学年福建省厦门市第一中学高二下学期期末模拟测试数学试题必修2解析版.docx
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学年福建省厦门市第一中学高二下学期期末模拟测试数学试题必修2解析版
绝密★启用前
2018学年福建省厦门市第一中学高二下学期期末模拟测试
数学试题(必修2)
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
分卷I
一、选择题(共12小题,每小题4.0分,共48分)
1.一座楼房由若干个房间组成,该楼的三视图如图所示.则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是( )
A.右前上方
B.左前上方
C.右后上方
D.左后上方
2.直线x+2y-5+
=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
4.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.πa2
B.
πa2
C.
πa2
D.5πa2
5.方程Ax+By+C=0表示倾斜角为钝角的直线,则必有( )
A.AB>0
B.AB<0
C.BC>0
D.BC<0
6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是( )
A.12π
B.24π
C.32π
D.48π
7.针对柱、锥、台、球,给出下列命题
①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.
其中正确的是( )
A.①②
B.③
C.③④
D.①③
8.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-
=0
B.x+y+1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+
=0
9.已知直线的点斜式方程是y-2=3(x+1),那么此直线的斜率为( )
A.
B.
C.2
D.3
10.已知球的体积与其表面积的数值相等,则此球的半径为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
11.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
12.已知点A(1,2),B(2,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y-3=0
B.x-y+1=0
C.x-y=0
D.x+y=0
分卷II
二、填空题(共4小题,每小题4.0分,共16分)
13.经过两直线11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交点,且与A(3,-2),B(-1,6)等距离的直线的方程是________.
14.已知两圆C1:
x2+y2+4x-2ny+n2-5=0,C2:
x2+y2-2nx+2y+n2-3=0,则C1与C2外离时n的取值范围是________,C1与C2内含时n的取值范围是________.
15.如果实数x,y满足(x-2)2+y2=4,那么(x-6)2+(y-3)2的最大值为____________.
16.直线y=3x-2在y轴上的截距为________.
三、解答题(共6小题,每小题9.0分,最后一题11分,共56分)
17.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,求k的取值范围.
18.写出下列各圆的标准方程:
(1)圆心在原点,半径是3;
(2)圆心在点C(3,4),半径是
;
(3)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
19.设圆C1的方程为(x+2)2+(y-3m-2)2=4m2,直线l的方程为y=x+m+2.
(1)求C1关于l的对称的圆C2的方程;
(2)当m变化且m≠0时,求证:
C2的圆心在一条定直线上,并求C2所表示的一系列圆的公切线方程.
20.画出如图所示几何体的三视图.
21.如图所示,在四棱锥V-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面三角形VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值.
22.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,求k的取值范围.
答案解析
1.【答案】C
【解析】由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧,由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方,由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方,∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方.故选C.
2.【答案】D
【解析】将圆化为标准方程得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径为
,圆心到直线的距离d=
=1,则直线被圆截得的弦长为2
=2
=4.
3.【答案】C
【解析】可画出对应图形,如图所示,
则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,
∴BC∥平面PDF,故A成立;
由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,
知DF⊥AE,DF⊥PE,
∴DF⊥平面PAE,故B成立;
又DF⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立.
4.【答案】B
【解析】由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,
易知AP=
×
a=
a,OP=
a,所以球的半径R=OA满足R2=
2+
2=
a2,故S球=4πR2=
πa2.
5.【答案】A
【解析】由于直线的倾斜角为钝角,
则直线的斜率为负数,由直线的一般式方程Ax+By+C=0,
可得斜率k=-
<0,化简得AB>0,故选A.
6.【答案】D
【解析】由几何体的三视图可知,其直观图如图所示,
将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球的球心为SB的中点,
球的半径R=
SB=
=2
,
∴S球=4π·(2
)2=48π.
故选D.
7.【答案】B
【解析】①不正确,因为球也是三视图完全相同的几何体;②不正确,因为一个横放在水平位置的圆柱,其正视图和俯视图都是矩形;③正确;④不正确,因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形.故选B.
