人教版八年级下册第十八章 平行四边形 单元测试含答案.docx
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人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案
第十八章平行四边形
一、选择题
1.如图,在▱ABCD中,CE⊥AB,且E为垂足.如果∠D=75°,则∠BCE等于( )
A.105°
B.15°
C.30°
D.25°
2.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选一个作为补充条件后,使得四边形ABCD是菱形,现在下列四种选法,其中都正确的是( )
A.①或②
B.②或③
C.③或④
D.①或④
3.在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )
A.1∶2∶3∶4
B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1
D.3∶1∶3∶1
4.如图,△ABC为等腰三角形,如果把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,那么四边形ABDC为( )
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.一般平行四边形
5.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是( )
A.5
B.7
C.8
D.10
6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对角相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线互相垂直
D.一对邻角的和为180°
7.如图,平行四边形ABCD周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC长( )
A.14cm
B.12cm
C.10cm
D.8cm
8.如图,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步骤作图:
以点A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于点E、F;再分别以点E、F为圆心,大于
EF的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB
B.AD=DH
C.DH=BC
D.CH=DH
9.Rt△ABC中,两直角边的长分别为6和8,则其斜边上的中线长为( )
A.10
B.3
C.4
D.5
10.正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等
D.对角线互相垂直
11.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
12.如图,丝带重叠的部分一定是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.都有可能
二、填空题
13.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6
,则FG的长为____________.
14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若CA=8,BC=6,点D、E分别是AC、AB的中点.则DE=________,CE=__________.
15.如图,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC、BD的长度,然后看它们是否相等就可判断了.
(1)当AC__________(填“等于”或“不等于”)BD时,门框符合要求;
(2)这种做法的根据是__________________________________________________________.
16.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,P为BC上一点,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E,则DF与DE的关系为________________.
17.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE=3∶1,则∠EAO=________.
18.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是____________(只填写序号).
19.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,BD为高,M为AB中点,且DM=5,则△ABC的面积为____________.
20.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y的正半轴上,且OB=2OC,在直角坐标平面内确定点D,使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请写出点D的坐标为________________.
21.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连接EG,FG,若AE=DE,则
=__________.
22.如图,AB∥CD,将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上,若∠1=40°,则∠CFG的度数等于__________.
23.如图,在▱ABCD中,已知AD=8cm,AB=6cm,DE平分∠ADC,交BC边于点E,则BE=________cm.
24.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是____________________.
三、解答题
25.已知,如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:
DE=DF.
26.如图,已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点,且BE=DF,∠AEC=90°.求证:
四边形AECF为矩形.
27.四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD;
(2)连接BF、AC、DE,当BF⊥AE时,求证:
四边形ACED是平行四边形.
28.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,并且∠A=∠D.
(1)求证:
四边形ABCD为矩形;
(2)点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的长.
29.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF
(1)根据题意,补全图形;
(2)求证:
BE=DF.
30.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:
点A与C关于直线BD对称.
(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND为正方形.
31.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若AB=7,BC=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.
32.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:
△ABD≌△ACE;
(2)求证:
四边形ABFE是菱形.
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D=75°,
∵CE⊥AB,
∴∠BCE=90°-∠B=15°.
故选B.
2.【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,故本选项正确;
②∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
不能推出,平行四边形ABCD是菱形,故本选项错误;
③∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
④∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故本选项正确,
故选D.
3.【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是3∶1∶3∶1,
故选D.
4.【答案】A
【解析】∵等腰△ABC沿底边BC翻折得到△DBC,
∴AB=DB,AC=DC,
∵AB=AC,
∴AB=AC=DC=DB,
∴四边形ABCD为菱形.
故选A.
5.【答案】D
【解析】∵AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,
∴DE=
AB=2,DF=
BC=3,DE∥BF,DF∥BE,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∴四边形BEDF的周长为2×2+3×2=10,
故选D.
6.【答案】B
【解析】根据平行四边形的判定可知,B正确.
故选B.
7.【答案】D
【解析】∵▱ABCD的周长是28cm,
∴AB+AD=14cm,
∵△ABC的周长是22cm,
∴AC=22-(AB+AC)=8cm,
故选D.
8.【答案】D
【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB,
∵AG平分∠DAB,
∴∠DAH=∠BAH,
∵CD∥AB,
∴∠DHA=∠BAH,
∴∠DAH=∠DHA,
∴AD=DH,
∴BC=DH,
故选D.
9.【答案】D
【解析】已知直角三角形的两直角边为6、8,
则斜边长为
=10,
故斜边的中线长为
×10=5,
故选D.
10.【答案】D
【解析】因为正方形的对角线相等、垂直、且互相平分,矩形的对角线相等,互相平分,所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线好像垂直.
