空间几何体基础解答题含答案Word格式.docx
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空间几何体基础解答题含答案Word格式.docx
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(主视图投影面平行平面DCC1D1,主视方向如图所示.请将三视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框)
(2)若截面△MNH是边长为2的正三角形,求该几何体的体积V.
11.(2016•普陀区一模)某种“笼具”由,外两层组成,无下底面,层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24πcm,高为30cm,圆锥的母线长为20cm.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
12.(2016•崇明县二模)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=6,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18.
(1)求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积;
(2)求异面直线BC1与AA1所成角的大小.
13.(2016•静安区二模)如图,半径为2的半球有一接正六棱锥P﹣ABCDEF(底面正六边形ABCDEF的中心为球心).求:
正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积.
14.(2016春•华蓥市期末)如图,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的接圆柱;
(1)求圆柱的表面积;
(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.
15.(2016春•双鸭山校级期末)如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O上,AB为圆O的直径,圆柱的侧面积为16π
,OA=2,∠AOP=120°
.试求三棱锥A1﹣APB的体积.
16.(2016春•虹口区期中)如图,AB是圆柱的直径且AB=2,PA是圆柱的母线且PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积;
(2)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值;
(3)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
17.(2014春•期末)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2,点E、F分别是两条棱的中点
(1)证明:
四边形EFBD是一个梯形;
(2)求三棱台CBD﹣C1FE的体积.
18.(2013•普陀区一模)如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方米需要涂胶100克,共需胶多少?
19.(2013秋•东昌区校级期中)如图,四边形ABCD为矩形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积.
20.(2010•徐汇区校级模拟)斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°
角,求此三棱柱的侧面积和体积.
21.(2009秋•开平市期末)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?
请用你的计算数据说明理由.
22.(2007•浦区二模)(理)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图),AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.
(1)当异面直线AD1与EC所成角为60°
时,请你确定动点E的位置.
(2)求三棱锥C﹣DED1的体积.
23.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积.
(1)如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S= .
(2)如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S= .
24.已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π,且两个截面之间的距离为9,求球的表面积.
参考答案与试题解析
【分析】利用体积求出底面面积,然后求出VB﹣ADEC的体积,再求下部体积即可.
【解答】解:
由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC•AA1
=•AC•BC•4=10,得:
AC•BC=5(4分)
VB﹣ADEC=S△ADEC•BC
=•(AD+CE)•AC•BC=2.5(4分)
此容器最多能盛水:
VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5(L).(4分)
【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查棱柱、棱锥的体积,是基础题.
【分析】
(1)根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理,可得MN∥A′C′∥AC,且MN=A′C′=AC,进而可判断四边形MNA′C′的形状;
(2)利用勾股定理,求出梯形的高,代入梯形面积公式,可得答案.
(1)∵ABCD﹣A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,M,N分别是CD和AD的中点.
∴AC=a,MN∥A′C′∥AC,且MN=A′C′=AC=,
故四边形MNA′C′为梯形;
(2)由长方体ABCD﹣A′B′C′D′的高为2a,
故梯形的高为=a,
故四边形MNA′C′的面积S=(+a)×
a=a2.
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,梯形面积的求法,难度不大,属于基础题.
【分析】由题意知,截面为等腰梯形,求出上下底边长及高即可.
由题意知,截面为等腰梯形,
上底边长为2×
=8;
下底边长为2×
=16;
梯形的高为=;
故截面面积S=×
(8+16)×
=12(cm2).
【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力,属于基础题.
(1)设圆柱的底面半径为r,根据相似比求出r与x的关系,代入侧面积公式即可;
(2)利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值,代入体积公式即可.
(1)设圆柱的半径为r,则,∴r=2﹣x,0<x<2.
∴S圆柱侧=2πrx=2π(2﹣x)x=﹣2πx2+4πx.(0<x<2).
(2),
∴当x=1时,S圆柱侧取最大值2π,
此时,r=1,所以.
【点评】本题考查了旋转体的结构特征,体积计算,属于基础题.
(I)先利用正视图正三角形的性质,计算圆锥的底面半径和母线长,再利用圆锥的侧面积计算公式即可得圆锥的侧面积;
(II)利用圆锥的体积计算公式,先算小圆锥的体积,再用大圆锥的体积减小圆锥的体积,即可得圆台的体积,进而得两部分体积之比
(Ⅰ)由题意得圆锥底面半径r=1,母线长l=2.∴S侧=πrl=2π.
