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怎样判断质数和合
能告诉老师四则运算的运算顺序吗?
还记得四则运算中,我们学了哪些运算定律?
对,回答的很好。
那你能够灵活的应用这些运算定律进行简便计算吗?
能不能都没关系,今天我们就一起徜徉在速算与巧算的海洋中吧。
2.知识点讲解
一、约数与倍数
最大公约数:
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
最小公倍数:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
短除法:
短除法求最大公因数,先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公因数。
短除法求最小公倍数,先用这几个数的公因数去除每一个数,再用部分数的公因数去除,并把不能整除的数移下来,一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止,然后把所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
辗转相除法求最大公约数:
大除小,小除余,直到余数为0.看最后一个式子的除数。
分解质因数法求最大公约数:
先分解质因数,然后把相同的因数相乘,然后选共有的因数
分解质因数法求最大小公倍数:
先分解质因数,然后把出现的所有因数连乘起来,相同的只乘一次(选最多的)
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×
最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×
[a、b]=a×
b
2、奇偶分析
奇偶性:
能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数
加、减——同偶异奇:
在加法与减法中,参与计算的两个数的奇偶性相同,那么结果就是一个偶数,若奇偶性不同,那么结果就是一个奇数;
(奇+奇=偶;
偶+偶=偶;
奇+偶=奇;
奇-偶=奇;
偶-奇=奇;
偶-偶=偶;
奇-奇=奇)
乘——有偶则偶:
在乘法中,参与计算的两个数只要有一个是偶数,那么结果就是一个偶数,若两个都是奇数那么结果就是一个奇数;
(奇×
奇=奇;
奇×
偶=偶;
偶×
偶=偶)
3、质数和合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数,通常用短除法分解质因数,任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
互质数:
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
4、整数拆分
自然数的拆分:
把一个自然数(0除外)拆分成几个自然数相加的形式
拆分方法:
从小到大-直接拆数;
从大到小-有具体要求必须用哪些数
步骤:
拆之前:
明确拆谁;
拆成几个数;
对数有怎样的要求
怎么拆:
分类;
每类有序拆数;
计算共有几种拆法
整数拆分要点及解题技巧:
类型----方法:
1、基本型;
2、造数型
3、求加数最多
方法:
1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止,再补差
4、两数型:
(1)和不变:
差小积大,差大积小
(2)积不变:
差大和大,差小和小。
5、拆数型:
积最大:
(1)允许相同:
多3少2没有1;
(2)不允许相同:
从2连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止
1)超几就去几
2)多1去2,差1补尾
一、速算与巧算
运算律:
(1)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
(2)加法交换律:
a+b=b+a
(3)乘法结合律:
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
(4)乘法交换律:
a×
b=b×
a
(5)乘法分配律:
(a+b)×
c+b×
c或a×
(b+c)=a×
b+a×
c
去括号如何变号:
(1)在加减混合运算中,去括号时,如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变;
如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
(2)在加减混合运算中,加括号时,如果添加的括号前面是“+”,那么括号内的数的原运算符号不变,如果添加的括号前面是“-”,那么括号内的数的原运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
(3)在乘除法中,去括号情形,括号前面是“×
”时,去括号后,括号内的乘除符号不变;
括号前是“÷
”时,去括号后,括号内的“×
”变为“÷
”,“÷
”变为“×
”。
(4)在乘除中,加括号情形,加括号时,括号前是“×
”时,原符号不变;
”时,原符号“×
凑整:
加减凑整:
分组凑整法加补凑整法“基准数法”当几个数接近于某一个整数的数相加时,选这个整数为基准数(把多加得数减去,多减的数加上)
乘法凑整:
2×
5=10,4×
25=100,8×
125=1000
思想核心:
先把能凑成整十、整百、整千的数结合一起,最后再与前面的数相乘,使得运算简便。
乘法计算:
提取公因数法(没有公因数,想办法构造公因数)
数学速算公式:
(1)几十几与十几相乘公式:
几十几与十几相乘,可将几十几的十位数与十几的个位数相乘,再加上几十几的十倍,然后加上两个个位数字之积。