故选D.
11.【答案】C
【解析】如图,连接BF,
在菱形ABCD中,∠BAC=
∠BAD=
×70°=35°,∠BCF=∠DCF,BC=DC,
∠ABC=180°-∠BAD=180°-70°=110°,
∵EF是线段AB的垂直平分线,
∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=35°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110°-35°=75°,
∵在△BCF和△DCF中,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴∠CDF=∠CBF=75°,
故选C.
12.【答案】C
【解析】过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,因为两条彩带宽度相同,
所以AB∥CD,AD∥BC,AE=AF.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF.又AE=AF.
∴BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
故选C.
13.【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴AB=BC=CD=AD,∠CAB=∠CAD=60°,
∴△ABC,△ACD是等边三角形,
∵EG⊥AC,
∴∠AEG=∠AGE=30°,
∵∠B=∠EGF=60°,
∴∠AGF=90°,
∴FG⊥BC,
∴2·S△ABC=BC·FG,
∴2×
×(6
)2=6
·FG,
∴FG=3
.
14.【答案】3 5
【解析】∵点D、E分别是AC、AB的中点,
∴DE=
BC=
×6=3,
∵∠ACB=90°,
∴由勾股定理得AB=
=
=10,
∵点E是AB的中点,
∴CE=
AB=
×10=5.
15.【答案】等于 对角线相等的平行四边形为矩形
【解析】
(1)∵两组对边分别平行,
∴四边形ABCD是平行四边形,
当AC=BD时,平行四边形ABCD为矩形;
(2)这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形.
16.【答案】DF=DE且DF⊥ED
【解析】如图,连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=DC,
∴AD=BD=DC,∠C=∠BAD=45°,
∵PF⊥AB,PE⊥AC,
∴∠AFP=∠AEP=∠EAF=90°,
∴四边形AFPE是矩形,∠C=∠EPC=45°,
∴PE=AF,PE=EC,
∴AF=EC,
在△ADF和△CDE中,
∴△ADF≌△CDE,
∴DF=DE,∠FDA=∠EDP,
∴∠FDE=∠ADC=90°,
故答案为DF=DE且DF⊥DE.
17.【答案】45°
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC=
AC,BO=DO=
BD,∠BAD=90°,
∴OA=OB,
∵∠DAE∶∠BAE=3∶1,
∴∠DAE=67.5°,∠BAE=22.5°,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABO=90°-22.5°=67.5°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=67.5°,
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,
18.【答案】③
【解析】由题意得:
BD=CD,ED=FD,
∴四边形EBFC是平行四边形,
①BE⊥EC,根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形,
②BF∥CE,根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE,因此不能根据此条件得出菱形,
③AB=AC,
∵
∴△ADB≌△ADC,
∴∠BAD=∠CAD
∴△AEB≌△AEC(SAS),
∴BE=CE,
∴四边形BECF是菱形.
19.【答案】48
【解析】过A作AE⊥BC于E,
∵AB=AC,
∴BD=CD=6,
∵BD⊥AC,M为AB中点,且DM=5,
∴AB=2DM=10,
∴AD=
=8,
∴S△ABC=
BC·AD=48,
20.【答案】(3,2)(-3,2)(5,-2)
【解析】如图,①当BC为对角线时,易求M1(3,2);
②当AC为对角线时,CM∥AB,且CM=AB.所以M2(-3,2);
③当AB为对角线时,AC∥BM,且AC=BM.则|My|=OC=2,|Mx|=OB+OA=5,所以M3(5,-2).
综上所述,符合条件的点D的坐标是M1(3,2),M2(-3,2),M3(5,-2).
21.【答案】
【解析】如图,连接AC、EF,
在菱形ABCD中,AC⊥BD,
∵BE⊥AD,AE=DE,
∴AB=BD,
又∵菱形的边AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,
设EF与BD相交于点H,AB=4x,
∵AE=DE,
∴由菱形的对称性,CF=DF,
∴EF是△ACD的中位线,
∴DH=
DO=
BD=x,
在Rt△EDH中,EH=
DH=
x,
∵DG=BD,
∴GH=BD+DH=4x+x=5x,
在Rt△EGH中,由勾股定理,得EG=
=
=2
x,
所以
=
=
.
22.【答案】130°
【解析】延长HG交CD于M,如图所示:
∵AB∥CD,
∴∠2=∠1=40°,
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠FGH=90°,
∴∠FGM=90°,
∴∠CFG=∠FGM+∠2=90°+40°=130°;
23.【答案】2
【解析】∵▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠DEC=∠CDE,
∴CD=CE,
∵CD=AB=6cm,
∴CE=6cm,
∵BC=AD=8cm,
∴BE=BC-EC=8-6=2cm.
