湖北省咸宁市通城县学年九年级第二次调研数学试题Word文档格式.docx
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①△DBC是等腰直角三角形;
②EF与⊙O相切;
③EF=2BC;
④点B、I、C在以点D为圆心的同一个圆上.其中一定正确的是_______(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题
17.在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,⊙O与AB边相切于点D,判断AC与⊙O的位置关系,并说明理由.
18.在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球,为了估计袋中红球的数量,某学习小组做了摸球试验,他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中,搅匀后从中随机摸出1个球并记下颜色,再把它放回袋中,多次重复摸球.下表是多次摸球试验汇总后统计的数据:
摸球的次数
150
200
500
900
1000
1200
摸到白球的频数
51
64
156
275
303
361
摸到白球的频率
0.320
0.312
0.306
0.303
0.302
0.301
(1)请估计:
当摸球的次数很大时,摸到白球的频率将会接近______;
假如你去摸一次,你摸到红球的概率是______;
(精确到0.1)
(2)试估计口袋中红球有多少个.
19.如图,正方形的剪去四个角后成为一个正八边形.
(1)若正八边形的边长为2,则剪去四个角的面积和为_____;
(2)若正方形的边长为2,求正八边形边长.
20.某公司利用假期组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游,公司按定额购买了前往各地的车票.下图是车票种类和数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题:
(1)若公司采用随机抽取的方式分发车票,每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),则员工小张抽到去D地的概率是_____;
(2)若有一张车票,小王、小李都想要,决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:
“每人各抛掷一次,若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小,车票给小王,否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析,这个规则对双方是否公平?
21.如图,在矩形A′B′CD中,A′B′=10,B′C=8,以CD为直径作⊙O.将矩形A′B′CD绕点C旋转,使所得矩形ABCD′的边AB与⊙O相切,切点为E.
(1)证明:
CE平分∠BCD;
(2)求线段AE的长.
22.图示为一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面的距离为2m.
(1)若图中的拱形呈抛物线形状,当水面下降1m后,水面宽为多少?
(2)若图中的拱形呈圆弧形状,当水面下降1m后,水面宽又为多少?
23.(动手操作)
如图①,把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形,则点A′与点______重合,点B′与点______重合;
(探究发现)
如图②,圆柱的底面周长是80,高是60,若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰,从下底面A出发,沿圆柱侧面绕一周到上底面B,则这条丝线最短的长度是______;
(实践应用)
如图③,圆锥的母线长为12,底面半径为4,若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰,从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面绕一周回到点A.求这条彩带最短的长度是多少?
(拓展联想)
如图④,一颗古树上下粗细相差不大,可以看成圆柱体.测得树干的周长为3米,高为18米,有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上,恰好绕8周到达树干的顶部,这条紫藤至少有米
24.如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(-2,
),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
△MAB是等边三角形.
(2)在⊙M上是否存在点D,使△ACD是直角三角形,若存在,试求点D的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)若P(m,n)是过A,B,C三点的抛物线上一点,当∠APB≤30°
时,直接写出m的取值范围.
参考答案
1.D
【详解】
解:
A.是轴对称图形但不是中心对称图形;
B.是轴对称图形但不是中心对称图形;
C.不是轴对称图形但是中心对称图形;
D.既是轴对称图形也是是中心对称图形;
故选D.
【点睛】
本题考查轴对称图形;
中心对称图形.
2.A
【分析】
连接OC,先根据垂直定义及等腰三角形的性质求出∠COE=40°
,再根据圆的半径相等的性质及三角形的外角性质求出答案.
连接OC,设AB与CD交于点E,
∵AB是⊙O的直径,弦CD丄AB,
∴∠OEC=90°
,,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠D=50°
,
∴∠COE=40°
∵OA=OC,
∴∠A=20°
故选:
A.
此题考查垂直的定义,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,熟记性质定理并运用解题是关键.
3.A
根据题意分析此题是圆周率的得来历史,故得到答案.
由题意知:
此题是圆周率的由来,发现者是我国著名的数学家祖冲之,
B.
此题考查圆周率的由来,掌握数学的有关知识是解题的关键.
4.B
首先设出圆的直径,然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和,比较后即可得到答案.
