七年级数学下册 第二章 平行线与相交线教案 北师大版Word文档下载推荐.docx

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参照教材p59光的反射实验提出下列问题：

（1）模拟试验：

通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。

（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。

说出图中各角与∠3的关系。

将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。

图中还有哪些角互补？

哪些角互余？

在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。

图中都有哪些角相等？

由此你能够得到什么样的结论？

在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。

由此，我们得到了一个新的概念：

互为余角.即：

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角（plementaryangle）,也就是说其中一个角是另一个角的余角.

只要有∠BDC+∠1=90°

，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.

再之：

∠1与∠BDC是互为余角就是说：

∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.

大家看老师手里拿两个三角板（一边演示，一边叙述）：

这一个三角板的60°

的角与另一个三角板的30°

的角加起来正好是90°

，那么我们说这两个角是互为余角.

同学们应注意：

（强调）

（1）互为余角是对两个角而言的.

（2）互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.

［生］老师，我们知道了：

两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：

∠1+∠ADF=180°

∠EDB+∠1=180°

.

那么这样的两个角又叫什么呢？

［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：

互为补角.即：

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角（supplementaryangle）.

互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？

［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°

，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.

［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：

∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.

［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.

［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.

［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.

好，下面大家来想一想.（出示投影片§

2.1A）

在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.

（1）哪些角互为余角？

哪些角互为补角？

（2）∠ADC与∠BDC有什么关系？

为什么？

（3）∠ADF与∠BDE有什么关系？

图2－2

（同学们分组讨论，得结论）

［生甲］在图中：

∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.

∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.

［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：

∠ADC+∠1=90°

，∠BDC+∠1=90°

所以：

∠ADC=90°

－∠1=∠BDC.

［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：

因为∠ADC+∠1=90°

，∠BDC+∠2=90°

，所以∠ADC=90°

－∠1，∠BDC=90°

－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.

［生丁］老师，是不是这样：

∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：

同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：

相等的角的余角相等.

［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？

［生齐声］丁同学总结得对.

［师］很好，这就得出互为余角的性质：

同角或等角的余角相等.

接下来看第三个问题:

（同学们踊跃发言，得出结论）

［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°

，∠1+∠BDE=180°

，所以，∠ADF=180°

－∠1=∠BDE.还可以这样说：

因为∠1+∠ADF=180°

，∠2+∠BDE=180°

，所以∠ADF=180°

－∠1，∠BDE=180°

－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.

因此得出结论：

同角或等角的补角相等.

［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：

接下来，我们议一议.

（可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.）（出示投影片§

2.1B）

（1）用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？

（2）如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：

∠1与∠2的位置有什么关系？

它们的大小有什么关系？

图2－3

［生甲］

（1）用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.

［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.

∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.

［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.

如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.

由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：

两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.

所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：

（1）看是不是两条直线相交所得的角;

（2）看是不是有公共顶点而没有公共边（或不相邻）的两个角.

另外，从对顶角的定义还可知：

对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；

一个角的对顶角只有一个.

接下来大家想一想：

对顶角有什么性质？

［生齐声］对顶角相等.

［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.

下面大家来议一议（出示投影片§

2.1C）

如图（P52的上图）所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？

你的根据是什么？

［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°

［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°

－140°

=40°

［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.

下面我们来做一练习，以巩固所学内容.

Ⅲ.课堂练习

1.下图中有对顶角吗？

若有，请指出，若没有，请说明理由.

图2－4

答案：

图

（1）、

（2）、（3）中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图（4）中有对顶角，分别是∠1与∠3；

∠2与∠4.

2.判断对错

（1）顶点相对的角是对顶角.（）

（2）有公共顶点，并且相等的角是对顶角.（）

（3）两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.（）

（4）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.（）

×

×

√

（举反例说明）

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：

定义：

互为余角：

如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.

互为补角：

如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.

对顶角：

像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

注意：

（1）互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.

（2）对顶角的判断条件：

性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

对顶角相等.

Ⅴ．课后作业

（一）课本P52习题2.11、2、3

（二）1.预习内容：

P53~54

2.预习提纲

（1）直线平行的条件是什么？

（2）同位角的概念.

（3）会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

●板书设计

2.1台球桌面上的角

一、台球桌面上红球滑过的痕迹

图2－5

∠1+∠ADC=90°

∠1+∠BDC=90°

∠1+∠BDE=180°

二、互为余角、互为补角的定义

三、互为补角、互为余角的性质

四、对顶角的定义

五、对顶角的性质：

六、练习

七、小结

八、作业1．习题2.1数学理解1，2

习题2.1问题解决1，2

第二课时

2.2.1探索直线平行的条件

（一）

1.直线平行的条件：

同位角相等.

2.会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线.

1.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.

2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

1.在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯.

2.培养学生理论联系实际的观点.

在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件.

同位角的概念.

