自考 离散数学教材课后题第五章答案Word下载.docx
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如下图所示:
(晓津与阮同学答案一致)
7、证明:
下图中的图是同构的。
证明如下:
在两图中我们可以看到有
a→e,b→h,c→f,d→g
两图中存在结点与边的一一对应关系,并保持关联关系。
8、证明:
下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下:
找出对应关系:
a---q,b----r,c-----s,d----t,e-----u,
f------v,g-----w,h----x
9、证明:
三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下:
由题意可知每个结点度数都是3度,即每个结点均为奇结点,根据有偶数个奇结点可知,三次正则图必有偶数个奇结点。
5.2习题参考答案
1、给定图G,如下图所示,求出G中从A到F的所有初级路。
从A到F的初级路有:
ABCF、ABEF、ADEF、ABECF、ABCEF、ADECF、ADEBCF
2、给定图G,如下图所示,找到G中从v2出发的所有初级回路。
晓津认为图中少了一个箭头:
从V1到V2有一箭头。
从V2出发的初级回路有:
V2V4V1V2、V2V3V4V1V2.
3、设G为无向连通图,有n个结点,那么G中至少有几条边?
为什么?
对有向图如何?
若G为无向连通图,有n个结点,则G中至少有n-1条边。
因为在n个结点的图中,任取一个结点为起始点,若要连通其他每个结点,则其他每个结点至少应有1度,此结点则有n-1度。
因此总的度数至少为2n-2度,而度数为边的2倍,可算得边数为n-1.
对于有向图,若是弱连通,则与无向图一样至少为n-1,若是单侧连通也是如此,而强连通边数至少为n。
(此题根据阮允准同学的答案更正)
4、设V'
和E'
分别为无向连通图G的点割集和边割集,G-E'
的连通分支数一定是多少?
G-V'
的连通分支数也是定数吗?
G-E'
的连通分支数一定是2,而G-V'
的连通分支数就不是定数了。
有可能大于2.
5、设有七人a,b,c,d,e,f,g,已知:
a会讲英语,b会讲汉语和英语,c会讲英语、意大利语和俄语,d会讲日语和汉语,e会讲德语和意大利语,f会讲法语、日语和俄语,g会讲法语和德语,试问这七人间可以任意交谈吗?
答:
可以。
设七个人为图中的7个结点,以他们之间有共同语言为条件画边,可以看出,七个人的结点在图中是连通的,因此这七个人间可以通过相互翻译任意交谈。
6、一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,它至少包含每个结点一次。
必要性:
如果图中的任何一个回路都不能包含所有结点,则可知未被包含在回路内的结点不能与其他结点中的某一结点连通。
这与本图是强连通的相矛盾。
因此必有这样一个路它至少包含每个结点一次。
充分性:
当G中有一个回路,它至少包含每个结点一次时,可以知道,任一结点可达其他所有结点,因此它是强连通的。
7、若有简单图至多有2n个结点,每个结点度数至少为n,G是连通图。
又若简单图G至多有2n个结点,每个结点度数至少为n-1,那么G是连通图吗?
