《线性代数》D复习1文档格式.docx
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3•若A~B,则R(A)=R(B)(P71);
4.若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A)(P71);
5.max{R(A),R(B)}<
R(A,B)<
R(A)+R(B)(P74);
(若用A,B分别表示A,B的列阶梯型,(A,B片(A,R),后者的非零列数为R(A)+R(B),故
其秩不会超过R(A)+R(B))
6.R(A+B)<
R(A)+R(B)(P74);
((A,B户(A+B,B)所以R(A+B)<
R(A+B,B)=R(A,B))
R(AB)<
min{R(A),R(B)}(P74,P98);
若A非奇异,则R(AB)=R(B)(P73);
TT
R(AA)=R(A)(通过(AA)x=0与Ax=0同解);
若=0,则R(A)+R(B)<
n(P74,P111);
矩阵的秩等于它的列(行)向量组的秩(P97)
矩阵的秩(P70),向量组的秩(P96),二次型的秩(P150)
线性变换的秩(P183)的定义
矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算,向量组的秩,极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题
(五)向量组线性相关性的结论:
1•向量组a1,a2,…,am线性相关=x1a1+x2a2+…xmam=0有非零解
吕矩阵的秩R(a1,a2"
■,amKm(P91);
2•当m:
>
n时,m个n维向量必线性相关(P92);
P93,P90);
3•线性相关向量组的扩充向量组仍线性相关,特别含零向量的向量组线性相关(
a1,a2,am(m>
2)线性相关二至少其中有一个向量可用其余m-1个向量线性表示(p91);
n个n维向量a1,a2/'
an线性相关二
(ai,a2,…,an)
=0(P91);
a1,a2线性相关二a1,a2的各分量对应成比例(p90)
注:
线性相关性的判定和证明
(六)
与线性方程组解有关的结论:
n元齐次线性方程组
Ax=0有非零解二R(A)vn(P8O);
特别,
若A的行数小于n,
则Ax=0必有非零解;
Ax=0的解集S是一个向量空间(解空间);
若R(A)=r,则解空间的维
数Rg=n-r
勺,©
2,…上n_c是基础解系,那么Ax=0
的通解为
X+C2J
+…+
3.n元非齐次线性方程组Ax=b有解二R(A)=R(A,b)(P8O);
特别,若A的行向量组线性无关,则Ax=b必有解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关
);
4.n元非齐次线性方程组Ax=b有解二b可以由A的列向量组耳,还,…
ain线性表示
Uai,a2,,ai与ai,a2/,ai,b等价;
5.设R(A)=R(A,b)=r,唯一解对应r=n,无限多解对应rcn。
在无限多解的情况下Ax=b
Cn/z+n*,其中q,©
2,…匸2是Ax=0的基础解系,n*是
Ax=b的特解(P80,P113);
6•若R(A)=R(A,b)=r,则n元非齐次线性方程组Ax=b有n—r+1个线性无关解(pii5/12
(2));
7•设n1“2,…,ns是非齐次线性方程组Ax=b的解,并令n=c/>
^c/>
2+…+
c^s,那
么n是Ax=b的解二G+C2+…+Cs=1
(A"
=c1A^1+c2An2+…+csA^^c1b+c2b+…+cs^(c1+9+…+cs)b),又若
令£
=ci巧+C2n;
+…+Cs^S,那么©
是Ax=0的解㈡C1+C2+…+Cs=0
线性方程组解的讨论和具体计算
(七)
方阵A正交的定义及其等价条件:
AtA=E(或AAT=E)(P124);
1T
a=a(P124);
AT正交(利用ATA=E与(AT)TAT=AAT=E互推);
a的列(行)向量都为单位向量且两两正交(P124);
a可逆且a正交;
(=:
可逆由定义得到,正交由2,3得到
6•对任何X和y,成立
=[X,y]
