实际问题与二次函数详解与练习含答案Word文档格式.docx
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50x1o
根据题意,得:
yx()—x25x;
22
x>
又50X,gxv50
【x225x中,a=—<
0,•,.)有最大值,
625
故当x=25米时,养鸡场的面积取大,养鸡场取大面积为平方米。
如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化?
请读者自己完成。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;
若不能,请说明理由.
(1)解:
设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm
由题意得:
(x)2(2°
4^)217
解得:
x116,x24
当x〔16时,20-x=4;
当x24时,20-x=16
答:
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米
(2)不能
理由是:
设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为
的面积为ycm,
yx2(5x)22x210x25,
204x
4
(5x)cm,围成两个正方形
(5x)2
2x210x25中,a=2>
0,:
.v有最小值,
4acb
42251025,
——=12.5>
12,故两个正万
422
形面积的和不可能是12cm2.
的正方形ABCD的边上,若AE=x,正方形EFGH的面积为
练习1、如图,正方形EFGH的顶点在边长为ay.
E点位置;
若没有,说明理由
、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,
例题1如图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在
水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是
12y=_—x.
…一…,.一..2―
y轴,可设此函数解析式为:
y=ax,利
【解析】
试题分析:
由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为用待定系数法求解.
2-
试题解析:
设此函数解析式为:
y=ax,a10;
那么(2,-2)应在此函数解析式上.
则-2=4a
…1
即碍a=-—,
…12
那么y=-—x.
考点:
根据实际问题列二次函数关系式练习1
OA,。
恰在水面中心,安置在柱子
OA的任一平面上,
y(米)与水平距离x(米)之间的关
某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过抛物线形状如图
(1)所示.图
(2)建立直角坐标系,水流喷出的高度
系是yx22x。
.请回答下列问题:
(1)柱子OA的高度是多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?
则其宽度须不超过多少
2.一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,米.
(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系
1求抛物线的解析式;
2要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分
1求圆的半径;
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1某市政府大力扶持大学生创业.明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售
过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数:
y=—10x+500.
(1)设明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(6分)
(2)如果明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3分)
(3)物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果明想要每月获得的利润不低于2000
元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价X销售量)(3分)
答案:
(1)35;
(2)30或40;
(3)3600.
(1)由题意得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,根据利润=(定价-进
价)X销售量,从而列出关系式;
(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出销售单价;
(3)根据函
数解析式,利用一次函数的性质求出最低成本即可.
(1)由题意得出:
Wx20yx2010x50010x2700x10000,
a10v0,—35
■当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:
10x2700x100002000,
解这个方程得:
x1=30,x2=40.
..•明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)a10V0,抛物线开口向下..••当30<
x<
40时,W>
2000.
..xv32,当30vx<
32时,W>
设成本为P(元),由题意,得:
P2010x500200x10000,
k=200v0,P随x的增大而减小.
.••当x=32时,P最小=3600.
想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
二次函数的应用.
练习1.某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具,市场调查发现,若以每只50元的价格销售,平均每天
销售90只,单价每提高1元,平均每天就少销售3只.
(1)平均每天的销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为;
(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元/只)之间的函数关系式;
(3)物价部门规定每只售价不得高于55元,当每只玩具的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大利润是多少元
2.为了落实国务院的指示精神,地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农
户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千
克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
3.某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:
销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系
2....一.
yaxbx.当x1时,y1.4;
当x3时,y3.6.
信息2:
销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y0.3x.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最
大,最大利润是多少?
4.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大
学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.明按照相关政策投资销售本市生产的一种新
型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x
(元)之间的关系近似满足一次函数:
y10x500.
(1)明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果明想要每月获得的利润不低于3000元,
那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
5.某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔,物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个,根据
以往经验:
以12元/个的价格销售,平均每周销售签字笔100个;
若每个签字笔的销售价格每提高1元,则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.
(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个(用含x的式子表示);
(2)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当x取何值时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大?
6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆
数(y)有如下关系:
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式
150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x>
3000)
未租出的车辆数
所有未租出的车辆每月的维护费
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费的代数式填表:
租出的车辆数
租出每辆车的月收
益
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?
请求出公司的最大月收益是多少元.
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8,如图9,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,ZA=60°
BD±
AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿2B^C的路线匀速
运动,过点P作直线PM,使PM±
AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求^APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿2B^C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒(0<
t<
10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式;
②求S的最大值.
(1)当点P运动2秒时,AP=2cm,由ZA=60°
知AE=1,PE=j3.「.
3
APE=—.
(2)①当0Vt<
6时,点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=-,QF=^t,AP=t+2,AG=1+-,PG=73^t.
2222
33
此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=M「M
当6<
tv8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,
则AQ=t,AF=I,DF=4-:
QF=?
t,BP=t-6,CP=10-t,PG=(10t)73,
而BD=^3,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=5^t210后t34、E.
8
G,QN与DC交于点F,则CQ=20-2t,
150.3.
当8<
10时,点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点QF=(20-2t)73,CP=10-t,PG=(10t)面.
此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=33t230、Et
②当0<
6时,S的最大值为乙主
当6<
8时,S的最大值为6^3
当8<
tv10时,S的最大值为6右’
所以当t=8时,S有最大值为6也.
实际问题与二次函数
参考答案
一、1
(1)y=2x2-2ax+a2
(2)有.当点E是AB的中点时,面积最大.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
(1)先由AAS证明△AEF^DHE,得出AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,再根据勾股定理,求出EF,即可得到S与x之间的函数关系式;
(2)先将
(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式,再根据二次函数的性质即可求解.