G不再是连通图,假若n=1时,G中至多可有2个结点,而每个结点度数至少可以为0,显然这两个结点不能连通。
以下是阮同学的答案:
方法一:
设v1、v2是这个简单图的任意两个结点,由已知可得,v1、v2的度数至少为n,
(1)若v1、v2之间有边,则显然v1、v2是连通的。
(2)若v1、v2无边,则v1和剩下的结点中的n个结点有边相连,v2也和剩下的结点中的n个结点有边相连。
因为剩下的结点最多只有2n-2个,由抽屉原理可得,至少存在一个结点,它和v1、v2都有边相连,此时v1和v2也是连通的。
由
(1)
(2)可知,结论成立
方法二:
显然这个图中任意的一对结点的度数之和大于等于2n,所以这个图是汉密尔顿图,所以这个图是连通的。
8、简单图G有n个结点,e条边,设e>
0.5(n-1)(n-2),证明:
G是连通的。
n个结点的简单无向图,连通的最低条件是有n-1条边。
而e>
0.5(n-1)(n-2)
可得e≥n-1,因此G是连通的。
上面的答案是错误的,阮允准同学纠正如下:
因为一个连通图至少要有n-1条边,但并不是说至少有n-1条边的图一定是连通图。
并且容易验证这个结论不成立。
在图G中,它的结点数为n,设v是G中任一结点,若把v去掉后,其它n-1结点,每个结点度数最多有n-1度,因此n-1个结点之间最多只有0.5(n-1)(n-2)条边,而e>0.5(n-1)(n-2),所以至少有一条边连接v和其它结点。
下面我用数学归纳法进一步证明:
(1)容易证明当n=1,2时,结论成立
(2)假设当n=k时,结论成立,即若e>0.5(k-1)(k-2)时结论成立
(3)当n=k+1时,若此时每个结点度数为k,则结论显然成立,否则必存在一个结点v度数至多只有k-1度,即这个结点最多只有k-1条边和它相连。
因为此时总的边数e>
0.5k(k-1),则其它k个结点之间的边数e'
>0.5k(k-1)-(k-1)=0.5(k-1)(k-2)。
根据归纳假设,显然这k个结点之间是连通的,而根据上面我们知道,至少有一条边使v和其它结点相连,所以此时这个图是连通的。
根据
(1)
(2)(3)可知结论成立。
5.3习题参考答案
1、设图G=<
V,E>
V={v1,v2,v3,v4}的邻接矩阵
A(G)=
0101
1011
1100
1000
则v1的入度deg(v1)是多少?
v4的出度deg(v4)是多少?
从v1到v4长度为2的路有几条?
1、v1的入度是3.
v4的出度是1,
因为
A2(G)=
2011
2201
1112
0101
所以从v1到v4长度为2的路有1条。
2、有向图G如图所示,求G中长度为4的路径总数,并指出其中有多少条是回路。
v3到v4的迹有几条。
长度为4的路径总数为15条,其中3条是回路。
从v3到v4的迹有3条。
3、给定图G如下图求:
a)给出G的邻接矩阵
b)求各结点的出、入度
c)求从结点c出发长度为3的所有回路
解:
邻接矩阵如图:
(按字母顺序)
M(G)=
00100
10100
00011
00110
01000
a的出度是1,入度为1
b的出度是1,入度为1
c的出度是2,入度为3
d的出度是2,入度为2
e的出度是1,入度为1
晓津补充一下:
出度就可以数该行的非零个数,入度则可数该列的非零个数
从结点c出发长度为3的回路有:
c-e-b-c,c-d-d-c
4、给定G如图所示,
a)写出邻接矩阵
b)G中长度为4的路有几条?
c)G中有几条回路?
(晓津有疑问,v2、v3间没有箭头,则此图有错,暂且理解为双向连通吧)
a)M(G)=
00001
10100
01001
01010
b)有52条
c)无数条
(看到这里,晓津以为v2、v3间的箭头应向右更符合其本意,因为图中有某种对应的关系。
)
5、试用矩阵法判断有向图。
G=<
{a,b,c,d},|<
a,b>
<
a,d>
c,b>
c,d>
}连通性。
不连通
原矩阵为:
M(G)=
1001
0000
由此矩阵得到的路径矩阵为:
M4(G)=
可以发现图中些结点间没有路径存在。
6
、求出下图所示图G的邻接矩阵、可达矩阵,找出从v2到v3长度为3的初级路,并计算出A2,A3进行验证。
邻接矩阵为:
0011
0100
其余答案略,用阮同学的话说就是:
"
太麻烦了,自己算一算吧"
:
7、设图G中的边满足W(G-e)>
W(G),称为e为G的割边(桥)。
e是割边,当且仅当e不包含在G的任一回路中。
设e是G某一连通分支的一条边。
假设e包含在G的某一回路中,若把e去掉后,显然该连通分支仍是连通的, 所以W(G-e)=W(G)。
这和e是G的割边矛盾。
设e是连接vi,vj的一条边,假设e不是割边。
则把e去掉后,该连通分支仍是连通的
vi到vj必有路,不妨设此路为vi......vj,则必有vi.....vjevi,这和e不包含在G的任一回路中相矛盾,所以e是割边。
5.4习题参考答案
1、构造一个欧拉图,其结点数v和边数e满足下述条件:
a)v、e的奇偶性一样;
b)v,e的奇偶性相反。
如果不可能,请说明原因。
都可以实现:
如图:
2、确定n取怎样的值,完全图Kn有一条欧拉回路。
n是奇数。
因为完全图中,每个结点度数均为n-1,显然要有欧拉回路,n-1必须是偶数,所以n是奇数。
3、a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
b)画一个有一条欧拉回路但没有一条汉密尔顿回路的图。
c)画一个没有一条欧拉回路,但有一条汉密尔顿回路的图。
如下:
4、如果图G中中度数为奇数的结点个数为0或2,则G可一笔画出吗?