[aX,A,=(AXV(Ay)=XTATAy=XT(ATA)y=XTy=[X,7]。
u:
记B=AA—E=(b,j)n>
ti,
则bi,j=九&
=打丁人&
—=泌,启]—[睥]=0,i,j=12mn,
故B=0,从而AtA=E。
(八)对称矩阵
对任何
a为正(负)定的定义及其等价条件:
XH0,成立xTQoz(P160);
二次型
XTAx的标准形的n个系数全为正(负)(P161)
(或用正(负)惯性指数);
a的特征值全为正(负)(P161);
a的各阶主子式全为正(奇数阶为负,偶数阶为正)(P162);
a可逆且a正(负)定(利用a与a^特征值同号);
-a负(正)定(按定义推得)
半正(负)定问题
(九)特征值和特征向量的性质及其计算(4.2节)例如:
特征值的两个等式关系(P129);
a与®
(A),a与A,的特征值和特征向量的关系(P130);
a不同特征值的特征向量的线性相关性问题;
对称矩阵a不同特征值的特征向量的正交性问题
(十)化二次型为标准形(5.2节)
(配方法,初等变换法,正交变换法)
(十一)几种矩阵关系
1.等价关系,矩阵等价的不变量(秩),矩阵标准形;
,可对角化问题,约当标准形;
2.相似关系,矩阵相似的不变量(特征值)
3.合同关系,矩阵合同的不变量(有定性)
3.5节,
(十二)线性空间(向量空间)和线性变换(第六章)
1判定是否为线性空间(向量空间);
2.基到基的过渡矩阵,不同基下的坐标变换;
3.线性变换在基下的矩阵,同一线性变换在不同基下的矩阵的转化
可比较的一些关系
AB—般不成立(例如取A=—B,
(A+B)t=At+Bt(A和B都对称时,A+B也对称)
(A+B),一般不成立(例如0
101丿
I)
U0丿
A和B均正交推不出A+B正交(列(行)向量长度)
A和B均正定可推得A+B正定(XT(A+B)X=壬Ax+只Bx》0)
AB|=|BA=|A|B
(ab)t=atbt一般不成立,应有(AB)T=
111
(AB)—AB一般不成立,应有
(AB「
A和B均正交可推得AB正交
((AB)t(AB^Bt(AtA)^BtB
=E)
A和B均正定推不出AB正定(AB未必对称)
(例如A=
n1、
'
2P
AB-
,B—
均正定,但
U2丿
43」
不对称)
/A4\T
=(A)
(AT)"
lA-
A'
A=E=1)
(冰)'
(za)t=zat
)A=斗A一般不成立,应有
lA
屈=z|X一般不成立,应有I几x
若A正交,则
A=±
i(IA
at
E=1)
.*.nJ
A=A(P76/18
(2))
(XA)=沪£
*d
若A可逆,则(A」*=(A*)
((A」*=A」(A」f=A
‘A,
1_1
=(IAa)=
(A*)*=A(当n=2),(A*)*=A
n_2
(当n>
3)
(当n=2:
设A」a11aJ
Va21a22丿
,A*」a22
V~a21
—a1^1**
aj,(A)
1a11a12
la21a
当n>
3:
(1)若R(A)=n,则A*=AA
****1n-1ii1
(A)=A(A)=|A(AA)
丄、-J
A^a.
⑵若R(A)=n—1,由于AA*=AE=O,所以A*的列是Ax=
0的解,
因而R(A*)<
Rs=1<
n—2,这表明A*的任何n—1阶子式均等于零,故
**
(A)=0=
n-2
AA.
***In—2
(3)若R(A)<
n—2,则A=0,从而(A)=0=|AA)
R(A*)<
R(A)(当n>
2)(如上按R(A)=n,R(A)=n-1,
R(A)<
n—2分别讨论)
A与B相似HAT与BT相似(由定义推得)
•n阶方阵A有n个不同的特征值=A与对角阵相似(不能反推)
•n阶方阵A与B相似=存在n阶方阵P,使AP=PB(由定
义推得,除非P可逆一般不能反推,例如取
P0、,B
I10丿
(10
100丿
•A与B相似
例如A=
0、
AP=
0Lpb,但特征值不同)
=B(由定义推得,不能反推,例如
,A=B=0,但特征值不同)
=人与B的特征多项式相同(不能反推,
「00)
(0n2
,特征多项式均为几,但秩不同)
I00丿
•A与B相似不能推出
A与B具有相同的特征向量
勺0、
,B=
00、
,p=
.00丿
、01丿
=B,但A和B的特征向量分别为k!