设半圆的直径为a,则半圆周长C1为:
aπ,
4个正三角形的周长和C2为:
3a,
∵
aπ<3a,
∴C1<C2
故选B.
本题考查了圆的认识及等边三角形的性质,解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2.
5.D
根据题意列树状图解答即可.
由题意,列树状图如下:
共有9种等可能的情况,其中两同学同时出“石头”的有1种情况,
∴P(两同学同时出“石头”)=
D.
此题考查利用树状图求事件的概率,正确掌握树状图的列法是解题的关键.
6.A
【解析】
分析:
A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、由x1•x2=﹣2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.
综上即可得出结论.
详解:
A∵△=(﹣a)2﹣4×
1×
(﹣2)=a2+8>0,
∴x1≠x2,结论A正确;
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1+x2=a,
∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、∵x1•x2=﹣2,
∴x1<0,x2>0,结论D错误.
故选A.
点睛:
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
7.B
随机事件是可能发生也可能不发生的事件,一定会发生的事件是必然事件,根据定义依次判断即可得到答案.
圆内接四边形的对角互补是必然事件,故A错误;
任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面朝上的次数不一定是5次是正确的,故B正确;
天气预报明天下雨的概率是99%,说明明天不一定会下雨,故C错误;
不在同一直线上的三点确定一个圆,故“三点确定一个圆”是随机事件,故D错误,
此题考查随机事件的定义,必然事件的定义,能正确理解事件发生的可能性的大小是解题的关键.
8.C
当CD∥AB时,PM有最大值,连接OM、OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC的长即可得到答案.
当CD∥AB时,PM有最大值,
连接OC、OM,
∵直径AB=10,
∴OC=5,
∵M是CD的中点,
∴OM⊥CD,
∵CD∥AB,CP⊥AB,
∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°
∴四边形OPCM是矩形,
∴PM=OC=5,即m=5,
C.
此题考查圆的垂径定理,矩形的判定定理及性质定理,根据题意合理猜想并进行证明是解题的关键.
9.
试题分析:
根据题意中“随机抽取”,可知为等可能事件,将数据代入概率公式:
.
考点:
等可能事件的概率公式.
10.6
根据切线长定理得到PA=PB,利用∠P=60°
得到△PAB是等边三角形即可得到答案.
∵PA,PB分别切⊙O于点A、B,
∴PA=PB,
∵∠P=60°
∴△PAB是等边三角形,
∴AB=PA=6,
故答案为:
6.
此题考查切线长定理,等边三角形的判定及性质,由切线长定理得到PA=PB是解题的关键.
11.直角
三角形外接圆的圆心是三角形的外心,外心到三个顶点的距离相等,由此即可判断三角形的形状.
∵三角形外接圆的圆心是三角形的外心,
∴外心到三个顶点的距离相等,
∵外心在三角形的一边上,
∴外心到该边上两个端点的距离相等,
由此得到外心到三角形第三个顶点的距离等于此边的一半,
∴该三角形是直角三角形,
直角.
此题考查三角形外心的定义,正确掌握定义并运用解题是关键.
12.
利用列举法求出四名同学排列的所有情况,再根据概率公式解答即可.
四名同学排列共有:
4×
3×
2×
1=24种,
九年级同学排在前面的情况为:
九1、九2、七、八;
九1、九2、八、七;
九2、九1、七、八;
九2、九1、八、七.
共4种;
前两名都是九年级同学的概率是:
此题考查概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=
13.72.
由于以A为顶点的一个周角是360°
,根据∠BAD=360°
﹣正五边形的一个角的度数﹣矩形的一个内角的度数×
2作答.
∵一个无盖的直五棱柱的侧面是矩形,
∴每一个内角都是90°
又∵正五边形的每个角的度数为
∴∠BAD=360°
﹣108°
﹣90°
×
2=72°
故答案为72.
本题考查多边形内角与外角.
14.9
将函数关系式配方为顶点式解析式,求出函数的最大值即可得到答案.
∴当
时,s有最大值9,
9
此题考查二次函数的配方法,顶点式函数解析式的性质,正确配方是解题的关键.
15.
先求出每个扇形的面积得到弓形的面积,即可求出图形的面积.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°
∴
∴莱洛三角形的面积=
=
此题考查扇形的面积公式,弓形的面积计算公式,熟记公式是解题的关键.
