二次全等讲义随堂练习作业及答案可自由编辑Word文档格式.docx
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②EF=DE+BF.
3.已知:
如图,∠A=∠D=90°
,AC,BD相交于点E,BE=CE.
△ABC≌△DCB.
4.已知:
如图,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,过点E,F分别作ED⊥AC于点E,FB⊥AC于点F,连接AB,CD,BD,BD交AC于点G,AB=CD.求证:
△DEG≌△BFG.
5.
如图,AB=AC,BD=CD,AD与BC相交于点O.
AD⊥BC.
6.已知:
如图,在Rt△ABE和Rt△ACF中,∠E=∠F=90°
,BE=CF.BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于点N,∠EAC=∠FAB.求证:
AM=AN.
7.
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点D是BC的中点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E.试猜想AB和AC的数量关系,并证明你的猜想.
【参考答案】
1.同位角;
内错角;
同旁内角;
直角三角形两锐角互余;
同角或等角的余角相等;
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
2.证明:
如图,
在△BOD和△AOC中,
∴△BOD≌△AOC(SAS)
∴∠B=∠A(全等三角形对应角相等)
在△BOF和△AOE中,
∴△BOF≌△AOE(ASA)
1.证明:
①∵∠ACM=∠BCN=60°
∴∠MCN=60°
∴∠ACN=∠MCB=120°
在△CAN和△CMB中,
∴△CAN≌△CMB(SAS)
②∵△CAN≌△CMB
∴∠ANC=∠MBC(全等三角形对应角相等)
∵∠ECN=60°
;
∠FCB=60°
∴∠ECN=∠FCB
在△CEN和△CFB中,
∴△CEN≌△CFB(ASA)
①∵∠D=∠ABC=90°
∴∠ABG=90°
∴∠D=∠ABG
在△ADE和△ABG中,
∴△ADE≌△ABG(SAS)
②∵△ADE≌△ABG(已证)
∴AE=AG(全等三角形对应边相等)
∠EAD=∠GAB(全等三角形对应角相等)
∵∠EAF=45°
∴∠BAF+∠EAD=45°
∴∠BAF+∠GAB=45°
即∠GAF=∠45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AFE和△AFG中,
∴△AFE≌△AFG(SAS)
∴EF=GF(全等三角形对应边相等)
∵GF=BG+BF
∴EF=DE+BF
3.证明:
在△AEB和△DEC中,
∴△AEB≌△DEC(AAS)
∴AB=DC(全等三角形对应边相等)
在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(HL)
4.证明:
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF
即AF=CE
∵DE⊥AC;
BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴BF=DE(全等三角形对应边相等)
在△DEG和△BFG中,
∴△DEG≌△BFG(AAS)
5.证明:
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD(全等三角形对应角相等)
在△BAO和△CAO中,
∴△BAO≌△CAO(SAS)
∴∠AOB=∠AOC(全等三角形对应角相等)
∵∠AOB+∠AOC=180°
∴∠AOB=90°
∴AD⊥BC
6.证明:
∵∠EAC=∠FAB
∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC
即∠BAE=∠CAF
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(AAS)
∴AE=AF(全等三角形对应边相等)
在△AEM和△AFN中;
∴△AEM≌△AFN(ASA)
∴AM=AN(全等三角形对应边相等)
7.AB=AC,理由如下:
证明:
∵DF⊥AB;
DE⊥AC
∴∠AFD=∠AED=∠BFD=∠CED=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠EAD
在△AFD和△AED中;
∴△AFD≌△AED(AAS)
∴DF=DE,AF=AE(全等三角形对应边相等)
∵点D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BFD和Rt△CED中
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)
∴BF=CE(全等三角形对应边相等)
∴AF+BF=AE+CE
即AB=AC
二次全等(随堂测试)
如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BD=CD.求证:
BE=CF.
过程规划:
1.
1.准备第一次全等的条件:
∠EAD=∠FAD
∠AED=∠AFD=∠CFD=90°
2.证明第一次全等
△AED≌△AFD
3.根据全等三角形的性质得
DE=DF
4.证明第二次全等
Rt△BDE≌Rt△CDF
5.根据全等三角形的性质得
BE=CF
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=∠CFD=90°
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴DE=DF(全等三角形对应边相等)
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE=CF(全等三角形对应边相等)
二次全等(习题)
例题示范
例1:
如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,且BD=CE,BE交CD于点O.求证:
AO平分∠BAC.