说明理由。
不一定。
若该图是连通的,则可以一笔画出,否则不可以。
如下图
5、若无向图G是欧拉图,G中是否存在割边?
不存在,因为欧拉图中,存在一条回路,包含各边一次且仅一次,所以任意去掉一条边,该图仍是连通的。
6、若一个有向图G是欧拉图,它是否一定是强连通?
若有一个有向图G是强连通的,它是否一定是欧拉图?
(1)是,因为存在一条欧拉回路,所以任意两个结点都是可达的
(2)不是,如:
7、下图所示的G1和G2是否是汉密尔顿图,若是,请给出一条从a出发的汊密尔顿回路。
(1)是。
a-i-h-g-d-e-f-b-c-j-a
(2)不是。
因为我找不出这样的回路,若学友们找出的话请告诉我,谢谢。
8、有割点的连通图是否能是汉密尔顿图?
不能。
根据定理5.4.3
9、某次会议有20人参加,其中每人都至少有10个朋友,这20人围一圆桌入席,要想使每人相邻的两位都是朋友是否可能?
根据什么?
可能。
我们把每个人看成一个结点,若是朋友的用一条边连接。
因此每个结点的度数都大于等于10,所以任意两个结点的度数之和都大于等于20,因此这个图中一定存在一条汉密尔顿回路,按这个回路排座位就可以了。
5.5习题参考答案
1、证明:
小于30条边的简单平面图有一个结点度数小于等于4.
设结点数为v,边数为e
(1)若v<3,则结论显然成立。
(2)若v≥3,则3v-6≥e,解得v≥(e+6)/3
假设图中每个结点的度数都大于4,即大于等于5。
则所有结点的度数之和就大于等于5(e+6)/3,因此边数e≥5(e+6)/6,解得
e≥30,这和已知边数小于30相矛盾。
2、证明:
每个面至少有4条边任何连通简单平面图中,
m≤2n-4,其中n为结点数,m为边数。
设这个图的面数为r,由欧拉公式n-m+r=2得r=m-n+2
因为deg(R)≥4,所以2m=∑deg(R)≥4(m-n+2),解得m≤2n-4
下图(彼得森图)不是欧拉图,也不是平面图。
(1)彼得森图每个结点的度数都等于3,所以不是欧拉图。
(2)证明思路:
只要能找出和K5或K3,3同胚的子图就行了。
不过我找不出来,请各位学友找一找。
4、证明:
在有6个结点12条边的连通简单平面图中,每个面由3条边组成。
由欧拉公式可得,r=8,假设至少有一个面不是3条边围成,则必定大于3条边,所以2e>3r=24,所以e>12,这与已知有12条边相矛盾。
5.6习题参考答案
1、说明具有6个结点的非同构的无向树的数目是多少。
应是6个。
因为它是连通且无回路的无向树,因此在此树中只能有5条边。
将这5条边按不同方式连接6个结点可得到6种形态的无向树,大家不妨画一画。
2、下面哪一种图不是树?
a)无回路的连通图b)有n个结点,n-1条边的连通图;
c)每对结点间都有路的图;
d)连通但删去一条边则不连通的图。
c)不是树。
每个结点都有路,则也包括回路,而树是无回路的,因此c)不是树。
3、连通图G是一棵树,当且仅当满足下述条件中哪一个?
a)有些边不是割边;
b)每条边都是割边;
c)无边割边;
d)每条边都不是割边;
b)是树,因为在树中,删去任一条边均使图变得不连通,则此边就是割边。
4、一个树有2个4度结点,3个3度结点,其余结点都是叶子,则叶子数是多少?
