圆压轴八大模型题弧中点的运用Word下载.docx
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(2)垂径左理的推论得:
CO丄AD,易证:
RtZ\A3CsRtZ\&
CEsRtAcBEsRt2McFsRtZ\3DFsRtA^CG^RtACGF.
此外还有RtA/lPfRtRtRtACPG・运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.
建议:
将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。
【典例】
(2018•湖南永州)如图,线段加为00的直径,点C,£
在上,BC=CE,CD丄&
&
垂足为点D,连接3F,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证:
CF=BF;
(2)若cosZ^B£
=i,在处的延长线上取一点M,使BM=4,00的半径为6.求证:
直线CM是0O的切线.
(1)延长CD与圆相交,由垂径左理得到无=BG.再由氏=&
得到&
=奁=反,等弧所对的角相等,等角对等边。
(2)由垂径泄理的推论得0C丄
BE,再由锐角三角函数得到边BH、0H的长度,由对应边成比例得BE//CM.由ZMCO=
ZBHO=90^证得结论。
证明:
(1)延长CD交0O于G,如图,
•••cd丄ab,•••BC=BG・
VBC=CE,.\CE=BG.
•••ZCBE=ZGCB,:
・CF=BF;
(2)连接OC交BF于H,如图,
VBC=CE,:
.OC丄BE,
/£
RtAOBH中,cosZOBH=^=2,
OB5
.•.BH=£
x6=譽,OH=J&
2_(譽)2=普,
18
••0H_V_3OB_&
_3
*OC65'
OH6+45'
而ZHOB=ZCOM.
OCON
•••△OHBsMCM,:
.ZOCM=ZOHB=90°
•••OC丄CM,J直线CM是00的切线.
【点拔】
弧中点得到弧等、弦等、圆周角等,进一步引出角平分线、垂径立理、相似三角形。
再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线立理,垂径定理、相似三角形的性质左理。
可以组合出综合性比较强的有关的习题组。
抓边等角等是关键,要善于分解图形。
【变式运用】
1.(2018•四川宜宾)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE丄AB于点E且DE交AC于点FQB交AC于点G,若亜=邑
AE4
则計―(4)
2.(2010•泸州)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且处与DE分别平分ZBAD和ZADC.
(1)求证:
AEA.DE;
(2)设以AD为直径的半圆交AB于F,连接
FGDF交AEFG,已知CD=5,AE=8,求值。
AF
(1)证明:
在UABCD中,
9:
AB//CD,•••ZBAD+ZADC=180。
TAE与DE平分ZBAD和ZADC
:
.ZEAD=-ZBAD.ZEDA=-ZADC,
22
AZ4ED=180°
-(ZEAD+ZEDA)
=180。
一ZBAD+-ZADC)
=180°
--(ZBAD+ZADC)2
=180。
一90。
=90。
•••AE丄DE
(2)解:
在OABCD中,•:
AD//BC:
.ZEAD=ZAEB.HZBAE=ZDAE
.ZBAE=ZAEB9:
.AB=BE.
同理:
DC=EC=5
乂•••&
B=DC,:
.AB=BE=DC=EC=5,
.BC=AD=\0
在RtA/lED中,由勾股定理可得:
DE=JAD—AE》=V102-82=6
ZBAE=ZEAD.ZAFD=ZAED=90c:
.^AFG^AAED,
.AFAE8^4
"
FG_ED一&
一3
3・(2012•泸州)如图,Z^BC内接于G>
0,AB是00的直径,C是AD的中点,弦CF丄AB
于点H.连结AD,分别交CE、3C于点P、Q,连结
(1)
求证:
P是线段&
Q的中点:
15
(2)若的半径为5,AQ=^・求弦CE的长。
(1)证明:
TAB是OO的直径,弦CE丄AB,
.AC=彳2・又•••(7是Zb的中点,:
.AC=CD.
TAB是直径.•••ZACB=90°
・
•••ZPC0=9O°
-ZACP.ZCQP=90。
-ZCAP,
•••ZPCQ=ZCQP・:
.PC=PQ.
.PA=PQ,即P是川2的中点:
AC=CD.•••ZCAQ=ZABC・又VZACQ=ZBCA,:
.HCAQs^CBZ
L5
•Ac_?
ie_7_3bc'
Tb"
To"
4■
又9:
AB=10.:
.AC=69BC=8.
根据直角三角形的而积公式,得:
AC^BC=AB^CH.A6X8=10CH.
