全等三角形之婆罗摩笈多模型文档格式.docx
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延长AN到W,使NW=NA,连接EW。
在∆WEN和∆AGN中,
NW=NA(已作)
∠WNE=∠ANG(对顶角)
EN=GN(已知)
∴∆WEN≌
∆AGN(SAS)
∴EW=GA,∠EWN=GAN
∵∠EWN=GAN
∴EW//GA
∴∠WEA+∠EAG=180°
(平行线同旁内角)
∵∠GAC=90°
,∠EAB=90°
∴∠EAG+∠CAB=180°
∴∠WEA=∠CAB
∵EW=GA
又∵GA=AC
∴EW=AC
在∆EWA和∆ACB中
EA=AB
∠WEA=∠CAB
EW=AC
∴∆EWA
≌
∆ACB(SAS)
∴WA=CB,∠EAW=∠ABC
∵∆ABC
∆EAW
∴S∆EWA
=
S∆ACB
∵∆WEN≌
∆AGN
∴S∆WEN=
S∆AGN
∴S∆ACB=S∆EWA
=S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG
∵WN=AN
∴BC=2AN
∵∠WAB=∠EAB+∠EAW
又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB(三角形外角性质)
∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB
∵∠EAW=∠ABC(∠ABC即∠ABM)
∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB
∴∠EAB=∠AMB
∴∠AMB=90,即AM⊥BC,证毕。
【题目】分别以∆ABC的边AB、AC为边,向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG,AM⊥BC。
N为EG的中点;
BC=2AN
;
【证明一】:
作EW//AG,交AN的延长线于W
∵EW//AG
∵∠EAB和∠GAC为正方形的角,所以两个角均为90°
∴∠EAG+∠BAC=180°
∴∠WEA=∠BAC
∴∠EWN=∠GAN
∵∠GAN+∠MAC=90°
∵AM⊥BC
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MCA=∠GAN
∴∠MCA=∠EWN
在∆ABC和∆EAW中,
∠BCA=∠AWE
∠CAB=∠WEA
AB=EA
∴∆ABC
∆EAW(AAS)
∴AW=BC
∴WE=CA
∵CA=AG
∴WE=AG
∴∠WEN=∠AGN
∠WEN=∠AGN
WE=AG
∠ENW=GNA
∆AGN(ASA)
∴EN=GN,即N为EG的中点
∴WN=AN
∴BC=AW=2AN
=S∆AEN+S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG,证毕。
【证明二】:
延长AN,使AW=BC
∵∠EAB=90°
∴∠EAW+∠BAM=90°
∴∠ABC+BAM=90°
∴∠EAW
=∠ABC
AB=EA(正方形)
∠ABC=∠EAW(已证)
BC=AW(已作)
∆ABC
∆EAW(SAS)
∴AC=EW,∠ACB=∠EWA
∵GA=AC
∴GA=EW
∴∠NAG+∠MAC=90°
∴∠ACM+∠MAC=90°
∴∠NAG=∠ACM
又∵∠ACB=∠EWA
∴∠NAG=∠EWA
∠EWN=∠GAN
EW=GA
∆AGN(ASA)
∴EN=GN,即N为EG的中点,证毕。
(说明:
S△ABC=S△AEG方法同证明一)
【证明三】:
(基于三垂直模型)
作EX⊥AN,交AN的延长线于X,作GY⊥AN,将AN于Y。
∴∠ABM+∠BAM=90°
∴∠EAN+∠BAM=90°
∴∠ABM=∠EAN
在Rt∆ABM和Rt∆EAX中,
∵∠ABM=∠EAN
∴∠AEX=∠BAM
∠BAM=∠AEX
∠ABM=∠EAX
∴Rt∆ABM
≌Rt∆EAX
(ASA)
∴AM=EX
同理可证:
∴Rt∆AYG
≌Rt∆CMA
∴GY=AM
∵AM=EX
∴GY=EX
在Rt∆EXN和Rt∆GYN中,
∠ENX=∠GNY
∠EXN=∠GYN
EX=GY
∴Rt∆EXN
Rt∆GYN(AAS)
∵Rt∆ABM
∴S∆ABM
=S∆EAXBM=AX
∵Rt∆AYG
≌Rt∆CMA
∴S∆AYG
=S∆CMACM=AY
∵Rt∆EXN
Rt∆GYN
∴S∆EXN
S∆GYNXN=YN
∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA
=S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN+S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG
∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN,证毕。
完结......
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