毕业论文高中数学常见最值问题及解题策略Word格式.docx
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意识.在近几年的高考题中,最值问题是考试命题的一个重点,它占了高考分数的
5%~23%.从题型上讲,主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现.从难易程度上
讲,主要有基础题、中档题和高档题三种题型.它在考查基础知识的同时,也逐步加强
了对能力的考查,高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度.因此,求
解最值问题将会是高考的一个难点,学生不但要较好地掌握各个分支的知识,还要善于
捕捉题目信息,有较强的思维能力,能够运用各种数学技能,灵活选择适当的解题方法,
方能达到事半功倍之效.文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、
向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高
中数学最值问题进行相关探讨,给出求高考数学最值问题的解题策略,为学生的备考和
教师的教学提供相应的指导.
2文献综述
2.1国内研究现状
对于中学数学中最值问题的求解,国内已经有了一定的探讨,文[1]-[5]中总结归
纳了最值问题的常用求解方法;
文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略;
文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值;
文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结;
文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果;
文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨;
文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充;
文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法;
文[13]给出了2005~2009年中最新五年高考真题及其详解;
文[14]~[15]介绍了函数
最值的概念及其求解方法;
文[16]给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值
问题的方法.
2.2国内研究现状评价
1
国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究,尤其是最值问题的常用求解方
法归纳比较全面系统.但是在近几年的高考题中,主要考查学生学以致用的能力,只利
用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题.高考很多最值问题都是要综合应用
相关知识的概念、性质、定理才可解决.现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题
的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法,并没有具体探讨高考数学中基
本最值问题的求解策略.
2.3提出问题
由于高考过程中,试题数量多、时间少、难度大,要在高考中获胜,必须要讲解题
方法“精”、“巧”、“练”.而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的
求解,最值问题的求解方法还不够完善,高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困
难.因此,本文将通过查阅相关资料,站在高考的角度,对高中数学常见最值问题及解
题策略进行总结、归纳、整理,进一步完善最值问题的求解策略,为学生的备考和教师
的教学提供相应的指导.
3高中数学常见最值问题及解题策略
最值问题是中学数学的一个重要内容,也是各种考试命题的一个热点.尤其在高考
命题中,它是必不可缺少的热门考点,在近几年的高考试卷中,函数的最值问题占了相
当大的比例.其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现,其目的在于考查学生对基
础知识的把握和灵活运用相关知识的能力.解决这类问题涉及的知识面较宽,要求学生
不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题,还要学生能根据知识的内在联系以及
函数本身的特征适当选择最优解题方案,达到事半功倍之效.
3.1无理函数的最值问题
求形如ya1x2b1xc1a2x2b2xc2的最值
此类题型求解最值的方法很多,一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法
和求导法.但在求解过程中这些方法的使用非常灵活,存在一定难度,要求对常用最值
求解工具较为熟悉,能根据解析式的特征联系相关知识,恰当、准确地选用最优解题方
案进行求解.而如何实现使用最优解题方案进行求解,关键是要认真捕捉题目信息,仔
细观察解析式,从而根据知识的内在联系,利用转化思想便可解决问题.
2
例1
求f
(x)
25
x2
7x2的最小值.
解
令y
7x,显然x
[5,0]有意义,有
y
(
7x)2
257x2(25x2)(x27x),
则
7x0,2(25x2)(x27x)0,(当x0时等号成立)
当x0时
ymin5,
所以
f(x)min7.
评析该题根据解析式的特征合理变形后,采用分析法.利用不等式的性质进行解答.本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力(各个时候取等号的条件的一致性,否则没有最值).
例2
求
f(x)
x2
4x
13
10x
26
3
(x
R)的最小值.
2)2
32
(5
x)2
12,设z1
(x
2)
3i,z2(5x)i,则
yz1
z2,且z1
z2
34i5,
有
z1z2z1z25
.
