高中数学曲线方程试题及答案Word下载.docx
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(1)求点P的轨迹T的方程;
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:
它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?
若存在,求出这样的点的坐标;
若不存在,说明理由.
14、已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦长MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
15、已知圆C:
x2+y2+x-6y+m=0与直线l:
x+2y-3=0.
(1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围;
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.
评卷人得分
二、选择题
(每空?
分,共?
分)
16、已知圆:
,则下列命题:
①圆上的点到的最短距离的最小值为;
②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等;
③已知,在圆上有且只有一点,使得以为直
径的圆与直线相切.真命题的个数为()
A.B.C.D.
17、若点和点到直线的距离依次为和,则这样的直线有()
A.条B.条C.条D.条
18、过点(1,1)的直线与圆相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()
A.B.4C.D.5
19、已知点M是抛物线y2=2px(p>
0)上的一点,F为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与y轴的关系是()
A.相交B.相切
C.相离D.以上三种情形都有可能
20、设A为圆(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为()
A.(x+1)2+y2=25B.(x+1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=25D.(x-1)2+y2=5
21、已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是()
A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0
22、圆x2+y2+4y=0在点P(,-1)处的切线方程为()
A.x+y-2=0B.x+y-4=0
C.x-y+4=0D.x-y+2=0
23、已知x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值为()
A.9B.14
C.14-6D.14+6
[
24、若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()
A.[-3,-1]B.[-1,3]
C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
25、若直线2ax+by+4=0(a、b∈R)始终平分圆x2+y2+2x+4y+1=0的周长,则ab的取值范围是()
A.(-∞,1]B.(0,1]
C.(0,1)D.(-∞,1)
26、设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()
A.-=1B.+=1
C.-=1D.+=1
27、已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是()
C.x2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0
28、对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()
A.相离B.相切
C.相交但直线不过圆心D.直线过圆心
29、已知圆C:
x2+y2=12,直线l:
4x+3y=25,则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()
A.B.
C.D.
30、若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()
A.2x+y-3=0B.x+y-1=0
C.x-y-3=0D.2x-y-5=0
三、填空题
31、已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______________.
32、过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.
33、若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________.
34、若直线l:
ax+by=1与圆C:
x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆C的位置关系是.
参考答案
一、简答题
1、
(1)
(2)
2、
3、
(1)
(2)最小值
4、
5、最大值和最小值分别是
6、
7、解:
⑴因为圆经过第一象限,与轴相切于点,得知圆的圆心在的正半轴上;
⋯⋯⋯⋯1分
由圆上的点到轴的最大距离为2,得知圆的圆心为,,半径为2.⋯⋯2分
所以圆的标准方程为.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
⑵若直线的斜率存在,设的斜率为,则直线的方程为,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径得,
解得,直线的方程:
;
若直线的斜率不存在,由直线与圆相切得直线的方程:
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
所以,直线的方程为或.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
⑶由直线与圆相交于、两点知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,点、,则直线的方程为,
由得,
即,,,
由向量,得,
由,,消去、得,
即,,化简得.⋯11分
且,即.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
所以的取值范围是.
8、
(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题意知y2+2=r2,x2+3=r2,从而得y2+2=x2+3.
∴点P的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设与直线y=x平行且距离为的直线为l:
x-y+c=0,由平行线间的距离公式得c=±
1.
∴l:
x-y+1=0或x-y-1=0.
与方程y2-x2=1联立得交点坐标为A(0,1),B(0,-1).
即点P的坐标为(0,1)或(0,-1),代入y2+2=r2得r2=3.
∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
9、[分析]
(1)根据弦长求法,求直线方程中的参数;
(2)由垂直关系找等量关系.
[解析]
(1)解法1:
如图所示,AB=4,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2,AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式:
,得k=.
k=时,直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
解法2:
当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5,
将②式代入,解得k=,
此时直线方程为3x-4y+20=0.
又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.
∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即=0,
(x+2,y-6)·
(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
10、
(1)由圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0,
得圆心坐标C(-1,2),半径r=,
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零.
设直线l的方程为x+y=a,
∵直线l与圆C相切,
∴=,
∴a=-1或a=3.
∴所求直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y),
又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|,
∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
∴2x-4y+3=0,
∴所求点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
11、3x-4y+6=0
[解析]设两圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点满足方程x2+y2+2x-6y+1=0与x2+y2-4x+2y-11=0,将两个方程相减得3x-4y+6=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3,用点到直线
的距离公式可以求得点C1到直线的距离为d==.
所以利用勾股定理得到AB=2=,
即两圆的公共弦长为.
12、[解析]
(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8,
∵直线y=x与圆C相切于原点O.
∴O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,
于是有
由于点C(a,b)在第二象限,故a<
0,b>
0.
∴圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),
则有
解之得x=或x=0(舍去).
所以存在点Q(,),使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.