(Ⅱ)设圆锥的高为h,则h=,r=1,
∴小圆锥的高h′=,小圆锥的底面半径r′=,
∴..
∴V圆台=V圆锥﹣V小圆锥=Sh﹣S′h′==.
∴.
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积计算公式,圆锥的体积计算公式,圆台体积的计算方法,求分割几何体的体积之比的计算方法,属基础题
【分析】过C做AB边上的高,垂足为CD,则以边AB为轴旋转一周,得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥,结合圆锥的侧面积公式和体积公式,可得答案.
过C做AB边上的高,垂足为CD,则以边AB为轴旋转一周,得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥,
时,
∵AB=2,
故CD=,
此时旋转体的体积V=π(DA+DB)=πAB=2π;
(2)当∠A=60°
,AC=BC=2,
旋转体的表面积=2×
(π×
×
2)=4,
当∠A=60°
,AC=BC=,
CD=1,
1×
)=2π.
【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的体积表面积公式,难度不大,属于基础题.
【分析】设AF=x,结合菱形的边长相等及勾股定理,可得菱形BED1F的边长为,进而可得BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为,高为1的平行四边形.
在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
BC1=AD1=,
设AF=x,则﹣x=,
解得:
x=,
即菱形BED1F的边长为﹣=,
则BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为,高为1的平行四边形,
其面积为:
.
【点评】本题考查的知识点是平行投影,其中分析出BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为,高为1的平行四边形,是解答的关键.
【分析】在OABC的等腰梯形中,作出EC⊥OA于E,BA⊥OA于F,利用斜二测画法画出直观图.
【点评】本题考查了平面图形直观图的画法,解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤.
(1)根据空间几何体的正视图和俯视图即可判断该几何体的直观图.
(2)根据空间几何体的结构,即可得到该几何体的侧视图.
(1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥.
(2)侧视图(如图)
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离,
即是棱锥的高,,
所以侧视图的面积为.
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用,要求熟练掌握常见空间几何体的三视图,比较基础.
(1)根据三视图的定义可画出该几何体的三视图
(2)由正三角形△MNH是的边长,先求出截掉的三棱锥的棱长和体积,用正方体的体积减掉小三棱锥的体积即可
【解答】解
(1)
(2)设原正方体中由顶点B1出发的三条棱的棱长分别为B1M=x,B1N=y,B1H=z.
结合题意,可知,,解得.
因此,所求几何体的体积=
【点评】本题考查由三视图求面积、体积,求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质,熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式是关键
(1)笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积;
(2)求出笼具的表面积即可,笼具的表面积包括圆柱的侧面,上底面和圆锥的侧面.
(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,高为h1,则2πr=24π,解得r=12cm.h1=cm.
∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×
(122×
30﹣×
122×
16)=3552π≈11158.9cm3.
(2)圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2,
圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2,
圆锥的侧面积为πrl=240πcm2.
故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2.
故制造50个这样的笼具总造价为:
元.
答:
这种笼具的体积约为11158.9cm3,生产50个笼具需要元.
【点评】本题考查了圆柱,圆锥的表面积和体积计算,属于基础题.
(1)通过三棱柱的体积求出底面积,通过三角形的面积求出,然后求解三棱柱的表面积.
(2)说明∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角通过解三角形求解即可.
(1)因为三棱柱的体积为,AA1=6.S△ABC•AA1=18.
从而,因此.…(2分)
该三棱柱的表面积为.…(4分)
(2)由
(1)可知
因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,…(8分)
在Rt△BC1C中,,所以∠BC1C=.
异面直线BC1与AA1所成的角…(12分)
【点评】本题考查棱柱的体积求法,表面积的求法,异面直线所成角的求法,考查计算能力.
【分析】正六棱锥P﹣ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,求出正六边形的边长,求出侧面斜高,即可求出正六棱锥的体积、侧面积.
设底面中心为O,AB中点为M,连结PO、OM、PM、AO,则PO⊥OM,OM⊥AF,PM⊥AF,
∵OA=OP=2,∴OM=,
∴S底=6×
2×
=6.
∴V=×
6×
2=4.…6分
∵PM==.…8分
∴S侧=6×
=6.…12分.