当且仅当
4时函数取得最小值.当
x
17时ymin
5,
5x
4
f(x)min8.
评析采用复数法,利用复数模的性质z1z2z1z2z1z2,把代数式转化为复数
模的关系进行求解.
求二元无理式的最值
二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点,虽然它的解题方法不少,但是解
答过程非常复杂繁琐,计算容易出错.而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解.
定理1
设x1,x2
R,y,y2
R,则x1
(x1
x2)2
(当且仅当x1:
y1
x2:
y2时
y1
y2
等号成立).
例3
若
5
,求f(x)
y+5的最小值.
令z
根据定理得
y2
z
1,
2)2
52
27,
,x1y
25时取得最小值.
当x
21,y
33时
27,
zmin
f(x)min16.
评析该无理函数求解最值的方法很多,但是相比之下,利用此定理使用松弛变量
法[16]更为巧妙,但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求,否则求解将会有误,在使用这种方法时,必须认真捕捉题目信息.
3.2三角函数的最值问题
在高考试卷中,求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁,几乎每年都会出
现,占高考分数的3%~8%.它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用.其难度
大,很多学生对此类问题“一筹莫展”.其实,三角函数的最值问题看似非常复杂,一
般使用常用最值求解方法很难求解,但是要解决它并不困难,只要充分理解其概念、性
质,牢记公式,能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简,
然后根据它的性质、定理逐步击破,便可解决问题.因此,在解决三角函数最值问题时,
关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用.
例4(2008年全国卷Ⅱ)
若动直线x
a与函数f(x)sinx和g(x)
cosx的图像分
别交于M、N两点,则MN
的最大值为(B).
g(x)sinx
cosx
2sin(x
),根据三角函数的性质可知,当
xk
k
z时,MNmax
g(x)max
2.故选B.
评析
本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用.
例5(2008年全国卷Ⅰ)
设ABC的内角A、B、C所对的边长为a、b、c,且
acosB
bcosA
3c.(Ⅰ)求tanAcotB的值.(Ⅱ)求tan(AB)的最小值.
(Ⅰ)由正弦定理知
a
csinA,b
csinB,
sinC
(sinA
cosB
sinBcosA)c
sinAcosB
cosBsinAc
sin(A
B)
cosAsinBc
cosAsinB
(tanAcotB
1)
c,
tanAcosB
由题意得
(tanAcotB
c
3c,
tanAcotB
解得
tanAcotB
4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
tanA4tanB,
则A、B都是锐角,于是
tanB0.
tan(AB)
tanAtanB
3tanB
,
1tanAtanB
14tan2B
且当tanB1时,上式取等号,所以tan(AB)的最大值为3.
24
评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力.学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简,从而由题设产生新的已知条件,为求解目标函数的最值打下坚实的基础.
例6(2008年四川卷)求函数y
74sinxcosx
4cos2x4cos4x的最大值与最小
值.
解由y
74sinxcosx4cos2x
4cos4x得y
(1sin2x)2
6.
由于函数z
(u
1)2
6在[1,1]中的最值为
zmax
10,zmin6.
故当sin2x
1时
ymax
10,
当sin2x1时
ymin
评析三角函数的公式非常多,学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式
进行变形,才能使问题简单化,否则将越化越复杂,无法解决.因此,学生不但要熟记
公式,还要有灵活运用公式的能力.
3.3数列的最值问题
数列的最值问题也是高考的一种题型之一,出现也较为普遍,它曾在
2009年四川
卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现.该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现,选择题的难度不大,而对解答题的解题能力的要求却很高,不但要求学生对其基础知识非常熟悉,还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力.针对这类问题,学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式.
例7(2009年安徽卷)已知an
为等差数列,a1a3
a5105,a2a4a6
99.以
sn表示an的前n项和,则使得sn达到最大值的n是(B
).
A.(21)
B.(20)
C.(19)
D.(18)
6
数列的最值
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