16.①②④
根据内心的定义得到∠BAD=∠CAD,再根据圆周角定理得到BD=CD,即可判断①;
根据直角三角形的性质即可判断②,根据三角形的中位线性质判断③即可,连接BI、CI,根据三角形的内心及三角形的外角的性质求出DB=DI,即可判断④.
∵I是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°
∴△DBC是等腰直角三角形,故①正确;
连接OD,
∵BC为⊙O的直径,BD=CD,
∴OD⊥BC,
∵EF∥BC,
∴OD⊥EF,
∴EF与⊙O相切,故②正确;
∵点B、C不是AE和AF的中点,
∴BC不是△AEF的中位线,
,故③错误;
连接BI、CI,
∴∠ABI=∠CBI,
∵∠BAD=∠CAD=∠CBD,
∴∠CBD+∠CBI=∠BAD+∠ABI,
∴∠DBI=∠DIB,
∴DB=DI=DC,
∴点B、I、C在以点D为圆心的同一个圆上,故④正确.
此题考查三角形的内心定义,三角形的外角性质,角平分线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的中位线性质.
17.AC与⊙O相切,理由详见解析
过点O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD,根据切线的性质得到OD⊥AB,利用等腰三角形的性质及角平分线的性质得到OE=OD,即可得到结论.
AC与⊙O相切,
理由如下:
过点O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD,
∵⊙O与AB边相切于点D,
∴OD⊥AB,
∵AB=AC,O为BC的中点,
∴OA平分∠BAC,
∴OE=OD,
∴AC与⊙O相切.
此题考查圆的切线性质,等腰三角形的三线合一的性质,角平分线的性质定理,切线的判定定理,正确引辅助线解题是关键.
18.
(1)0.3,0.7;
(2)70
(1)当事件的实验次数越来越多时事件的频率都接近同一个数值,可以根据频数表示概率,由此计算得到红球的概率;
(2)设口袋中有红球x个,根据题意列方程解答即可得到答案.
(1)∵摸球的次数很大,摸到白球的频率都接近0.3,
∴摸到白球的概率是0.3,
∴摸到红球的概率是1-0.3=0.7,
0.3,0.7;
(2)设口袋中有红球x个,
由题意得:
解得x=70,
经检验,x=70是原方程的解且符合题意,
答:
口袋中有红球70个.
此题考查利用事件的频率估计事件的概率,列分式方程解决实际问题,正确理解事件的实验次数越多时得到事件的概率是解题的关键.
19.
(1)4;
(2)
(1)设剪去的三角形的直角边长是x,根据题意列方程求出x,即可得到剪去的四个角的面积的和;
(2)设正八边形边长x,根据勾股定理列方程解答即可.
(1)设剪去的三角形的直角边长BC=x,则斜边长AB=
解得x=
∴剪去四个角的面积和为
4;
(2)正八边形边长x,则
由勾股定理得:
解得:
,
∵x>
0,
故正八边形边长为:
.
此题考查正方形的性质,正多边形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,正确理解题意是解题的关键.
20.
(1)
;
(2)这个规则对双方不公平,理由详见解析
(1)先根据条形统计图求出车票的总数,直接根据概率的公式计算即可得到答案;
(2)列表求事件的概率,即可得到答案.
(1)由题意得车票总数=10+20+15+5=50(张),
∵去D地的车票有5张,
∴员工小张抽到去D地的概率=
(2)(列表法或画树状略)
共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种:
(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为:
.
小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为
∴这个规则对双方不公平.
此题考查事件概率的计算,简单事件的概率直接利用概率公式计算,复杂的事件概率可以列表或是列树状图解答,避免遗漏答案.
21.
(1)详见解析;
(2)6
(1)连接OE,利用切线的性质证得OE⊥AB,根据矩形的性质和旋转的性质得到∠B=90°
,即可证得OE∥BC,利用平行线的性质即可得到结论;
(2)过点O作OF⊥BC于点F,得到四边形OEBF为矩形,求出OE得到CF,即可根据勾股定理求出OF,由此得到答案.
