(计算机在材料科学与工程中的应用)第二章材料科学与工过程中的数据处理.pptx
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计算机在材料科学与工程中的应用第二章材料科学与工过程中的数据处理晶粒尺寸与固溶温度和固溶时间之间的数学关系?
GH4169高温合金固溶处理后微观组织的SEM照片:
(a)1233K,30min;(b)1253K,30min;(c)1273K,30min;(d)1293K,30min;(e)1233K,60min;(f)1273K,60min.引言K.Wang,M.Q.Li,C.Li,andaustenitephasesevolutionandmodelinsolutiontreatmentofsuperalloyGH4169,MaterSciTech,29(2013)346-350.GH4169高温合金固溶处理过程中和相的演变和模型研究引言纳米铝片CNTs/Al复合粉末冷压/烧结球形铝粉仿生CNTs/Al热挤压高强、高韧高效、宏量制备仿生“叠层”Al基复合材料制备新技术仿生叠层组织性能加工成形热处理引言烧结态CNTs/Al-4Cu热变形行为流变应力-应变曲线相同应变速率不同变形温度下的应力-应变曲线流变应力与变形工艺参数之间的数学关系?
引言数据特点量大主要内容:
2.1数据处理基本理论最小二乘法回归分析方法2.2Excel和Origin软件的应用整理、归纳计算、绘图、回归分析规律性数学关系2.1数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法2.1数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法回归分析回归分析(regressionanalysis):
是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
即:
对具有相关关系的现象,根据其关系形态,选择一个合适的数学模型y=f(x),用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法。
分类:
按照回归模型中变量个数分(一元回归,多元回归)。
按照回归曲线的形态分(线性回归,非线性回归)。
最小二乘法原理图寻求规律:
其中f(x)是多项式,计算多项式系数,使得残差平方和Q最小残差平方和:
试验数据实测值与模型计算值之差为残差2.1数据处理的基本理论2.1.1、回归分析与最小二乘法最小二乘法求解系数的理论基础已知试验数据对一元线性回归的一般步骤:
将n个观察单位的变量对(x,y)在直角坐标系中绘制散点图,若呈直线趋势,则可拟合直线回归方程。
求回归方程的回归系数和截矩。
,其中a,b称为回归系数;1写出回归方程:
2画出回归直线;(3)对回归方程进行假设检验(相关分析)。
一元线性回归尽管较为简单,但非常重要,是回归分析的基础。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归其中:
回归系数的求解计算残差平方和根据最小二乘原理和极值原理有:
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验
(1)回归平方和计算最小二乘法的原则是使回归值与测量值的残差平方和最小,但它不能肯定所得到的回归方程是否能够反映实际情况,是否具有实用价值。
为了解决这些问题,尚需进行统计检验。
残余平方和Q:
表示回归方程的拟合误差由试验误差及其它因素引起自由度:
fQ=n-m-1=n-2回归平方和U:
表示自变量x1,x2,xn变化所引起的y的波动自由度fU=m(m为自变量个数)=1离差平方和(总平方和)S:
表示实验范围内,yi值总波动变化大小自由度f=fQ+fU=n-1当全部实验点落在回归线之上时,如y与x之间不存在线性关系,则由此可见,的大小反映了自变量x与因变量y之间的相关程度。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验
(2)F检验要检验y与x是否存在线性关系,就是要检验假设这是两个方差之比,它服从自有度为m及n-m-1的F分布,即:
当假设成立时,则y与x无线性关系,否则认为线性关系显著。
检验假设H0应用统计量具体如下:
当时,回归方程是高度显著的;当时,所建立的回归方程是显著的;2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归用此统计量F可检验回归的总体效果当时,则在显著性水平a回归方程是显著的。
下,所建立的回归分析的显著性检验
(2)F检验ee的大小可用残差平方和Qe与残余方差S2或残余标准偏差S来表示,即:
回归方程的精度与置信区间由于其他因素和实验误差的影响,回归系数a与常数b的波动,各实验点不一定都落在回归线上,围绕回归线有一定的离散,其离散性在某个给定的x所对应回归值y的100
(1)置信区间为:
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归置信区间估计(例题分析)【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时,工业总产值95%置信水平下的置信区间.已知n=16,se=2.457解:
ta/2(16-2)=2.1448(查表获得)置信区间为当工业总产值的点估计为100亿元时,工业总产值的平均值在97.9167亿元到102.0833亿元之间。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归利用回归直线进行预报例:
下表是轴承钢经过真空处理前后钢液中锰的含量。
现在我们来研究真空处理后成品轴承钢中锰含量(y)与真空处理前钢液中锰含量(x)的相关关系。
绘制实验数据散点图,初步判断有关线性关系,可以初步判断x与y之间存在着线性趋势。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归由此得回归方程:
y=0.085934+0.70869x2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归应用直线回归的注意事项:
作回归分析要有实际意义,不能把毫无关联的两种现象,随意进行回归分析,忽视事物现象间的内在联系和规律;如对儿童身高与小树的生长数据进行回归分析既无道理也无用途。
另外,即使两个变量间存在回归关系时,也不一定是因果关系,必须结合专业知识作出合理解释和结论。
直线回归分析的资料,一般要求应变量Y是来自正态总体的随机变量,自变量X可以是正态随机变量,也可以是精确测量和严密控制的值。