01、
I正交,
10丿
p'
AP=PAP=
%0、
"
0T
J0丿
1。
丿
•A与At具有相同的特征值,但不一定具有相同的特征
向量(见上例)
•入1^2…£
TA,
+…
+=ai1+a22
ann
对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立
AllA12
(比较二阶行列式)
(例如
10
00
0i
Aii
—
=0,
A2
=
—0,A21—
―0,A22=
0c
-AllA22-Al^lA21
=0,右端为
零,而左端为1(「3㈠r4
,「2㈠
A21A22
=一A|B(比较P16)
但若A=Amm,
B=Bl賈,则成立
=(—nAB|
(此结果可通过
分块对角矩阵
IXm次列对换将行列式变为
P16形式)
fAO可逆二A和B均可逆,且
A,
(P58是更一般形式)
A和B均为方阵,那么
fO
A、
kB
。
可逆UA和B均可逆,且
gA、
B。
A」
O
A>
1
(注意:
非
B
(可按定义检验)
A」、
,与上一条目的顺序不同)
(有与P58对应的更一般形式)
设A和B均为方阵,那么
(O
O'
lAB*丿
fAO
*
A*O、
QB丿
.OB*」
Bhbjk,
(记C』AO、
1°
B丿
(1)当1<
i,j<
m时,
C的元素Cj=aj,cij的代数余子式
Cj=(—1甘MaiB
=AjB,Mij代表a”的余子式
(2)当m+1<
m+l时,Cj=b(i』)(j_m),所以
Gj=(-1)如爲2)
A—B(i-m)(j-m)
A,M(i-m)(j-m)代表b(i_m)(jJ)的余
子式
(3)其它范围内的Cjj=0,例如位于右上角,在算Cjj时
划去了A的一行和B的一列后,分块形式的第一对角块阶数为m-1,第二对角块阶数
为I且第一列全为零)
•AB=O推不出A=O或B=O(例如A=f01〕,B=卩0〕)
100)100丿
=0推不出
A=0(例如A=卩1
=A推不出
A=0或A=E(例如A=卩0
=E推不出
E(例如A=
四.教材上典型例题:
五.其它例子
排列n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)(n+3)…1(2n)的逆序数为
0+0+2+0+4+0屮"
+(2n—2)+0=n(n—1)。
n阶行列式D的零元素个数大于n2—n,贝UD=0。
(因为非零元素个数小于n)
设%,02,P为二维列向量,A=(«
「P),B=(«
2,P),则
2即=2(%
%5,
P)=2(|A+|b|)
若A=-A(反对称),且阶数n为奇数,则A=0。
個为A=At
=-a|=(-i)n|A=-|A)
n阶行列式中第一列元素全为2,_则An+A2n++Ann=0
(所求表达式可看作原行列式第n列元素全部用1替代后
的新行列式按第n列展开的结果,而新行列式第一列与第n列成比例)
若n阶矩阵A中每一列的诸元素之和为零,则
A=0。
T■■T
(因为条件相当于AX=0有非零解X=(1,1,…,1))
若A为3阶矩阵,A—E,A+E,A+2E都奇异,则
(由三个矩阵奇异推得A的三个特征值为1,—1,-2,
所以
A=1x(-1)(—2)=2)
111…1
•rn[a+(n—1)b]
r1和十n」)b]
[a+(n—1)b]
-b
=[a+(n-1)b](a-b)2
3■■■
4■■■
3-
1-n
2■-
0--
9.Dn
5■■■
2…n-1
1-n
2)
(2)
2(T)2
n」
-n
/\nJ
(—n)
1"
■■
0"
0…一n
Ci-C1iz2:
■:
n
0■■■
按r1展开(1
+口)
0■■■
n(n4)
2^1)2(nn+
n4
n)
a+bi
a
a…
aa
b1
Dn
十2
a"
aa+b2a…
a+b2
b
h
hh
+
■
■a・・
分C1
■・
-・・・
・・・・
a…a
+bn
a+bn
■■■aa
a+b2
■■■
b2
0…0
a+da…a
11
・・・・・
■■
+b1
1■■
・・・
—ab?
