高等数学偏微分方程Word文档下载推荐.docx
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•般形式
是
:
u
;
;
u、门
F(Xi,X2,
Xn,U,,
JJ
r0
CXi
.X2
Xn
或
FXi,,Xn,U,Pi,P2,
,Pn=0,
其中Pi
=—i72
Xj
如解出Pi,可得:
Pi=f(Xi,
X2,…,Xn
,u,P2,…,Pn)
当方程的解包含某些“任意元素”(指函数),如果适当选取“任意元素”时,可得方程
的任意解(某些“奇异解”除外),则称这样的解为通解•
在偏微分方程的研究中,重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解,而不
在于求通解.
[一阶方程的柯西问题]
fX1,X2,,Xn,U,P2,,Pn
U|xu广:
X2;
Xn
称为柯西问题,式中:
:
(X2,…,Xn)为已知函数,对柯西问题有如下的存在惟一性定理.
[柯西—柯娃列夫斯卡娅定理]设f(Xi,X2,Xn,U,P2/,Pn)在点(xj,
X20,,Xn0,U0,P20,,Pn0)的某一邻域内解析,而(X2/,Xn)在点(X?
。
人°
)
的某邻域内解析,则柯西问题在点(Xi0,…,Xn0)的某一邻域内存在着惟一的解析解•
这个定理应用的局限性较大,因它要求f及初始条件都是解析函数,一般的定解问题未必能满足这种条件.
对高阶方程也有类似定理.
在有些书中写作
F(t,Xi,X2,,Xn,U,3,P,,乜)=0
CtCXiCXn
二、一阶线性方程
1.一阶齐次线性方程
[特征方程特征曲线初积分(首次积分)]给定一阶齐次线性方程
J.cu..cu_
a1X1,X2,,XnanX1,X2,,Xn0
Sx1cXn
式中ai为连续可微函数,在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组
dXj
-=aiX1,X2,,Xn(i=1,2,,n)
dt
dx-\
dx2
dXn
anX1,X2/,Xn称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程•如果曲线I:
Xi=Xi(t)(i=1,2,…,n程
(2),就称曲线I为一阶齐次线性方程的特征曲线.
如果函数t(X1,X2,,Xn)在特征曲线X^Xi(t)(i=1,2,,n)上等于常数,即
屮(X1(t),X2(t),…,Xn(t))=C就称函数t(X1,X2,,Xn)为特征方程
(2)的初积分(首次积分).
[齐次方程的通解]
aiXi,X2,,Xna2Xi,X2,,Xn
)满足特征方
10连续可微函数u=屮(X[
X2/
…,Xn)是齐次线性方程
(1)的解的充分必要条件是:
屮(X1,x2,…,Xn)是这个方程的特征方程的初积分
.
20设屮i(X1,X2,…,Xn)(
i=
1,2,…,n-
1)是特征方程
(2)在区域D上连续可微而
且相互独立的初积分(因此在D内的每一
•点,矩阵
-
'
^1
評1…
列11
CX1
CX2
CXn
列2
評2…
卵2
说
評n」
叽
[
CXn-
的秩为n-1),贝U
u=«
(屮1(X1,
X2:
Xn),,
屮n-1(X
1,X2,…,Xn))
日
疋-阶齐次线性方程
(1)的通解,其中••为n-1个变量的任意连续可微函数.[柯西问题]
式中®
(X2,"
设'
"
i(X1,
分,引入参变量'
■■■(i=1,2,
考虑方程的柯西问题
fn'
aiX1,X2,
W心=%2,…
Xn)为已知的连续可微函数.
X2,…,Xn)(i=1,2,…,n-1)为特征方程的任意n-1个相互独立的初积,n-1),从方程组
屮1(X:
X2,…,禺)=屮;
』即2(X;
X2,…,Xn)=苦2
Xn0
Xn
■;
n4X10,X2/'
X^,;
_n4
学习资料收集于网络,仅供参考解出X2,…,Xn得
阿严2,…,屮心)
则柯西问题的解为
u=®
㈢2(屮1,屮2,…,屮n-1),…,灼n(屮1,屮2,…,屮n-1))
2.非齐次线性方程
它的求解方法与拟线性方程相同.