【思路分析】
1读题标注:
2梳理思路:
要证AO平分∠BAC,则需证明∠DAO=∠EAO.
要证∠DAO=∠EAO,则需证明△AOD≌△AOE.
要证△AOD≌△AOE,需找三组条件,其中必须有一组边.
分析发现,AO=AO,∠ADO=∠AEO=90°
,已经有了两组条件,还需要一组条件.
从已知条件出发,发现BD=CE,∠BDO=∠CEO=90°
,又因为∠1=∠2,可证明△BOD≌△COE.
由△BOD≌△COE,可为上面的全等准备一组条件OD=OE.
1.准备条件:
∠ADO=∠AEO=
∠BDO=∠CEO=90°
2.证明△BOD≌△COE
3.由全等性质得,OD=OE
4.证明△AOD≌△AOE
5.由全等性质得,
∠DAO=∠EAO
得出结论
至此,在△AOD和△AOE中三组条件找全,利用HL可以证明全等,从而得出结论.
【过程书写】
如图
∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=∠BDO=∠CEO=90°
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE(AAS)
∴OD=OE(全等三角形对应边相等)
在Rt△AOD和Rt△AOE中
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)
∴∠DAO=∠EAO(全等三角形对应角相等)
∴AO平分∠BAC
巩固练习
如图,△ABC是等边三角形,AB=BC=AC,∠ABC=
∠ACB=60°
,点E,F分别在AB,AC边上,∠EDF=60°
,BD=CD,∠DBC=∠DCB=30°
,∠BDC=120°
,延长AC到点G,使CG=BE.
①△EBD≌△GCD;
②△EFD≌△GFD.
如图,AB=AC,BD=CD,E是线段AD延长线上一点.
△ABE≌△ACE.
3.
如图,∠ACB=∠ADB=90°
,AD=BC,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F.求证:
CE=DF.
如图,点C,D在线段BE上,BD=EC,CA⊥AB于点A,DF⊥EF于点F,且AB=EF.求证:
CF=DA.
5.已知:
如图,在△PBC中,D为PB上一点,PD=PC,延长PC到点A,使得PA=PB,连接AD,交BC于点O,连接PO.
OD=OC.
①∵∠ABC=∠ACB=60°
,∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBE=∠ABC+∠DBC=90°
∠DCG=180°
-∠ACB-∠DCB=90°
∴∠DBE=∠DCG
在△EBD和△GCD中,
∴△EBD≌△GCD(SAS)
②∵△EBD≌△GCD(已证)
∴DE=DG(全等三角形对应边相等)
∠EDB=∠GDC(全等三角形对应角相等)
∵∠BDC=120°
,∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠GDC+∠CDF=60°
即∠GDF=60°
∴∠EDF=∠GDF
在△EFD和△GFD中,
∴△EFD≌△GFD(SAS)
在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SAS)
在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)
∴AC=BD(全等三角形对应边相等)
∠CAB=∠DBA(全等三角形对应角相等)
∵CE⊥AB,DF⊥AB
∴∠CEA=∠DFB=90°
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS)
∴CE=DF(全等三角形对应边相等)
∵CA⊥AB,DF⊥EF
∴∠CAB=∠DFE=90°
∵BD=EC
∴BD+DC=EC+DC
即BC=ED
在Rt△ABC和Rt△FED中,
∴Rt△ABC≌Rt△FED(HL)
∴∠B=∠E(全等三角形对应角相等)
在△ABD和△FEC中,
∴△ABD≌△FEC(SAS)
∴CF=DA(全等三角形对应边相等)
在△ADP和△BCP中,
∴△ADP≌△BCP(SAS)
∴∠A=∠B(全等三角形对应角相等)
∵PD=PC,PB=PA
∴PD-PB=PA-PC
即BD=AC
∴△BOD≌△AOC(AAS)
∴OD=OC(全等三角形对应边相等)
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