.CH=一・又•:
CH=HE,
5
48
.CE=2CH=——・
4.(2014・泸州)如图,四边形ABCD内接于OO,AB是0O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE*CA・
(1)求证:
BC=CD;
(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF丄CD交CD的延长线于点F,若PB=0B,CD=2V2.求DF的长.
DC2=CE^CA.
DCCA
.——=——,\CDEs\CAD、
CEDC
:
・ZCDB=ZDAC、•••四边形ABCD内接于00,
.BC=CDx
方法一:
如图,连接0C,
•••BC=CD,•••ZDAC=ZCAB,
.ZCAB=ZACO.
PC
CD=2>
/29
••=一-•••PC=4V2
PC+2yJ23
又•:
PC・PD=PB・PA
.\4>
/2•(4>
/2+2>
/2)=0B・30B
.OB=49即AB=2OB=S.用=3OB=12,在RtAACB中,
ac=Jab2-bc?
=72忑y=2辰,
TAB是直径,•••ZADB=ZACB=90°
•••ZFD4+ZBDC=90。
,ZCBA+ZCAB=90。
•:
ZBDC=ZCAB,:
・ZFDA=ZCBA,
又•••ZAFD=ZACS=90%
.AAFD^AACB
.AF_AC_2帀—斤
•FD_CB_2近一
RtAAFP中,设FD=x,则AF=y/lx>
•••在RtAAPF中有,(岳)2+(兀+6血)2=122,
方法二;
连接0C,过点0作0G垂直于CD,prPO
易证△PCOsAPDA,可得一=
PDPAPGPO
△PGOs^pfa,可得—=一,
PFPA
即可得出DF=—
2
5.(2015・泸州)如图,AABC内接于00,AB=AC,为00的弦,且AB〃CD,过点A作OO的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F.
四边形ABCE是平行四边形:
(2)若AE=6.CD=5,求OF的长.
【解答】
(1>
证明:
VAE与OO相切于点A,
.ZEAC=ZABC,9:
AB=AC
.ZABC=ZACB,•••ZEAC=ZACB,
.AE//BC,9:
AB//CD,
•••四边形ABCE是平行四边形;
如图,连接A0,交BC于点H,双向延长OF分别交AB,CD与点N,TAE是00的切线,
由切割线立理得,AE2=EC・DE,
•••AE=6,CD=5,
.62=CE(CE+5),解得:
CE=4,(已舍去负数),
由圆的对称性,知四边形ABDC是等腰梯形,且AB=AC=BD=CE=4.又根据对称性和垂径泄理,得A0垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,设OF=x.OH=y,FH=Z,
(2)如答图②,连接万G与莎相交于"
点,作PH丄朋于点H,
•••P点为J3C的中点,/.OPVBC.ZC伤=90°
又•••初为直径,AZACB=90°
AZACB=ZOSB・AOP//•:
•乙CAB=ZP(^・又VZACB=ZOHP=90"
:
.AACB^AQHP.
.A//=OA+OH=9.
•••在RtZkO/W中,有-OH・=36。
•••在RtiXAHP中有PA=JahSHP;
=屈3?
=丽=3価.
・・・PA=3丽
7.如图,△磁内接于(DQ且M为00的直径.炉的平分线交00于点D,过点D作00的切线刃交以的延长线于点尸,过点月作AELCD于点E,过点万作BFLCD于点尸.
(1)求证:
DP//ABx
(2)若AC=6,BC=8,求线段刃的长.
解:
如图,连接力,
丁曲为0。
的直径,・・.z£
防=90。
./yX/'
y/J
ZACB的平分线交O0于点D、:
・ZACD=ZBCD=45°
./
ZDAB=ZABD=A5a°
:
、、DAB为等戯直角三角形。
PD
•••00丄/IB・(图1-8)
•••刃为00的切线,•••勿丄月)・
.DP///&
・
(2)在Rt△辺中,AB=VAC--rBC*=10,
•••△恥为等腰直角三角形,f、
AEJCD、:
・'
ACE为等腰直角三角形。
在Rt△月切中,
DE=JAD:
-AE2=^5j2):
-(3j2):
=4^2,ACD=CE-rDE=3^2^4^2=7忑.
AB//PD.:
・ZPDA=ZDAB=45°
・:
.ZFAD=ZPCD.又•:
乙DPA=ZCPD、:
.l\PDAs'
pe
PD_PA_AD_5^2
APC=ro=CD=7^#
57
•8=7PD、PC=5甩
5735
又9:
PC=PA+AC.:
.7刃+6=5PD,解得PD=4.
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- 压轴 八大 模型 中点 运用
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