三、
一阶拟线性方程
一阶拟线性方程为
n.
aiXi,X2,,Xn,uRXi,X2,,Xn,u
i4「Xi
其中ai及R为Xi,X2,…,Xn,u的连续可微函数且不同时为零.
[一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]
鱼=ai(Xi,X2,…,Xn,u)
.dtduc、
H=R(Xi,X2,…,Xn,u)
L.dt
(i=1,2,,n)
dXi二…
aiXi,,Xn,u
为原拟线性方程的特征方程.如果曲线I:
程,则称它为拟线性方程的特征曲线.
设’i(Xi,,Xn,u)(i=i,2,
任何连续可微函数.,
du
anXi,,Xn,uRXi,,Xn,u
Xi=Xi(t)(i=i,2,,n),u
u(t)满足特征方
n)为特征方程的n个相互独立的初积分,那末对于
3(寧i(Xi,…,Xn,u),屮2(Xi,…
都是拟线性方程的隐式解.
[柯西问题]考虑方程的柯西问题
r
aiXi,X2,
*im
u),,'
-n(Xi,…,Xn,u))=0
Xn,U—=RXi,X2/,Xn,u
uI右=®
(X2,…X)
为已知的连续可微函数.设’-;
1(Xi,X2,…,Xn初积分,引入参变量屮:
,屮2,
u),,(Xi,
■■■■;
从
1X0,X2,■
2X0,X2,'
X2,…,Xn,U)为特征方程的n个相互独立的
X,U八:
X,U八;
解出X2,
V」X0,X2,…,Xn,u)=V;
n
则由
VX!
X2,,Xn,U]X-X2,,X.,U,,‘2为人,X.,U
-®
®
2严1干2,…吧广,叭竹,竖,…严n))=0
给出柯西问题的隐式解•
四、
一阶非线性方程
[完全解•通解•奇异解
一阶非线性方程的一般形式为
FX「X2,,Xn,U,P2,,Pn[=0
pi
cxi
若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数,则称这样的解为完全解(全积分).若V(X1,X2,…,Xn,u,c,C2,…,Cn)=0为方程的完全解,从
eV
V=0,—=0i=1,2,,n
cci
消去Ci,若得一个解,则称它为方程的奇异解(奇积分).
设方程
z
q二
y
以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系,
Fx,y,z,p,q=0,
有完全解
V
则方程等价于从方程组
(x,y,z,a,b)=0(
a,b为任意常数),
V(x,y,z,a,b)=0
卫空p=0,空Mq=0
J■x:
z:
y:
消去a,b所得的方程.
Vfa:
V:
b小
0:
%0
-y
.X;
z:
a;
xb
-V:
V:
a:
—'
—q亠
.:
z:
a
利用常数变易法把a,b看作x,y的函数,将V(x,y,z,a,b)=0求关于x,y的偏导数,得p
-:
V.:
aV.:
-a:
b:
那末
aV:
b小
a:
x:
与V=0联立可确定a,b.有三种情况:
1—丄三0,将其与V(x,y,z,a,b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解.-a:
b
2如生二鱼=0,即回到完全解.
-X:
x:
3当—/0,—/0时,必有二^=0,这时,如果不属于情形2,则a与b存在函■a'
b■x,y
EVeV
数关系:
b=.(a),这里•,为任意可微函数,并从方程V(x,y,z,a,b)=O和a=0
8acb
消去a,b,可确定方程的通解.
定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内•
[特征方程•特征带•特征曲线•初积分]在一阶非线性方程:
FX「X2;
Xn,U,S,P2;
Pn=0
中,设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续,称
xi
t
2F
Pi
—n
dti4
汗
g
dPi
-(
-:
Xi
cF
Pi)
i=1,2,,n
dx1
…dx.
dp1
F
一;
tF
_n
P1
P2
Pn
iA
x1
dPn
?
