轴对称图形典型例题Word下载.docx
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证法二:
如下图
(2),在BC上截取BE=AB,连结DE,证明△ABD◎△EBD可得.
(2)
证法三:
如下图(3),延长BA到E,使BE=BC,连结ED,以下同证法
(3)
注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键
是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.
例3已知,如下图,ADABC的中线,且DE平分ZBDA交AB于E,DF平分ZADC交AC于F.
在DA截取DN=DB,连结NE、NF,贝UDN=DC,在△BDE和厶NDE中,
BD=ND,
奁BDE=ZNDE,
DE=DE.
(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)
•••△BDE◎△NDE(SAS),
•BE=NE(全等三角形对应边相等),
同理可证:
CF=NF,
在厶EFN中,EN+FN>
EF(三角形两边之和大于第三边),
BE+CF>
EF.
延长ED至M,使DM=ED,连结CM、MF,在厶BDE和厶CDM中,
BD二CD,
.BDECDM,
DE=DM.
(从另一个角度作辅助线)
•••CM=BE(全等三角形对应边相等),
又•••/BDE=/ADE,/ADF=ZCDF,
而/BDE+/ADE+/ADF+/CDF=180°
/ADE+/ADF=90°
即/EDF=90°
/FDM=/EDF=90°
在厶EDF和厶MDF中,
ED二MD,
EDF=MDF,
DF二DF.
•△EDF◎△MDF(SAS),
•EF=MF(全等三角形对应边相等),
在厶CMF中,
CF+CM>
EF,
BE+CF>
EF.
注本题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中.
例4已知,如下图,P、Q是厶ABC边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ.求:
/BAC的度数.
解:
•••AP=PQ=AQ(已知),
•••/APQ=ZAQP=ZFAQ=60°
(等边三角形三个角都是60°
),
•••AP=BP(已知),(注意观察图形和条件)
•/PBA=ZPAB(等边对等角),
/APQ=ZPBA+ZFAB=60°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),
•/PBA=ZPAB=30°
,同理/QAC=30°
/BAC=ZBAP+ZFAQ+ZQAC=30°
+60°
+30°
=120°
注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是掌握求角的步骤:
(1)利用等边对等
角得到相等的角;
(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系;
(3)利用三角形内角和定理列方程.
例5已知,如下图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.
求证:
/F=/A.
•••AB=AC,
•/B=ZACB(等边对等角),
EB=ED,
/B=ZEDB,
•/ACB=ZEDB(等量代换),
•ED//AC(同位角相等,两直线平行),
在厶BDE和厶AED中,BE=AE=ED,
连结AD可得,/EAD=/EDA,/EBD=/EDB,
/EDA+ZEDB=90°
即卩AD丄BC,
/EDA+ZEDB=90°
即卩AD丄BC,
(用什么定理判定三角形全等的?
)
•D为BC的中点,
•△BDE◎△CDF,
•/BED=ZF,而/BED=ZA,
•/F=ZA.
例6已知,如下图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,/AEF=ZAFE.求证:
EF丄BC.
作BC边上的高AD,D为垂足,
AB=AC,AD丄BC,
/BAD=ZCAD
(等腰三角形三线合一),
又•••/BAC=ZE+ZAFE,/AEF=ZAFE,
/CAD=ZE,•••AD//EF,
AD丄BC,
EF丄BC.
过A作AG丄EF于G,
ZAEF=ZAFE,AG=AG,ZAGE=ZAGF=90
•△AGE^AAGF(ASA),
AB=AC,•ZB=ZC,
又ZEAF=ZB+ZC,(请对比多种证法的优劣)
•ZEAG+ZGAF=ZB+ZC,
ZEAG=ZC,•AG//BC,AG丄EF,EF丄BC.