■-bn
+b1D
n二
0…bn
a…a+bn
b2…bn+b1(ab3…bn+b2D4ab1…咔+b1b2仙4…bn+b3儿)
“"
••bnSL+b1b2・・・bn」D1=b「・bn(a{J+1)
ybj
勺-1003
2134"
01-10
0213
001-1
0021
e001丿
卫002丿
11.设A=
解:
由于矩阵方程左端
,X(E-B/a)TBT=E
j1bj
,求X。
=X(B(E-BA))
=X(B-A)T,可解得
<
X=((B-A)t)」=((B-A)/)t
B-A=
C1cj
[OC11
(B-A)
D12〕,则由
D22丿
C1
.0
C12
C11八0
D11
D12]
(E0
推得
C11D11
=E,
5C11D22
[C11D12
+C12D22
,所以D11
D22=C11
=0
D12=-C11C12D22
1-2
0、。
代入(B-A)」并转置便有
—2
(也可用行初等变换直接求
(B-A),:
(b-a,e
f1
3
444_L^3⑷ijrhR
n,
r^r口
—21
1-2
-2
12.求向量组
x:
=(132,0),X:
=(7,0,8,3),XT=(2,—1,巴1),
(1
7
5"
\
「1
5、
.4^44
-1
「2匚「1「3/R
0-21
-7
-14
解:
(X1,X2,X3,X4)
8
k
6
-6
4-4
-4
2>
2>
参数。
Xj=(5,162)的秩和它的一个最大无关组,
并把其它向量表示为最大无关组的线性组合,其中4为
㈠
r2^r-^4「3七「2「4专「2
0>
「2*
r1孔
当4=2时,
是A的一个最大无关组,
R(A)=2,XT,xT是A的一个最大无关组,
当4H2时,R(A)=3,X!
x:
xT
X4=1XZ+2X2+0x!
33
13.设a1,a2,…,as线性无关,问d=a1+a2,tb=a2+a3,…,bs=as+印是否一定线性
无关?
(对照P92例3)
考虑X1bi+x2b2+…+Xsbs=0,
即X1(a1七2)%2@2七3)十…+Xs(as+6)=0,
亦即(X1+Xs)a1+以+X2)a2+…+(Xs一+^)4$=0。
由于a1,a2"
as线性无关,故
Xj+Xs=0
Xj+X2=0
(*)
Xs」+Xs
该方程组的系数行列式
0■-0
匸・・"
r丰」
I
:
0…1
1+(-1产
所以当s为奇数时,(*)
=1+(—1)
dJ2S为奇数
[0,s为偶数
只有零解,对应bi,b2"
-,bs线性无关,
当s为偶数时,(*)有非零解,对应bi,b2/-,bs线性相关。
14.设优,p2,…,3汕是Ar^^x=b的s+1个线性无关解(
S<
n),
R(Am>
n)=n-s。
求Am脚X=b的通解。
由Pl,P2,…,Ps啪是Am洵X=b的解得到朴氐
的s个解,又因为对于
—Ps屮,…,Ps—Ps屮是Am河X=0
k1(p1-氏十)+…+ks(Ps-Ps+)=0,即
kiPi+…+ksPs-(ki+…+ks)Ps十)=0由
氏,S,…FsH.线性无关推得
k1=k2="
・=ks=0,故以上A^^x-O的s个解线性无关,构成A^^x-O的一个基
础解系(R(Am浦)+s=n),从而Am对x=b的
通解为X=C1(宵—代十)+…+Cs(P:
—^勺)+叭卅。
15.
当r,t为何值时,以下方程组有解,并求其所有的解
%+X2-2X3+3X4=0
+X2-6X3+4&
=-1
3为+2x2+rx3+7x4=-1
為-X2-6X3-X4=t
03
4
r
r2Jrir^^ri
r+6
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