(2)个位数相同的两位数相乘时,可以先将两个十位数字相乘,再乘以100,再加上(一个因数与另一个因数十位数值的和)×
另一个因数的个位数。
(3)一因数两数字和是10,另一因数为11的倍数,这样的两个两位数相乘,可先将前一个乘数的十位数字加1,再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100,然后加上两个个位数之积。
(4)十位数相同的两个两位数相乘,可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上,再乘十位数值,然后加上两个个位数字的积。
(5)接近100的两个数相乘,分三种情况:
两个超过100的数相乘
设超过100的数分别为a和b,它们与100的差分别为h和k,则a=100+h,b=100+k。
它们的积是:
a.b=(100+h)(100+k)
=(100+h)×
100+100k-hk
=(100+h+k)×
100+hk
=(a+k)×
总结:
两个超过一百100的数相乘,可以先把一个数加上另一个数与100的差,然后将所得结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(补充数)的积。
同理可得两个不足100的两位数相乘,可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差,然后将所得结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(两个补充数)的乘积。
即(a-k)×
一个超过100,一个不足100的两个数相乘,可以先从大于100的因数中,减去另一个因数与100的差,然后将所得的结果乘上100以后,再减去两个因数分别与100之差(两个补充数)的乘积。
a=100+h,b=100-k
a.b=(a-k)×
(6)两个首位是1的两位数相乘,可以把一个数加上另一个数的末位数,所得的结果乘以10以后,再加上两个末位数的乘积。
(10+a)(10+b)=(10+a+b)×
10+ab
(7)两个末位是1的两位数相乘,可以先把两个首位数值相乘,然后在所得的结果后面添上两个首位数的和(和满十时要进位)的十倍,最后在后面添1。
二、比较与估算
分数比较大小
小数比较大小——逐位PK法(循环小数多写几位,一定要对齐比较大小)
分数比较大小:
1)化为小数;
2)通分(通分子或通分母);
3)比较倒数法:
倒数越大,原来的数越小。
4)与1相减比较法:
分别与1相减,差大的分数小。
(适用于真分数)5)基准数比较法:
确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
6)大小比较法:
用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
7)倍数比较法:
用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
糖水原理:
1)加糖原理:
加糖后糖水变甜,浓度增大
0<
<1,m>0,
<
(注意,所加m一定要相同,
<1)
2)糖水混合原理:
糖水混合后浓度介于混合前的两糖水浓度之间,若
<1,则
(适用于找一个介于两分数之间的分数。
)
④放缩法:
1)适用:
一般用来求整数部分,也可用于比较大小
2)方法:
一个算式的结果会小于放大后的数,又小于缩小后的数。
首尾放缩:
令原式结果等于A
最小的数×
个数<A<最大的数×
个数
找出A的整数部分。
3、循环小数化为分数
循环小数:
一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
循环节:
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字。
6.3232…………的循环节是32.
纯循环小数:
从小数点后第一位开始循环的循环小数
混循环小数:
不是从小数点后第一位开始循环的循环小数
小数分数互化:
分数化为小数:
分数
小数
纯循环小数化为分数:
分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数字都是9,“9”的个数同循环节的位数相同。
混循环小数化为分数:
分子是小数点后第一位数字到第一个循环节的末尾数字所组成的数减去不是循环数字所组成的数所得的差;
分母的头几个数字是9,末位几位数字是0,“9”的个数同循环节的位数相同,“0”
的个数同不循环的位数相同。
4、定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
点拨
学习札记
3、例题分析:
例1:
一块长方体木料,长2.5米,宽1.75米,厚0.75米。
如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块,不准有剩余,而且每块的体积尽可能的大,那么,正方体木块的棱长是多少?
共锯了多少块?
分析:
2.5=250厘米1.75=175厘米0.75=75厘米
其中250、175、75的最大公因数是25,所以正方体的棱长是25厘米。
(250÷
25)×
(175÷
(75÷
25)=10×
7×
3=210(块)
答:
正方体的棱长是25厘米,共锯了210块。
例2、两啮合齿轮,一个有24个齿,另一个有40个齿,求某一对齿从第一次接触到第二次接触,每个齿轮至少要转多少周?
因为24和40的最小公倍数是120,也就是两个齿轮都转
120个齿时,第一次接触的一对齿,刚好第二次接触。
120÷
24=5(周)120÷
40=3(周)
每个齿轮分别要转5周、3周。
例3、3~9这七个数,两两相乘后所得的乘积的和是奇数还是偶数?