FJF
Pn—.Xn:
u
为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi(t),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2,…,n)称
它为非线性方程的特征带.在x1,x2^,Xn,u空间的曲线xi=xi(t),u=u(t)(i=1,2,…,n)称为
非线性方程的特征曲线.如果函数GX1,X2/'
Xn,u,P1,P2/,Pn在特征方程的任一解Xi=Xi(t)
(i=1,2,,n),u=u(t),Pi=Pi(t)(i=1,2/,n)上等于常数,即
GX1t,X2t,…,Xnt,ut,P1t,P2t,…,Pnt二C
那末函数GX1,X2,…,Xn,U,P1,P2,…,Pn称为特征方程的初积分.
[求完全解的拉格朗日-恰比方法]考虑两个变量的情况.
对于方程F(x,y,z,p,q)=0,选择使雅可比式一F,G■■0的一个初积分G(x,y,z,p,q).解方a(P,q)
程组
Fx,y,z,p,q二0
(a为任意常数)
Gx,y,z,p,q二a
得p(x,y,z,a)及q(x,y,z,a).则方程
dz=pdx+qdy
的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程F(x,y,z,p,q)=0
的完全解.
例求方程z2p2q^^x2y2的完全解.
解方程的特征方程为
dx_dy_dz_dp_dq
2z2p2z2q2z2p2q22x_2zp2q2p2y_2zx2y2q
这里成立
pdzzdpdx
xzp
所以特征方程的一个初积分为z2p2—X2.
解方程组
■2222zpq-xz2p2_x2=a
k1
积分微分方程
得完全解
2
P=^x_
q
y2—a
dy
z2
iix+Jx2+a
xlx2+a+y£
y2-a+aln;
2+b(b为任意常数)
[某些容易求完全解的方程]
1仅含p,q的方程F(p,q)=0
G=p是特征方程的一个初积分.从F(p,q)=0与p=a(a为任意常数)得q='
「(a),积分
dz=adx+
■(a)dy
z=ax+'
■(a)y+b
(b为任意常数)
2不显含x,y的方程F(z,P,q)=0
特征方程为
dx_dy
dz
dp
dq
p;
q;
q
因此qdp-pdq=0,显然G二q为一个初积分,由
P
q-
F(z,p,q)=0,q=pa(a为任意常数)解得
p='
(z,a).于是由
dz='
■(z,a)dx+a'
■(z,a)dy
可确定完全解.
3°
变量分离形式的方程瓦f(x,Pi
=0
dx-!
dpi...
f1
■:
fn
■Pi
■Pn
.x1
xn
可取初积分Gi=fi(xi,pi),(i=i,2
n).从fi(Xi,p)=
Pi=i(Xi,a)
ai(i=1,2
n)解出
z二'
iXi,aidXib
id
式中ai,b为任意常数,且va^o.
[克莱罗方程]方程
Z八PiXifPi,P2;
Pni丄
称为克莱罗方程,其完全解为
z=迟CXi+f(C1,C2,…,Cn)
对Ci微分得
f
xL(i=1,2,…,n)
^C
与完全解的表达式联立消去Ci即得奇异解•
例求方程z—xp—yq—pq=0的完全解和奇异解.解这是克莱罗方程,它的完全解是
z=ax+by+ab
对a,b微分,得x=—b,y=—a,消去a,b得奇异解
z=—xy
[发甫方程]方程
P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0
(1)
称为发甫方程,如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件,那末方程可积分•如果可积分成
一关系式时,则称它为完全可积•
1方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R满足条件
P(迅q)+Q(d%+R普⑵
x:
y
时,存在一个积分因子J(x,y,z),使
dU1=巴Pdx+Qdy+Rdz)
从而方程的通解为
特别,
P二
0时,存在一个函数U(x,y,z)满足
U1(x,y,z)=c
Q』
从而d
所以方程的通解为
U=Pdx+Qdy+Rdz
U(x,y,z)=c
所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.