(1)连接OE,
∵直线AB与⊙O的相切,
∴OE⊥AB,
在矩形A′B′CD中∠B′=90°
由旋转可知∠B=90°
∴OE∥BC,
∴∠BCE=∠OEC,
∴OE=OC,
∴∠OCE=∠OEC,
∴∠OCE=∠BCE,
即CE平分∠BCD;
(2)过点O作OF⊥BC于点F,
则四边形OEBF为矩形,
∴BF=OE=10÷
2=5,
∴CF=8-5=3,
Rt△OFC中,
∴AE=AB-BE=AB-OF=10-4=6.
此题考查切线的性质定理,矩形的判定及性质,勾股定理,平行线的判定及性质,旋转的性质,正确掌握各知识点是解题的关键.
22.
(1)
m;
(2)当水面下降1m后,水面宽为
m
(1)先建立直角坐标系,求出函数解析式,计算当y=-1时的横坐标即可得到答案;
(2)设弧AB的圆心为O,过点O作AB的垂线,交弧于点D,垂足为点C,连接OB,设圆的半径为xm,根据勾股定理列方程求出半径,设水位下降1m后的水面宽为EF,交OD于点M,根据勾股定理即可求出答案.
(1)以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,则点B(6,0),A(-6,0),
∵(0,2)在抛物线上,
∴设其抛物线为:
y=ax2+2,
把(6,0)代入得:
0=a×
62+2,
,
∴抛物线为:
当y=-1时,
有
解得
∴此时水面的宽为:
(m);
(2)如图,设弧AB的圆心为O,过点O作AB的垂线,交弧于点D,垂足为点C,连接OB,
则CD=2,BC=6.
设圆的半径为xm,
则OC=(x-2)m
(x-2)2+62=x2
解得:
x=10
设水位下降1m后的水面宽为EF,交OD于点M,则OM=10-3=7(m),
连接OF,由勾股定理得:
m.
∴当水面下降1m后,水面宽为
m.
此题考查函数解析式的求法,勾股定理,圆的性质,正确理解抛物线和圆的图形特点是解题的关键.
23.【动手操作】:
A,B;
【探究发现】100;
【实践应用】:
【拓展联想】30
[动手操作]根据圆柱的侧面展开图是矩形即可得到答案;
[探究发现]连接
,根据矩形的性质及勾股定理求出
即可得到答案;
[实践应用]将圆锥展开得到展开图,连接
,根据弧长公式求出∠
的度数,过点O作OD⊥
于点D,根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出OD=6,再利用勾股定理求出AD即可得到答案;
[拓展联想]将树干的高度分成相等的8段,利用树干的周长建立勾股定理的等式求出一圈紫藤的长,由此得到答案.
[动手操作]点
与点A重合,点
与点B重合,
[探究发现]由题意知该圆柱的侧面展开图即是矩形
,则
=80,
=60,
连接
∵∠
=90°
∴这条丝线最短的长度是100,
100;
[实践应用]
圆锥的侧面展开图,如图所示:
则
为最短路径.
弧
的长为:
由弧长公式得∠
的度数为:
过点O作OD⊥
于点D,
∴∠AOD=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=6,
在Rt△AOD中
∴这条彩带最短的长度是
[拓展联想]∵树干的高是18米,缠绕8圈紫藤,
∴每相邻两圈紫藤的距离是
米,
∵树干的周长是3米,
∴一圈紫藤的长度是
∴8圈紫藤的长度最少是
30.
此题考查圆柱的侧面展开图,勾股定理的实际运用,弧长公式,矩形的性质,解题中注意同类思想的运用,正确理解题意是解题的关键.
24.
(1)详见解析;
(2)D点的坐标为(-4,
)或D(-1,
);
(3)m≥0或m≤-4.
(1)连MC,则OM⊥y轴于点C,过点M作MN⊥x轴于点N,根据点M的坐标得到MB、MN,再根据勾股定理求出BN即可求出AB的长度,由此得到结论;
(2)由△ACD是直角三角形分三种情况分别求出点D的坐标;
(3)连接AC、BC,根据等边三角形的性质及圆周角定理求出∠ABC的度数,确定过A,B,C三点的抛物线上点C的对称点的坐标即可得到答案.
连MC,则OM⊥y轴于点C,且MC=2,
过点M作MN⊥x轴于点N,
∵点M的坐标是(-2,
),
∴MN=
∵MA=MB=MC=2,
∴AB=
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