过E作EH//BC交BA的延长线于H,
•ZH=ZB=ZC=ZAEH,
ZAEF=ZAFE,ZH+ZAFE+ZFEH=180°
ZH+ZAEH+ZAEF+ZAFE=180°
•ZAEF+ZAEH=90°
,即ZFEH=90°
EF丄EH,又EH//BC,
AB=AC,•ZB=ZC,
1
ZB=2(180°
-ZBAC),
ZAEF=ZAFE,
ZAFE=2(180°
-ZEAF),
/BFK=ZAFE,
/BFK=2(180°
连结BC,
•••AB=AC(已知),
•ZABC=ZACB(等边对等角),
又•••点A、D在线段BC的垂直平分线上
(与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上),而两点确定一条直线,
•AD就是线段BC的垂直平分线,
•PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等),
•ZPBC=ZPCB(等边对等角),(线段垂直平分线的性质)
•ZABC-ZPBC=ZACB-ZPCB(等式性质),
即ZABP=ZACP.
注本题若用三角形全等,至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质,就显得比
较简洁.
例8如下图,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于丘,若厶ABC的周长为28,BC=8,求厶BCE的周长.
•••等腰△ABC的周长=28,BC=8,
2AC+BC=28,
•••AC=10,(理由是什么?
•/DE垂直平分AB,
AE=BE,
•△BCE的周长=BE+EC+BC
=AE+EC+BC
=AC+BC=10+8=18.
注本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用,关键是运用线段垂直平分线的性质得到线
段的等量关系.
EF
例9已知,如下图,△ABC中,AB=AC,/BAC=120°
EF为AB的垂直平分线,
1BF=—FC
交BC于F,交AB于E,求证:
2.
连结AF,则AF=BF,
•/B=/FAB(等边对等角),
AB=AC,
•/B=/C(等边对等角),
/BAC=120°
180-"
BAC“
30
•/B=/C=2(三角形内角和定理),
/FAB=30°
/FAC=/BAC-/FAB=120°
—30°
=90°
又•••/C=30°
(线段的垂直平分线是常见的对称轴之一)
AFFC
•2(直角三角形中30°
角所对的直角边等于斜边的一半),
1BFFC
2.
连结AF,过A作AG//EF交FC于G,
AF=BF,
又•••/B=30°
/AFG=60°
/BAG=90°
•••/AGB=60°
AAFG为等边三角形,
「./GAC=30°
•AG=GC,(构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法)
思路分析
从结论分析,要证AB=BC,可连结AC,使BC与AB能落在一个三角形内,再看/BAC与/BCA能否相等?
连结AC,交DM于H,
•//AMB=75°
/DMC=45°
(已知),
•/AMD=60°
(平角定义)
又•••AM=MD,
•△AMD为等边三角形(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形),
•AM=AD(等边三角形三边相等),
CD丄BC,•/DCM=90°
•//DMC=45°
二/MDC=45°
(三角形内角和定理),
•CD=CM(等角对等边),
•AC是DM的垂直平分线
(和线段两端点等距离的点,在线段的垂直平分线上),
/MHC=90°
二/HCM=45°
/B=90°
「./BAC=45°
AB=BC(等角对等边)
【典型热点考题】
例1如图7T5,等腰△KBC的对称轴与底边BC相交于点D,请回答下列问题:
图7-15
(1)AD是哪个角的平分线;
(2)AD是哪条线段的垂直平分线;
⑶有哪几条相等的边;
(4)有哪几对相等的角.
点悟:
本题主要考查等腰三角形的所有特征.所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质
来解答问题.
等腰三角形是轴对称图形,直线AD是它的对称轴.
(1)AD是顶角/BAC的平分线.
(2)AD是线段BC的垂直平分线.
(3)AB=ACBD=DC
(4)ZBAD=ZCADZABC=ZACBZADB=ZADC
例2如图7T6,已知PB丄AB,PC丄AC且PB=PC,D是AP上一点.求证:
/BDP=ZCDP
图7-16
利用三角形全等证明两个角相等最直观,但因为图形具有明显的轴对称性,可以通过
利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以,
•••PB!