8.【答案】A
【解析】因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y=x+1,所以k·1=-1,所以k=-1,设直线l的方程为y=-x+b(b>0),即x+y-b=0,所以圆心到直线的距离为
=1,所以b=
.
9.【答案】D
【解析】直线的方程y-2=3(x+1),由点斜式方程的特征可知斜率k=3,
故选D.
10.【答案】B
【解析】设球的半径为r,则球的体积为
,球的表面积为4πr2.因为球的体积与其表面积的数值相等,
所以
=4πr2,解得r=3.
故选B.
11.【答案】D
【解析】∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD⊂平面ADC,
∴平面ADC⊥平面DBC.
12.【答案】C
【解析】设线段AB的垂直平分线为l,
∵点A(1,2),B(2,1),
∴AB的斜率k=
=-1,
AB的中点坐标为(
,
),即(
,
).
∵直线l经过AB的中点与AB垂直,
∴直线l的斜率k1=
=1,
可得l的方程为y-
=1×(x-
),
化简得x-y=0.
即线段AB的垂直平分线的方程是x-y=0.
故选C.
13.【答案】7x+y-9=0或2x+y+1=0
【解析】两直线11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交点坐标是(2,-5),AB的中点为(1,2),所求方程是7x+y-9=0;AB的斜率是-2,所以所求方程是2x+y+1=0.故所求直线方程是7x+y-9=0或2x+y+1=0.
14.【答案】(-∞,-5)∪(2,+∞) (-2,-1)
【解析】圆心分别是C1(-2,n),C2(n,-1),半径分别是r1=3,r2=2,
C1C2=
=
.
外离时,
>5,
即n2+3n-10>0,解得n<-5或n>2;
内含时,
<1,
即n2+3n+2<0,解得-2<n<-1.
15.【答案】49
【解析】圆(x-2)2+y2=4的圆心为
,半径为2,点
与点
的距离d=5,所以圆上的点到
的最大距离为5+2=7,所以(x-6)2+(y-3)2的最大值为49.
16.【答案】-2
【解析】∵直线y=3x-2中,常数项b=-2,
∴直线y=3x-2在y轴上的截距为-2.
17.【答案】由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,
且斜率不大于零,则
得k≥
,
所以,k的取值范围是
.
【解析】
18.【答案】
(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.
(2)由于圆心在点C(3,4),半径是
,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(
)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.
(3)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=
=
.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=
.
【解析】
19.【答案】
(1)圆C1的圆心为C1(-2,3m+2),
设C1关于直线l的对称点为C2(a,b),则
解得
∴圆C2的方程为(x-2m)2+(y-m)2=4m2.
(2)由
消去m得a-2b=0,
即圆C2的圆心在定直线x-2y=0上.
设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切,则
=2|m|,
即(-4k-3)m2+2(2k-1)bm+b2=0.
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的m值都成立,所以有
解得
所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为y=-
x.
【解析】
20.【答案】图
(1)为正六棱柱,可按棱柱的三视图画法画出;图
(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图法画出它们的组合形状.三视图如图所示.
【解析】
21.【答案】∵底面四边形ABCD是正方形,
∴AB⊥AD.又∵平面VAD⊥底面ABCD,
AB⊂平面ABCD,且平面VAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥平面VAD.
如图所示,取VD的中点E,连接AE,BE.
∵△VAD是正三角形,
∴AE⊥VD,AE=
AD.
∵AB⊥平面VAD,
∴AB⊥VD.
又∵AE∩AB=A,
∴VD⊥平面ABE.
∴BE⊥VD.
因此∠AEB就是所求二面角的平面角,
于是tan∠AEB=
.
【解析】
22.【答案】由直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点可得直线与圆相交,故圆心到直线的距离小于圆的半径,
即
<1,解得k∈(0,
).
【解析】
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