观察——探索——归纳

教师创设情景，使学生主动地、积极地参与学习活动，进行观察，探究，发现规律，从而找到直线平行的条件.

［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？

［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下（出示投影片§

2.2.1A）.

判断正误：

1.两条直线不相交，就叫平行线.（）

2.与一条直线平行的直线只有一条.（）

3.如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行.（）

［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线.

（也可举例：

如异面直线.学生只要说清即可）.

［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行.

［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质.

［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例（出示投影片§

2.2.1B）

如P53的上图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行?

（同学们讨论）

［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示.

［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.

［师］大家经过讨论，得到了：

若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？

这节课我们就来探索直线平行的条件.

［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做（出示投影片§

2.2.1C）

如图

（1）所示，三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.

图2－11

如图

（2），在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？

木条a何时与木条b平行？

改变图

（1）中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？

［师］同学们先独立操作、观察，找出结论，然后前后四人讨论，得出结论.

（学生动手操作，然后交流，教师指导、巡视）

［生甲］在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：

大于、等于、小于；

木条a与木条b的位置关系有两种情况：

相交与平行；

当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.

［师］你们同意他的说法吗？

［生齐声］同意.

［师］好，这只是一种情况下得出的结论.如果改变∠1的大小，情况又如何呢？

［生乙］我们观察到的情况与甲同学说的一样.

［生丙］我注意到：

只要∠2与∠1的大小相等，那么木条a、b就平行.

［师］是这样的吗？

［生齐声］是.

［师］好.由此可以看到：

木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小关系密切相关，当∠1等于∠2时，木条a、b所在的直线就平行.那么∠1、∠2是什么样的角呢？

看图：

图2－12

直线AB、CD与直线l相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线l所截），构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方，并且都在直线l的右侧，像这样具有位置相同的一对角称为同位角（correspondingangles）,∠3与∠4也是同位角.

辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字，在第三条直线的同旁，被截两直线的同方向.

下面大家看这个图中，还有没有其他的同位角呢？

［生甲］∠5与∠6是同位角.这两个角在直线l的右侧，又在直线CD、AB的下方.

［生乙］∠7与∠8是同位角.这两个角分别在直线CD、AB的下方，并且在直线l的左侧.

［师］很好，大家了解了同位角后，想一想刚才我们得到的：

“当∠1=∠2时，木条a、b所在的直线平行”这个结论应该怎么叙述？

［生］从图中可知：

∠1与∠2是同位角.所以可以这样说：

同位角相等，两条直线平行.

［师］好，这样我们就得到直线平行的条件：

同位角相等.即：

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行.

用几何符号表示：

∠1=∠2→a∥b

在上学期，我们学过了利用移动三角尺的方法来画平行线，那现在大家来分组讨论讨论.（出示投影片§

2.2.1D）

怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？

你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？

请说出其中的道理.

（学生分组操作、讨论）

［生甲］（学生一边操作，一边叙述）.先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线.

用这种方法可以作：

过已知直线外一点画它的平行线.

（图如下：

AB∥CD,点P在CD上.）

图2－13

［生乙］画直线CD与AB平行的过程中，实际上使用了一个三角尺的一边和另一个三角尺的一个角.一个三角尺不动，在另一个三角尺平移的过程中，那个角的大小不变，而且从一个位置平移到另一个位置，两个位置上的那个角构成了同位角关系.“同位角相等，两直线平行.”

［师］同学们分析得很好.在画已知直线的平行线时，实际就用到了“同位角相等，两直线平行”这个直线平行的条件.

好，下面大家动手画一画：

过直线外一点画这条直线的平行线.

（学生动手操作，教师指导）

［师］好，同学们画得很好.接下来我们做练习，以巩固本节所学内容.

课本P55随堂练习

1.找出图2－14点阵中互相平行的线段，并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）.

图2－14图2－15

AB∥CD、EF∥GH

因为线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都是45°

2.如图2－15，∠1=∠2=55°

，∠3等于多少度？

直线AB、CD平行吗？

说明你的理由.

∠3=55°

因为∠3与∠2是对顶角，对顶角相等，所以∠3=55°

因为∠1=∠2=55°

，∠3=55°

所以可得∠1=∠3.又因为∠1与∠3构成的是同位角.由同位角相等，两直线平行可得：

AB与CD平行.

本节课我们主要探讨了直线平行的条件：

“同位角相等，两直线平行”.还认识了同位角，并且会用三角尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.

到现在为止，我们就有了三种判定两直线平行的方法：

（1）定义（不常用）

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

（3）同位角相等，两直线平行.

Ⅴ.课后作业

一、课本P55习题2.21、2

二、1.预习内容：

P56~57

2.预习提纲：

（1）内错角、同旁内角的概念.

（2）两直线平行的条件.

2.2.1探索直线平行的条件

一、直线平行的条件：

1.同位角的定义.