AB,PC1AC,且PB=PC
•••ZPAB=ZPAC倒角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
•/ZAPB+ZPAB=90°
ZAPOZPAC=90°
•ZAPB=ZAPC
在△^DB^DAPDC中,
PB二PC
APB二APC
PD二PD•••△3DB^PDC(SAS)
•••ZBDF^ZCDP
(有几条,画几
例3如图7T7,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴
条)•
887-17
先确定是否是轴对称图形,如果是轴对称图形,就将它们的对称轴全部画出来.解:
⑴是,它有3条对称轴.
⑵是,它有2条对称轴.
⑶是,它有2条对称轴.
(4)是,它只有一条对称轴.
(5)它不是轴对称图形,故没有对称轴.
(6)它是轴对称图形,有一条对称轴.图均略.
例4如图7T8,△KBC中,AB=AC,D在BC上,且BD=ADDC=AC将图中的等腰三角形全部写出来,并求出/B的度数.
E7-18
B的度数时,
图中共有三个等腰三角形,要将它们一一写出来,不能遗漏.在计算/要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和.
图中共有三个等腰三角形,它们分别是:
△KBq△KBD△CAD
设ZB=x,则ZC=x=ZBADZADC=ZDAC=2x.
•ZB+ZC+ZBAC=ZB+ZC+ZBAD^ZDAC
=x+x+x+2x=5x=180°
-36
180
=x=
5
例5如图7T9,在金水河的同一侧居住两个村庄AB.要从河边同一点修两条水渠到A
B两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河MN可处两条水渠最短?
B07-19
先将具体问题抽象成数学模型.河流为直线MN在直线MN的同一侧有AB两点.在
直线MN上找一点P,使P点到AB两点的距离之和为最小.这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决.
如图7T9所示.作B点关于直线MN的对称点B,连结AB'
与MN相交于P,则P点即为所求.
事实上,如果不是P点而是P点时,
则连结AP、PB和PB.
由轴对称性知道,PB=PB,PB=PB,
所以P■到AB的距离之和,AP:
PB二AP:
PB,
而P到A、B的距离之和AP•PB=AP'
PB—AB,
在ABP'
中,三角形两边之和大于第三边,APP^■AB
所以P点即为所求的点.
例6如图7-20,已知,AD为A\BC的中线,且DE平分ZBDA交AB于E,DF平分ZADC交AC于F.
图7-20
EF.
遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题.
在DA上截取DN=DB.连结NENF.贝UDN=DC
在△BDE^DANDE中,
BD=ND,
BDE—NDE,
△BDEAIDE
DE二DE,
•••BE=NE.
同理可得,CF=NF.
在勒FN中,EN+FN>
EF(三角形两边之和大于第三边).
•BE+CF>
【易错例题分析】
例已知如图7-22,在四边形ABCD中,BC>
BAAD=CDBD平分/ABC
@7-22
/A+/C=180°
.
如图7-22,过D作DE1AB交BA的延长线于E,DFJBC于F.
•/BD平分/ABC二DE=DF
在RtAEAD和Rt△^CD中,
•/AD=DC,DE=DF,
•••Rt△EAD^Rt△ZCD(HL)
•••/C=/EAD
•/ZEAD^ZBAD=180°
•ZA+ZC=180°
如图7-23,在BC上截BE=AB,连结DE,证明AABD^EBD可得.
图7-23
延长BA到E,使BE=BC,连结ED,以下同证法二,如图7-24.
S7-24
警示:
本题直接加以证明则不可能,需要巧妙的添加适当的辅助线,不会添加辅助线或添加
不适当的辅助线则是最常见的误区.本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相
等的定理来证明线段相等,添加辅助线的方法有多种情况,应该很好感悟尽快掌握.
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- 轴对称 图形 典型 例题