定理设对于发甫方程
(1)在某区域D上的完全可积条件⑵成立,则对D内任一点
M(x,y,z)一定有方程的积分曲面通过,而且只有一个这样的积分曲面通过.
2方程积分曲面的求法
设完全可积条件⑵成立.为了构造积分曲面,把z看成x,y的函数(设R(x,y,z)丰0),于是
原方程化为
PQ
dz=—一dx—一dy
RR
由此得方程组
—=—一三R(x,y,z)(3)
exR
孑=—Q三Q1(x,y,z)(4)
kyR
发甫方程
(1)与此方程组等价•
把方程(3)中的y看成参变量,积分后得一个含有常数c的通解
z二申(x,y;
~)
然后用未知函数~y代替常数c,将z二「x,y;
~y代入方程(4),在完全可积的条件下,可得~y的一个常微分方程,其通解为
~(y)=w(y,c)
c为任意常数,代回z=x,y;
cy中即得发甫方程的积分曲面
z=®
(x,y,屮(y,c))
x或y看成未知函数,得到同
由于发甫方程关于x,y,z的对称性,在上面的讨论中,也可把
样的结果.
例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.
1
解容易验证完全可积条件成立,显然存在一个积分因子"
■二—,用它乘原方程得
xyz
积分后得积分曲面族
xy2z=c
也可把方程化为等价的方程组
&
z
=——
dxx
yy
把y看成参变量,积分—=得通解
玫x
zx=c
用未知函数~y代替C,将zx=~y代入方程Z=工得內y
d~y_2~y
dyy
积分后有
所以原方程的积分曲面族是
五、
一阶线性微分方程组
[一阶线性偏微分方程组的一般形式
ncu,
送Ajj
jm
、Bj
j=1
ij
两个自变量的一阶线性方程组的形式是
-吃CjUj+Fi=0(i=1,2,…,n)
xj壬
bjUjfi^0i=1,2,…,n
jw
主.J
其中Aj,Bj,Cij,Fi,aij,bij,fi是(x,t)的充分光滑函数.[特征方程•特征方向•特征曲线]
i=j
dx称为该点的特征方向•如果一条
dx
1,
de©
-、j)=0,卄
称为方程组
(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向
曲线I,它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致,那末称曲线I为特征曲线•
[狭义双曲型方程与椭圆型方程]如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向,那末称方程组在D内为狭义双曲型的•
如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向,那末称方程组在D内为椭圆型的•
[狭义双曲型方程组的柯西问题]
1化方程组为标准形式——对角型
因为det(aj-、齐)=0有n个不同的实根M(x,t)/,.n(x,t),不妨设
■!
(X,t):
'
2(X,t):
-n(X,t)
那末常微分方程
ix,ti=1,2,,ndt
的积分曲线li(i=1,2,…,n)就是方程组
(1)的特征曲线.方程
—-Sij—■■■'
■^ij'
k=0
i日
的非零解(,k⑴,…,■占))称为对应于特征方向“的特征矢量•作变换
vi='
Juji=1,2,…,n
j二
可将方程组化为标准形式——对角型
ix,t'
為ajx,tVj「x,ti=1,2,…,n
.t:
xj1
所以狭义双曲型方程组可化为对角型,而一般的线性微分方程组
(1)如在区域D内通过未
知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话,(此时不一定要求行都不相同),就称这样
的微分方程组在D内为双曲型的•
2对角型方程组的柯西问题
考虑对角型方程组的柯西问题
I
_ViVi
—-ix,t——二'
ajx,tVjix,t
H:
xj毘i=1,2「,n
[vi(x,0)=%(x)
i(x)是[a,b]上的连续可微函数.设:
-j,<
'
i在区域D内连续可微,在D内可得相应的积分方程组
_n1
Vix,t=iXiI”6jVjidti=1,2,,n
=i」#」
式中li为第i条特征曲线li上
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