【点评】本题是基础题,考查空间想象能力,计算能力,能够得到底面是大圆,求出斜高,本题即可解决,强化几何体的研究,是解好立体几何问题的关键.
(1)利用S表面积=2S底+S侧,求圆柱的表面积;
(2)求出三棱锥、圆柱的体积,即可求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.
设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r,高分别为h、h′.
(1)圆锥的高h==2,
又∵h′=,
∴h′=h.∴=,∴r=1.
∴S表面积=2S底+S侧=2πr2+2πrh′
=2π+2π×
=2(1+)π.…(6分)
(2)所求体积
=…(12分)
【点评】本题考查圆柱的表面积、三棱锥、圆柱的体积,考查学生的计算能力,比较基础.
【分析】利用侧面积公式计算AA1,计算出AP,BP代入棱锥的体积公式即可得出三棱锥A1﹣APB的体积.
S圆柱侧=2π•OA•AA1=4π•AA1=16π,
∴AA1=4,
∵∠AOP=120°
,OA=OP=2,
∴AP=2,BP==OA=2.
∴V===.
【点评】本题考查了圆锥的体积公式,属于基础题.
(1)代入面积公式和体积公式计算即可;
(2)三棱锥的高为定值,边AB为定值,故当C到直线AB的距离取得最大值时,底面积最大,故棱锥的体积最大;
(3)反向延长AB至C′,使得AC=AC′,则C′D为CE+DE的最小值.
(1)圆柱的侧面积S侧=2πrh=2π×
2=4π.
圆柱的体积V=πr2h=π×
12×
2=2π.
(2)三棱锥P﹣ABC的高h=2,底面三角形ABC中,AB=2,点C到AB的最大值等于底面圆的半径1,
∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值等于×
2=.
(3)将△PAC绕着PA旋转到PAC′使其共面,且C′在AB的反向延长线上.
∵PA=AB=2,,,BC′=3,
由余弦定理得:
,
∴CE+ED的最小值等于.
【点评】本题考查了圆柱的结构特征,面积与体积计算,属于基础题.
(1)利用梯形定义证明,EF∥BD,显然DE、BF不平行;
(2)利用棱台的体积公式计算,分别计算上下底面积,CC1为高.
【解答】
正方体ABCD﹣A1B1C1D1,点E、F分别是两条棱的中点,
∴EF∥B1D1,由B1D1∥BD,∴EF∥BD,显然DE、BF不平行,
∴四边形EFBD是一个梯形;
(2)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2,点E、F分别是两条棱的中点,
∴C1E=C1F=1,=C1E×
C1F=
S△CBD==2,CC1=2,
VCBD﹣C1FE==.
【点评】本题考查线线平行,及棱台的体积计算,掌握基本定理及公式是关键,属基础题.
(1)根据圆柱筒的直径,可得半球的半径R=3cm,从而得到上下两个半球的体积之和,再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积,相加即得该“浮球”的体积大小;
(2)由球的表面积公式和圆柱侧面积公式,算出一个“浮球”的表面积S,进而得到2500个“浮球”的表面积,再根据每平方米需要涂胶100克,即可算出总共需要胶的质量.
(1)∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm,
∴半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,
∴两个半球的体积之和为cm3…(2分)
而cm3…(2分)
∴该“浮球”的体积是:
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…(4分)
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
cm2…(6分)
而“浮球”的圆柱筒侧面积为:
S圆柱侧=2πRh=2×
π×
3×
2=12πcm2…(8分)
∴1个“浮球”的表面积为m2
因此,2500个“浮球”的表面积的和为m2…(10分)
∵每平方米需要涂胶100克,
∴总共需要胶的质量为:
100×
12π=1200π(克)…(12分)
这种浮球的体积约为169.6cm3;
供需胶1200π克.…(13分)
【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”,计算了它的表面积和体积,着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识,属于基础题.
【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球,利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可.
图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积,
得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球,
半球的表面积为.
圆柱的底面半径为2,高为4,
∴圆柱的底面积为π×
22=4π,
圆柱的侧面积为2π×
4=16π,
∴该几何体的表面积为8π+4π+16π=28π.
【点评】本题主要考查旋转体的表面积,要求熟练掌握常见几何体的表面积公式.比较基础.
20.(2010•徐汇区校级模拟)斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA′与底面相邻两边AB
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