说明理由;
(2)求证:
EC=FC.
(1)结论∠B=∠D,只要证明△ABC≌△ADC即可.
(2)欲证明EC=FC,只要证明△EBC≌△FDC,或△ACE≌△ACF即可.
(1)解:
结论∠B=∠D.
理由:
连接AC.
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠B=∠D
(2)∵点E与F分别是AB、A
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