届高三理科数学一轮复习教师用书第7章第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图Word文件下载.docx
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圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:
长对正,高平齐,宽相等.
②画法规则:
正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;
重叠的线只画一条,看不到的线画虚线.
4.直观图
(1)画法:
常用斜二测画法.
(2)规则:
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为45°
(或135°
),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直线图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)菱形的直观图仍是菱形.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.四面体D.三棱柱
A [由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形.]
3.(教材改编)如图711,长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是( )
图711
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.简单组合体
C [由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.]
4.(2017·
北京高考)某四棱锥的三视图如图712所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )
图712
A.3
B.2
C.2
D.2
B [在正方体中还原该四棱锥,如图所示,
可知SD为该四棱锥的最长棱.
由三视图可知正方体的棱长为2,
故SD=
=2
.
故选B.]
5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________.
2π [由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1,
所以圆柱的侧面积S=2πrl=2π.]
空间几何体的结构特征
(1)以下命题:
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.
其中不正确的命题为________.
(1)B
(2)①②③ [
(1)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.
(2)对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;
对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错;
对于③,若底面不是矩形,则③错;
④由线面垂直的判定,可知侧棱垂直于底面,故④正确.
综上,命题①②③不正确.]
[规律方法] 空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:
紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:
通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个结论是错误的,只是举出一个反例即可.
[跟踪训练] 给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③存在每个面都是直角三角形的四面体;
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
②③④ [①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;
②正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;
③正确,如图,正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形;
④正确,由棱台的概念可知.]
空间几何体的三视图
◎角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
(2017·
东北四市联考)如图713,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是线段CD的中点,则三棱锥PA1B1A的侧视图为( )
图713
D [如图,画出原正方体的侧视图,显然对于三棱锥PA1B1A,B(C)点均消失了,其余各点均在,从而其侧视图为D.]
◎角度2 已知三视图判定几何体
全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图714所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
图714
A.10B.12
C.14D.16
B [观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2×
×
(2+4)×
2=12.故选B.]
[规律方法] 1.已知几何体,识别三视图的技巧
已知几何体画三视图时,可先找出各个顶点在投影面上的投影,然后再确定线在投影面上的实虚.
2.已知三视图,判断几何体的技巧
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.
(2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图.
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
易错警示:
对于简单组合体或切割体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.
[跟踪训练]
(1)(2018·
福州质检)如图715,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是( )
图715
A.2B.3C.4D.5
(2)(2018·
北京东城区综合练习
(二))日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具,又称“日规”.通常由铜制的指针和石制的圆盘组成,铜制的指针叫做“晷针”,垂直地穿过圆盘中心,石制的圆盘叫做“晷面”,它放在石台上,其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明,这项发明被人类沿用达几千年之久.下图7-1-6是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片,假设相机镜头正对的方向为正方向,则根据图片判断此日晷的侧视图可能为( )
图7-1-6
(1)C
(2)D [由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥PABCD,由图易知四个侧面都是直角三角形,故选C.
(2)因为相机镜头正对的方向为正方向,所以侧视图中圆盘为椭圆,指针上半部分为实线,下半部分为虚线,可能是D,故选D.]
空间几何体的直观图
已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
a2 B.
a2 C.
a2 D.
a2
D [如图①②所示的实际图形和直观图,
由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=
OC=
a,
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′,
则C′D′=
O′C′=
所以S△A′B′C′=
A′B′·
C′D′=
a×
a=
a2.]
[规律方法] 1.斜二测画法原图与直观图中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:
S直观图=
S原图形.
[跟踪训练] (2017·
邯郸三次联考)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图717所示),∠ABC=45°
,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.
图717
2+
[如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
① ②
在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°
,
∴BE=
又四边形AECD为矩形,
AD=EC=1,
∴BC=BE+EC=
+1.
由此还原为原图形如图②所示,
是直角梯形A′B′C′D′.
在梯形A′B′C′D′中,A′D′=1,B′C′
=
+1,A′B′=2,
∴这块菜地的面积S=
(A′D′+B′C′)·
A′B′
2=2+
.]
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