24.【答案】AC2+BF2=4CD2
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB∥CE,AD∥BC,
∴四边形ABCF是平行四边形,
又∵AB=BC=CD=DE=EA,
∴四边形ABCF是菱形,
∴AC⊥BF,
∴OB2+OC2=BC2,
∵AC=2OC,BF=2OB,
∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,
又∵BC=CD,
∴AC2+BF2=4CD2.
25.【答案】证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠DAB=∠C=90°,
∴∠FAD=180°-∠DAB=90°.
在△DCE和△DAF中,
∴△DCE≌△DAF(SAS),
∴DE=DF.
【解析】根据正方形的性质可得AD=CD,∠C=∠DAF=90°,然后利用“边角边”证明△DCE和△DAF全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可.
26.【答案】证明 连接AC交BD于O,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
∴OE=OF.
∵OA=OC,
∴AECF是平行四边形;
∵∠AEC=90°,
∴四边形AECF为矩形.
【解析】连接AC交BD于O,由平行四边形的性质得出OA=OC,OB=OD,由已知条件得出OE=OF,证出四边形AECF为平行四边形,再由∠AEC=90°,即可得出结论.
27.【答案】证明
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∵AE平分∠BAD,
∴∠EAB=∠EAD=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD.
(2)∵BA=BE,BF⊥AE,
∴AF=EF,
∵AD∥CE,
∴∠DAF=∠CEF,
在△ADF和△ECF中,
∴△DAF≌△CEF,
∴AD=CE,∵AD∥CE,
∴四边形ADEC是平行四边形.
【解析】
(1)只要证明AB=CD,AB=BE即可解决问题.
(2)只要证明△DAF≌△CEF推出AD=CE,即可解决问题.
28.【答案】
(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
又∠A=∠D,
∴∠A=∠D=90°,
∴平行四边形ABCD为矩形;
(2)解 延长DA,CE交于点G,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠B=90°,AD∥BC,
∴∠GAE=90°,∠G=∠ECB,
∵E是AB边的中点,
∴AE=BE,
在△AGE和△BCE中,
∴△AGE≌△BCE(AAS),
∴AG=BC,
若CE=4,CF=5,
设DF=x,
根据勾股定理得:
CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,
即52-x2=82-(5+x)2,
解得x=
,即DF=
.
【解析】
(1)根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”进行证明;
(2)延长DA,CE交于点G,证明△AGE≌△BCE,得出AG=BC,再证明CF=FG即可,设DF=x,根据勾股定理得出:
CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,列出方程52-x2=82-(5+x)2,解方程求出x,得DF的长度.
29.【答案】
(1)解 如图所示:
(2)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
又∵E,F分别是OA、OC的中点,
∴OE=
OA,OF=
OC,
∴OE=OF.
∵在△BEO与△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(SAS),
∴BE=DF.
【解析】
(1)如图所示;
(2)由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO,得出全等三角形的对应边相等即可.
30.【答案】证明
(1)连接AC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,DA=DC,
∴BD垂直平分AC,
∴点A与C关于直线BD对称;
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形PMDN是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴BD平分∠ADC,
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN,
∴四边形MPND为正方形.
【解析】
(1)首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD,然后在△ABD和△CBD中,根据SAS证明两个三角形全等,进而得到∠ADB=∠CDB,AD=CD,根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC,进而可得点A与C关于直线BD对称;
(2)首先证明四边形PMDN是矩形,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN,进而可得四边形MPND为正方形.
31.【答案】
(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF;
(2)∵△AOE≌△COF,
∴CF=AE,OE=OF,
∵AB=7,BC=5,OE=2,
∴EF=2OE=4,BE+CF=BE+AE=AB=7,
∴四边形BCFE的周长为EF+BE+BC+CF=4+7+5=16.
【解析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得OA=OC,AB∥CD,则可证得△AOE≌△COF(ASA),继而证得OE=OF;
(2)由△AOE≌△COF(ASA),可得EF=2OE=4,BE+CF=AB=7,继而求得答案.
32.【答案】证明
(1)∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°,
∴∠BAC=∠DAE=40°,
∴∠BAD=∠CAE=100°,
又∵AB=AC,
∴AB=AC=AD=AE,
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵∠BAD=∠CAE=100°,AB=AC=AD=AE,
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°,
∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°,
∴∠BAE=∠BFE,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∵AB=AE,
∴平行四边形ABFE是菱形.
【解析】
(1)根据旋转角求出∠BAD=∠CAE,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等.
(2)根据对角相等的四边形是平行四边形,可证得四边形ABFE是平行四边形,然后依据邻边相等的平行四边形是菱形,即可证得.
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