2.直线平行的条件：

同位角相等，两直线平行

∠1=∠2→AB∥CD

二、议一议

画一画.

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

第三课时

2.2.2探索直线平行的条件

（二）

1.会判断内错角、同旁内角.

2.直线平行的条件.

1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

2.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些实际问题.

创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神，并从中使他们受益.

两条直线平行的条件：

角相等或互补.

两条直线平行的条件的应用.

探索发现法

教师创设现实情景，让学生积极主动地去探索、发现，使其找到解决问题的方法.

［师］上节课我们探讨了直线平行的条件.谁来给大家总结一下：

判定两条直线平行的方法.

［生］判定两条直线平行的方法到现在为止有以下三种：

①定义：

即：

在同一平面内不相交的两条直线是平行线.

②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

③同位角相等，两直线平行.

［师］这位同学总结得很好.大家要会应用这些方法来判定两直线平行.下面来看一个实际例子.（出示投影片§

2.2.2A）

小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB.（如图2－23所示）

图2－23

小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？

［师］大家分组讨论一下.

［生甲］小明只有量角器，所以想到应该用“同位角相等，两直线平行”来判定.但图中又没有同位角，是不是应该找另外的角呢？

［生乙］我们说：

两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行.所以我想把这个图形中的上下边缘及线段AB都变成直线，则图形变为图2－24.

图2－24

在图中可以看到：

∠1与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，所以只要∠1=∠3，则直线CD∥EF.

［生丙］实际上只需要把线段AB延长即可.

图2－25

［师］同学们讨论得很精彩，知道只要量出如图2－25所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行.那这两个角是什么样的角呢？

两直线平行还有哪些条件呢？

这节课我们来继续探讨：

直线平行的条件.

［师］大家看图2－26.

图2－26

直线AB、CD与EF相交（或者说：

两条直线AB、CD被第三条直线所截），∠1与∠2这两个角都在直线AB、CD之间，并且∠1在直线EF的左侧，∠2在直线EF的右侧.像具有这种位置关系的角称为内错角（alternateinteriorangles）.

辨认内错角时，要看清两个角是否在被截两直线之间，是否在截线的两旁.

图中还有内错角吗？

［生］有，∠3与∠4是内错角.

［师］好，我们再看：

∠1与∠3的位置关系如何呢？

［生］∠1与∠3，这两个角也都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁.

［师］同学们说得很好，我们把具有这种位置关系的角称为同旁内角.

［生甲］老师，我知道了，那么∠2与∠4也是同旁同角，是吧？

［师］对，那谁能说一说：

辨认同旁内角要掌握什么呢？

［生乙］要看清两个角是否在截线的同旁，是否在被截两直线之间.

［师］很好，下面同学们看图，从中找出同位角、内错角、同旁内角.辨认时，一定要注意哪两条直线被哪一条直线所截.（出示投影片§

2.2.2B）

在下图中，找出所有的同位角、内错角、同旁内角.

图2－27

［生甲］∠1与∠2、∠3与∠4、∠5与∠6是同位角.∠4与∠6是内错角.∠4与∠2是同旁内角.

［生乙］还有呢：

∠7与∠8是同位角，∠2与∠8是内错角，∠6与∠8是同旁内角.

［师］还有吗？

［生齐声］没有了.

［师］好.两条直线被第三条直线所截，形成了八个角，这八个角之间的关系要弄清楚.现在我们再来看那个实例——小明测画板上下边缘是否平行.（再次出示图形）

刚才我们经过讨论得知：

当∠1=∠3时画板的上下边缘就平行.那么∠1与∠3是什么角呢？

由此可得出什么结论呢？

［生］∠1与∠3是内错角.由此可得出：

内错角相等，两条直线就平行.

［师］很好.由此我们又得出了直线平行的条件，或者说是判定两条直线平行的方法：

内错角相等，两直线平行.

同学们来叙述一下为什么.

［生］如图2－28，∠3与∠2是对顶角，相等，又由于∠1=∠3,所以∠2=∠1，因此可以得出AB∥CD.

图2－28

［师］同学们叙述得很好，即：

AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

噢，三线八角中，我们能用同位角相等或内错角相等来判定两条直线平行，那同旁内角又如何呢？

2.2.2C）

同旁内角满足什么关系时，两条直线平行？

（分组讨论、归纳）

［生甲］如图2－29，当∠1=∠2时，AB∥CD，而∠1+∠5=180°

图2－29

所以猜想∠2+∠5=180°

时，AB∥CD.

验证：

当∠2+∠5=180°

时，又∠1+∠5=180°

（平角定义），所以由“同角的补角相等”，可得：

∠1=∠2，因此由“同位角相等，两直线平行”可得：

AB∥CD.从而可知：

同旁内角互补，两直线平行.

［生乙］还可以这样验证：

时，又平