设叶子数为n,则根据树的定义和图中总度数是边数的2倍,可列出方程如下:
2×
4+3×
3+n×
1=2×
(n+2+3-1)
解之得:
n=9
5、画出结点数n≤5的所有不同构的树。
如下图:
6、设图G是一棵树,它有n2个2度分枝点,n3个3度分枝点,...nk个k度分枝点,求G中叶结点数。
同第4题的解法,设叶结点数为n1,则有:
n1+2×
n2+3×
n3+...knk=2(n1+n2+n3+...+nk-1)
n1=n3+2n4+3n5+...+knk+2+2
7、某城市拟在六个区之间架设有线电话网,其网点间距离如下面有权图矩阵给出,试给架设线路的最优方案,请画出图,并计算出线路的长度。
A=
|0
1
0
2
9
0|
|1
4
8
5|
|0
3
010|
|2
7
6|
|9
5
106
0|
要解本题,实际上是求该网点组成的图的最小生成树,呵呵,这对学过数据结构的同学来说是比较容易的:
请看下图:
线路的长度为1+2+3+5+7=18
8、求算式((a+(b*c)*d)-e)÷
(f+g)+(h*i)*j的树形表示。
如图所示:
9、画出下图中的一棵最小生成树,并写出该生成树的关系矩阵。
注意,由于题图中所给权值位置不对,晓津将其作了"
挪动"
。
大家能明白吧。
该生成树的关系矩阵如下:
M(A)=
|011100|
|100000|
|100010|
|100000|
|001001|
|000010|
10、设T1和T2是连通图G的两棵生成树,a是T1中但不在T2中的一条边。
证明存在边b,它在T2中但不在T1中,使得(T1-{a})∪{b}和(T2-{b})∪{a}都是G的生成树。
以下是峰飞同学给出的证明:
(感谢峰飞)
首先证明存在边b,它在T2中但不在T1中。
设不存在边b,它在T2中但不在T1中。
也就是说T2中的所有边都T1中。
因为存在边a,它在T1中但不在T2中,所以有T2是T1的真子集。
T1是树,且有T1和T2有同样的结点,T1的所有真子集不可能是树,有T2不是树,这与T2是树相矛盾。
所以必存在边b,它在T2中但不在T1中。
设边b在T2中但不在T1中,边a在T1中但不在T2中(T1-{a})U{b}<
=>
(T1U{b})-{a},T1U{b}后必存在唯一的环。
设边a不在此环中,那么有此环中的所有边都在T2中,也就是说T2中存在环,这与T2是树相矛盾,也就是说,T1U{b}的环中有边a,那么T1U{b}-{a},也是连通的并且没有环,也是树,又因为有G的所有结点,是G的生成树。
则(T1-{a})U{b}是G的生成树。
同理可证(T2-{b})U{a}是G的生成树。
得证:
存在边b,它在T2中但不在T1中,使得(T1-{a})∪{b}和(T2-{b})∪{a}都是G的生成树。
在以上证明中我觉得好象有什么不完整的地方,请指教。
峰飞2002.3.13
11、设G=<
为连通图,且e∈E。
当且仅当e是G的割边时,e才在G的每棵生成树中。
若e在G的每棵生成树中,则e必是每棵生成树的一条割边。
若删去e,得不到任何一棵生成树,也就是说删去e,则使图不再连通。
因此e是G的割边。
若e不是G的割边,则删去e,仍能使图连通,因此不包含e边也能得到生成树,这与e在每棵生成树中相矛盾。
因此e必须是G的割边。
12、证明:
一棵完全二叉树,必有奇数个结点。
设一完全二叉树的结点数为n,完全二叉树的树叶数为t,分枝点数为i,根据定理5.6.5,则有i=t-1,所以n=i+t=t+t-1=2t-1,可见它必具有奇数个结点。
13、给定完全二叉树G=<
|E|=2(n-1),其中n是树叶数。
本题要证的是完全二叉树的边数为2(n-1).根据已知条件,由定理5.6.5可知(见上题证明),该完全二叉树的结点数为:
2n-1.又根据树的定义,它的边数为结点数减1,即|E|=2n-1-1=2(n-1)
14、用中序、前序、后序三种行遍法,写出下图所示二叉树的有关算法。
(1)中序遍历算法:
(a*b-c÷
(d+e*f))*g÷
(h*i÷
j*(k-l))
(2)前序遍历算法:
÷
(*(÷
(-(*ab)c)(+d(*ef))g)(÷
(*hi)(*j(-ki)))
(3)后序遍历算法:
((((ab*)c-)(d(ef*)+)÷
)g*)((hi*)(j(kl-)*)÷
)÷
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