3~9中有3、5、7、9这四个奇数,只有它们两两相乘时,乘积才会是奇数。
这四个数两两相乘,共可产生4×
3=12个积,都是奇数。
偶数个奇数相加和是偶数,偶数+偶数=偶数,所以所有积的和是偶数。
例4、把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。
一共有多少种不同的分法?
18=2×
3×
3,所以有3种分法
例5、.将1,2,3这3个数字选出1个、2个、3个按任意次序排列出来可得到不同的一位数、二位数、三位数,请将其中的质数都写出来.
按要求写出所有一位数,二位数,三位数,然后选出质数即可.
解:
一位数为:
1,2,3,
二位数为:
12,13,21,23,31,32,
三位数为:
123,132,213,231,312,321,
其中质数为2,3,13,23,31.
例6、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法其中面积最大的是哪一种长方形
讲析:
做成的长方形,长与宽的和是144÷
2=72(厘米).
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,
所以,一共有36种不同的做法.
比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:
当长与宽都是36厘米时,面积最大.
2、试比较
和
的大小
的倒数是
=10
,
所以很明显10
>10
分析,先用1分别减,再比较大小。
化成小数再比较大小。
3、循环小数化分数
设a、b都表示数,规定:
a△b表示a的3倍减去b的2倍,即:
a△b=a×
3-b×
2。
试计算:
(1)5△6;
(2)6△5。
方法与技巧
4、随堂练习
1最大公约数
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,至少能裁多少块?
2、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米?
3、用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
4、一条道路由甲村经过乙村到丙村。
已知甲、乙村相距360米,乙、丙村相距675米。
现在准备在路边裁树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树,求相邻两棵树之间的距离最多是多少米?
最小公倍数
1、学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。
六年级最少多少人?
2、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
3、一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形,这所学校至少有多少人?
4、有一批树苗,9棵一捆多7棵,10棵一捆多8棵,12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间,求共有多少棵树苗。
分解质因数
1、把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组,每小组人数在10至25人之间,求每组的人数及分成的组数。
2、将下面八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
3、有三个质数,它们的乘积是1001,这三个质数各是多少?
4、求2310的约数中,除它本身以外最大的约数是多少?
5、8、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,这4个孩子中最大的几岁?
奇偶分析
1、小华买了一本共有96张练习纸的练习本,并依次将它的各面编号(即由第1面一直编到第192面)。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸,并将写在它们上面的50个编号相加。
试问,小丽所加得的和数能否为2000?
2、1992是24个连续偶数的和,其中最大的偶数是多少?
3、有20个1升的容器,分别盛有1,2,3,…,20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。
问:
在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水?
4、某市五年级99名同学参加数学竞赛,竞赛题共30道,评分标准是基础分15分,答对一道加5分,不答记1分,答错一道倒扣1分。
所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数?
整数拆分
1、把5拆成几个自然数(0除外),共有多少种不同的拆分方法?
2、把50分拆成10个素数之和,要求其中最大的素数尽可能大,那么这个最大的素数是几?
3、把17分拆成若干个互不相等的质数之和,这些质数的连乘积最大是多少?
4、将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式,请一一列出.
1、计算
1999+2998+396+49799999+9999+999+99+9
1208-569-208662-(315-238)
3500÷
12510000÷
625
125×
15×
8×
425×
5×
64×
125
73÷
36+105÷
36+146÷
36238×
36÷
119×
5
a○b=6×
a-2×
b。
试计算3○4
对于两个数A与B,规定:
A☆B=A×
B÷
试算6☆4。
小提示
本课小结
及
下节预告
课后作业
课后评价
1、老师对学生的评价
2、学生对老师的评价
3、教学检查人员对本节课程的评价
4、回访家长的评价
课后反馈
本节课教学计划完成情况:
□照常完成□提前完成
□延后完成,原因___________________________________
学生的接受程度:
□完全能接受□基本能接受
□不能接受,原因___________________________________________
学生的课堂表现:
□很积极□比较积极□一般
□不积极,原因_____________________________________________
学生上次作业完成情况:
完成数量____%已完成部分的质量____分(5分制)
存在问题_______________________________________
配合需求:
家长________________________________________________
学管师________________________________________________
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