..•四边形ABCD是边长为a米的正方形,
.•./A=ZD=90°
AD=a米.
•.•四边形EFGH为正方形,
FEH=90°
EF=EH.
在^AEF与^DHE中,
•••/A=/D,/AEF=/DHE=90°
-/DEH,EF=EH
.AEF^ADHE(AAS),
•••AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,
一2222,、222
.y=EF=AE+AF=x+(a-x)=2x-2ax+a,即y=2x2-2ax+a2;
a2
(2).■y=2x2-2ax+a2=2(x--)2+一,
24
.,•当x=—时,S有最大值.
故当点E是AB的中点时,面积最大.
二、练习1
595
(1)一
(2)—(3)-
442
【解析】本题考查了二次函数的应用
(1)本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式,从而得出y的值,即可求出答案.
(2)通过抛物线的顶点坐标求得
(3)本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子,再得出x的值,即可求出答案.
(1)把x=0代入抛物线的解析式得:
y=5,即柱子OA的高度是-
44
(2)由题意得:
当x=2=1时,y=9,即水流距水平面的最大高度
2
(1)4
(3)
1………5
—(舍去,不合题启、),x2=—22
把y=0代入抛物线
2_5
碍:
x2x—=0,解碍,x1=
5.
故水池的半径至少要一米才能使喷出的水流不至于洛在池外
12
——X4;
②10;
(2)①14.5;
②4J7.
25
(1)①利用待定系数法求函数解析式即可;
②根据题意得出y=3时,求出x的值即可;
(2)①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2,求出即可;
②在RTAWGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5-1=13.5,根据勾股定理知:
GF2=WF2-WG2,求出即可.
(1)①设抛物线解析式为:
yaxC,桥下水面苑度AB是20米,局CD是4米,•••A(-
②在RTAWGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5-1=13.5,根据勾股定理知:
GF2=WF2-WG2,即GF2=14.5
-13.52=28,所以GF=2a/7,此时宽度EF=4J7米.
1.二次函数的应用;
2.垂径定理的应用.
三、1.
(1)y=-3x+240;
(2)w=-3x2+360x-9600;
(3)定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.
(1)根据题意知销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为y=90-3(x-50)=-3x+240;
⑵根据“总利润=每件商品的利润X销售量”可知w=(x-40)y=(x-40)(-3X+240)=-3x2+360X-9600;
(3)求获得最大利润,也就是求函数w=-3x2+360X-9600的最大值.
(1)y=90-3(x-50)即y=-3x+240;
(2)w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360X-9600;
⑶当x<
60,y随x的增大而减小,
当x=55时,w最大=1125
所以定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.
(1)一次函数;
(2)二次函数.
2.
(1)w2x120x1600;
(2)该产品销售价定为每千克30兀时,每天销售利润最大,最大销售利
润200元.
(1)根据销售额=销售量X销售价单x,列出函数关系式;
(2)用配方法将
(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值.
(1)由题意得:
wx20yx202x802x2120x1600,
•••w与x的函数关系式为:
w2x2120x1600.
(2)w2x2120x16002x30200,
2v0,当x=30时,w有最大值.w最大值为200.
该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.
2.由实际问题列函数关系式;
3.二次函数的最值.
3.见解析
2.
(1)因为当x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6,代入yaxbx
得解得,所以,二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x;
9a3b3.6b1.5
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,根据题
意可列函数关系式为:
W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6,因为-0.1<
0,
根据二次函数的性质知当m=6时,W有最大值6.6,
(1)当x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6,
ab1.4
9a3b3.6
0.1
1.5
a
解得
所以,二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x;
3分
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,则W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6,
••-0.1v0,
.••当m=6时,W有最大值6.6,
购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.
1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质
4.
(1)政府这个月为他承担的总差价为600元;
(2)当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000;
(3)销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
(1)根据每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可求得每月销售量,又由单价和
成本间关系得到每件节能灯的差价,则可得到总差价.
(2)求每月可获得最大利润,即为求该二次函数的最
大值,将二次函数配方法,可得该函数的最大值.(3)w3000同时满足x£
25,根据函数图象的性质知
道,k<
0随x的增大而减小,当x=25时,该函数有最大值时,p有最小值500.
(1)当x=20时,y10x5001020500300,
政府这个月为他承担的总差价为600元。
(2)依题意得,w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10
Qa=-10<
0,
.••当x=30时,w有最大值4000.
■当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000.
(3)由题意得:
10x2+600x-50003000,
x1=20,x2=40.
Qa=-10<
0,抛物线开口向下,
结合图象可知:
当20#x40时,w33000.
又Qx£
25,当20#x25时,w>
3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,p121010x500
300?
(1210)=300?
2600,
一2
x-30+4000,
20x1000.
Qk=-20<
0,p随x的增大而减小.
•,•当x=25时,p有最小值500.
销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1.二次函数的性质;
2.二次函数的图象;
3.二次函数的综合应用
5.
(1)(220—10x);
(2)w10x320x2200(3)当x=14
销售利润最大是320元.
用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为(
w(22010x)(x10),再运用二次函数的性质解决问题,由题意可知
大为320.
(1)(220—10x);
(2)w(22010x)(x10)3分
10x2320x22005分
w10x2320x2200
10(x16)23606分
.8分
..•抛物线w10x2320x2200的开口向下,在对称轴直线x=16的左侧,W随X的增大而增大
由题意可知10x14,9分
.••当x=14时,W最大为320.
.••当x=14时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.
1.根据实际问题列函数关系式.2.二次函数的性质.
6.解:
(1)由表格数据可知y与x是一次函数关系,设其解析式为y
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- 实际问题 二次 函数 详解 练习 答案