13、
(1)法一:
连接CP,由=0知,AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|=|AB|,
由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,
设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,
化简得,x2-x+y2=4.
法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
根据题意知,x+y=9,x+y=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2,
∴4x2=x+2x1x2+x,4y2=y+2y1y2+y,
故4x2+4y2=(x+y)+(2x1x2+2y1y2)+(x+y)=18+2(x1x2+y1y2),①
又∵=0,∴(1-x1,-y1)·
(1-x2,-y2)=0,
∴(1-x1)×
(1-x2)+y1y2=0,故x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1,
代入①式得,4x2+4y2=18+2(2x-1),
化简得,x2-x+y2=4.
(2)根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中=1,∴p=2,故抛物线方程为y2=4x,
由方程组得,x2+3x-4=0,
解得x1=1,x2=-4,
由于x≥0,故取x=1,此时y=±
2,
故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).
14、
(1)
如图,设动圆的圆心O1(x,y),由题意知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H为MN的中点,
∴|O1M|2=|O1H|2+|MH|2=x2+16,
又|O1A|2=(x-4)2+y2,
∴(x-4)2+y2=x2+16,整理得y2=8x(x≠0),
当O1在y轴上时,∵|OA|=4=|MM|,
∴O1与O重合,此时点O1(0,0)也满足y2=8x,
∴动圆圆心O1的轨迹C方程为y2=8x.
(2)证明:
由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,
所以,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>
0,∴直线l的方程为y=k(x-1),
即直线l过定点(1,0).
15、
(1)将圆的方程配方,
得(x+)2+(y-3)2=,
故有>
0,解得m<
.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组,得
消去y,得x2+()2+x-6×
+m=0,
整理,得5x2+10x+4m-27=0,①
∵直线l与圆C没有公共点,∴方程①无解,
∴Δ=102-4×
5(4m-27)<
0,解得m>
8.
∴m的取值范围是(8,).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由OP⊥OQ,得=0,
由x1x2+y1y2=0,②
由
(1)及根与系数的关系得,
x1+x2=-2,x1·
x2=③
又∵P、Q在直线x+2y-3=0上,
∴y1·
y2==[9-3(x1+x2)+x1·
x2],
将③代入上式,得y1·
y2=,④
将③④代入②得x1·
x2+y1·
y2
==0,解得m=3,
代入方程①检验得Δ>
0成立,∴m=3.
二、选择题
16、D
17、C
18、B
【解析】弦心距最大为,此时|AB|的最小值为.
19、B
[解析]如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE,交直线l于点E,交y轴于点B;
由点M作准线l的垂线MD,垂足为D,交y轴于点C,
则MD=MF,ON=OF,
∴AB===,∴这个圆与y轴相切.
20、B
[解析]圆心C(-1,0),在Rt△ACP中,
设P(x,y),则|CP|=,所以(x+1)2+y2=5,选B.
21、A
[解析]由题意可设圆心坐标为(a,0)(a>
0)由点到直线的距离公式可得=2,
解得a=2或a=-(舍去),
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
22、A
[解析]解法1:
设切线y+1=k(x-),
即kx-y-k-1=0.
则圆心(0,-2)到切线距离等于圆的半径2,
,∴k=-,
∴切线方程为x+y-2=0.
∵切点A(,-1)与圆心C(0,-2)的连线应与切线垂直.
∴切线斜率k=-=-,
∴切线方程为y+1=-(x-),即x+y-2=0.
解法3:
∵切点A(,-1)在切线上,
∴排除B、C、D.
23、D
[解析]方程表示以(-2,1)为圆心,半径r=3的圆,
令d=,则d为点(x,y)到(0,0)的距离,
,
∴x2+y2的最大值为(+3)2=14+6.
24、C
[解析]本题考查直线与圆的位置关系.
圆的圆心为(a,0),半径为,所以≤,
即|a+1|≤2,
∴-2≤a+1≤2,
∴-3≤a≤1.
25、A
26、D
[解析]M为AQ垂直平分线上一点,
则|AM|=|MQ|.
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,(5>
|AC|)
∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,
∴椭圆的标准方程为+=1.故选D.
27、A
28、C
[解析]直线过定点(0,1),且点(0,1)为圆内一点,故选C.
29、B
30、C
[解析]由题知圆心C的坐标为(1,0),因为CP⊥AB,kCP=-1,所以kAB=1,所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0,故选C.
三、填空题
31、【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.
圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.
SABCD=
32、2
[解析]本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想.
点(3,1)在圆内,要使弦长最短,须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直,此时|CN|=,则弦长为2=2.
33、(x-2)2+(y+)2=
[解析]本题考查圆的方程求法.因为圆过(0,0),(4,0),可设其圆心(2,b),方程为(x-2)2+(y-b)2=r2,则有
所以圆方程为(x-2)2+(y+)2=.
34、在圆外
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