第3章33333简单的线性规划问题Word文件下载.docx
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C
2.已知a>0,x,y满足约束条件
若z=2x+y的最小值为1,则a=( )
A.
B.
C.1 D.2
根据约束条件画出可行域,将最大值转化为y轴上的截距,当z=2x+y经过点B时,z最小,
由
⇒
代入y=a(x-3)得a=
.
B
3.平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2B.1C.-
D.-
作出可行域,由图象可知当点M位于点A时,OM的斜率最小,由
即A(3,-1),此时OM的斜率为
=-
4.(2014·
广东卷)若变量x,y满足约束条件
则z=2x+y的最大值等于( )
A.7B.8C.10D.11
画出x,y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示,作直线l:
y=-2x,平移直线l,经过可行域上的点A(4,2)时,z取最大值,即zmax=2×
4+2=10,故选C.
5.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( )
A.10个B.9个
C.3个D.无数个
选择单位长度,找整数点.
A
二、填空题
6.图中阴影部分的点满足不等式组
在这些点中,使目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标是________.
目标函数可化为y=-
x+
,因为-
>
-1,
所以当过点(0,5)时,目标函数z=6x+8y取得最大值.
(0,5)
7.设z=kx+y,其中实数x,y满足
若z的最大值为12,则实数k=________.
画出可行域,根据线性规划知识,目标函数取最大值12时,最优解一定为A(4,4),这时12=4k+4,k=2.
2
8.已知x,y满足约束条件
则z=x-y的取值范围为________.
画出可行域,如图中的阴影部分所示.
由图知,-z是直线y=x-z在y轴上的截距,当直线y=x-z经过点A(2,0)时,-z取最小值,此时x=2,y=0,则z的最大值是x-y=2-0=2;
当直线y=x-z经过点B(0,1)时,-z取最大值,此时x=0,y=1,则z的最小值是x-y=0-1=-1,所以z=x-y的取值范围为-1≤z≤2.
[-1,2]
三、解答题
9.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;
另一种是每袋24千克,价格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费多少元?
解:
设购买重量为每袋35千克的x袋,重量为每袋24千克的y袋,则所要花费的金额z=140x+120y,依题意,可得关于x、y的约束条件:
如图所示,当直线经过点
时,目标函数z的值最小,
又x,y∈N,寻找可行域上靠近边界的几个点.
令x=0,知y≥5,当x=1,知y≥3,当x=2,知y≥2,
当x=3,知y≥1,当x=4,知y≥0,
将靠近边界的几个点(0,5),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)分别代入目标函数,
可知直线z=140x+120y过点(1,3)时,目标函数z有最小值500元.
10.某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:
甲种薄钢板每张面积2m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3m2,可做A、B的外壳分别为6个.两种薄钢板各用多少张,才能使总的面积最小?
设用甲种薄钢板x张,乙种薄钢板y张,则可做A种产品外壳(3x+6y)个,B种产品外壳(5x+6y)个,由题意可得
所有的薄钢板的总面积是z=2x+3y.
可行域是如图所示的阴影部分,
其中l1:
3x+6y=45;
l2:
5x+6y=55,l1与l2的交点为A(5,5),
因目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得,
此时z的最小值为2×
5+3×
5=25.
即甲、乙两种板各5张,既能保证制造A,B的两种外壳的用量,同时又能使用料总面积最小.
B级 能力提升
11.实数x,y满足不等式组
则ω=
的取值范围是( )
B.
C.
D.
如下图,画出满足不等式组
的解
(x,y)构成的可行域△ABO,求得B(2,2).因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(-1,1)连线的斜率,可求得目标函数的最小值-1,最大值
.故ω的取值范围是
12.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件
则实数m的最大值为( )
B.1C.
D.2
如图所示,当直线x=m经过y=2x与x+y-3=0的交点时,函数y=2x的图象上仅有一个点在可行域内,由方程组
得x=1,
所以m≤1.
13.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为( )
A.2件,4件B.3件,3件
C.4件,2件D.不确定
设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
14.已知
则x2+y2的最小值是________.
画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),如图所示,根据
表示可行域一点到原点的距离,可知x2+y2的最小值是|AO|2=5.
5
15.给定区域D:
令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取最大值或最小值的点},则T中的点共确定________条不同的直线.
画出可行域,其中z=x+y取最小值的整点为(0,1),取得最大值时的整点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),共5个.
故可确定的直线有5+1=6(条).
6
16.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
蔬菜
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩?
并求出最大利润.
设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x亩和y亩,则依题意得
目标函数z=0.55×
4x+0.3×
6y-1.2x-0.9y=x+0.9y,作出可行域如图所示.
由图知,z=x+0.9y经过点A时,z最大,
⇒A(30,20),
所以种植30亩黄瓜和20亩韭菜时,总利润最大,最大利润为48万元.
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