若稍偏离要求时,一般对回归方程中参数的估计影响不大,但可能影响到标准差的估计,也会影响假设检验时P值的真实性。
进行回归分析时,应先绘制散点图(scatterplot)。
若提示有直线趋势存在时,可作直线回归分析;若提示无明显线性趋势,则应根据散点分布类型,选择合适的曲线模型(curvilinearmodal),经数据变换后,化为线性回归来解决。
一般说,不满足线性条件的情形下去计算回归方程会毫无意义,最好采用非线性回归方程的方法进行分析。
绘制散点图后,若出现一些特大特小的离群值(异常点),则应及时复核检查,对由于测定、记录或计算机录入的错误数据,应予以修正和剔除。
否则,异常点的存在会对回归方程中的系数a、b的估计产生较大影响。
回归直线不要外延。
直线回归的适用范围一般以自变量取值范围为限,在此范围内求出的估计值称为内插(interpolation);超过自变量取值范围所计算的称为外延(extrapolation)。
若无充足理由证明,超出自变量取值范围后直线回归关系仍成立时,应该避免随意外延。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归幂函数指数函数指数函数对数函数双曲线函数形曲线函数转换为一元线性关系2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归可转化为一元线性回归的其它一元非线性回归eg.:
指数函数(exponentialfunction)对式两边取对数,得lny=lna+bxlna和b分别为截距和斜率b0时,y随x增大而增大;b0时,Y随X增大而减少。
更一般的指数函数可试用不同的值。
,k为一常量,往往未知,应用时可线性化的曲线回归模型,也称为本质线性回归模型2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归例在阴极溅射中,正离子轰击阴极时,使阴极的物质以微粒或碎片形式脱离阴极向四方飞散,轰击阴极的正离子质量越大,阴极溅射越厉害。
从直观上看,在离子能量不大溅射率不高的情况下,离子能量较小的变化就可以引起溅射率的较大变化,在溅射率较大的情况下,则相反。
在表中只列出惰性气体对铜的溅射实验所得数据以及描点曲线,缺少定量关系,因此有必要从数据处理上得到惰性气体对铜的溅射率与离子能量的关系,在没有物理推导公式的情况下,这种统计公式也能反映其关系。
离子能量(kev)102030405060708090溅射率(%)8.115.017.019.219.519.820.020.020.12.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归根据实验数据,在直角坐标系上标出个实验数据点,得出曲线如下图,在坐标图中可以得到溅射率和离子能量之间的大致趋势。
可以看出当离子能量开始增加时,溅射率增长较快,到一定时间就基本稳定在一个值上。
方程组解得a=0.0357,b=0.8190还原为双曲线形式1/y=0.0357+0.8190/x,也即y=x/(0.0357x+0.8190)方程组解得lna=2.8840,即a=17.8857,b=-1.4851,所以所得的指数曲线方程为。
2.1数据处理的基本理论2.1.2、一元线性回归2.1.3多元线性拟合当影响依变量的自变量不止一个,而是多个,比如绵羊的产毛量这一变量同时受到绵羊体重、胸围、体长等多个变量的影响,因此需要进行一个依变量与多个自变量间的回归分析,即多元回归分析,而其中最为简单、常用并且具有基础性质的是多元线性回归分析,许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决。
(1)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归假设随机变量y与p个自变量之间存在着线性相关关系,实际样本量为n,其第i次观测值为
(2)则其n次观测值可写为如下形式:
其中是未知参数,是随机误差,(3)假定是p个可以精确测量并可控制的一般变量,是相互独立且服从同一正态分布N(0,)的随机变量。
2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归若将方程组(3)用矩阵表示,则有(4)式中:
建立多元线性回归方程(5)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归来描述多元线性模型(6)(7)(8)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归与一元线性回归分析相同,其基本思想是根据最小二乘原理,求解使全部观测值与回归值的残差平方和达到最小值。
由于残差平方和(9)是的非负二次式,所以它的最小值一定存在。
根据极值原理,当Q取得极值时,应满足(10)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归由(9)式,即满足(11)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归上式(11)称为正规方程组。
它可以化为以下形式如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。
则有(12)(13)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵,是结构矩阵X的转置矩阵。
(13)式右端常数项也可用矩阵D来表示即或Ab=D(14)(15)如果A满秩(即A的行列式则由(13)式和(14)式得)那么A的逆矩阵A-1存在,的最小二乘估计为(16)b就是多元线性回归方程的回归系数。
,再求b,为了计算方便往往并不先求而是通过解线性方程组来求b(14)是一个有p+1个未知量的线性方程组,它的第一个方程可化为(17)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归式中(18)将(17)式代入(12)式中的其余各方程,得(19)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归其中(20)将方程组(19)式用矩阵表示,则有Lb=F其中于是(21)(22)(23)2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归2.1数据处理的基本理论2.1.3、多元线性回归例:
表观变形激活能计算高温塑性变形最显著的特点之一便是变形速度受热激活过程
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- 计算机 材料科学 工程 中的 应用 第二 过程 数据处理