高中数学圆锥曲线解题技巧总结docWord文档格式.docx
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y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点
F的距离和最小,则点Q的坐标为
。
分析:
(1)A在抛物线外,如图,连
PF,则PH
PF,因而易发现,
A
当A、P、
Q
F三点共线时,距离和最小。
H
B
P
(2)B在抛物线内,如图,作
QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,
F
距离和
最小。
解:
(1)(2,2)
连PF,当A、P、F三点共线时,APPHAP
PF最小,此时AF的方程为y
42
0(x1)即
3
y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,2
2),(注:
另一交点为(
1,2),它为直线
AF与抛物线的另一交点,舍去)
(2)(1,1)
4
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,BQQFBQQR最小,此时Q点的纵坐标为1,代入
y2=4x得x=1,∴Q(1,1)
44
点评:
这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
例2、F是椭圆x2
y2
1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,
P为椭圆上一动点。
(1)PA
PF的最小值为
y
(2)PA
2PF
的最小值为
0F
x
PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
′
PF或准线作出来考
虑
问
题。
(1)4-5
设另一焦点为
F,则F(-1,0)连AF,PF
PA
PF
PA2aPF2a
(PF
PA)2aAF
45
当P是
FA的延长线与椭圆的交点时
PA
PF取得最小值为4-
5。
(2)3
作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,a=2,c=1,e=
1,
∴PF
1PH,即2PF
PH
∴PA
2PFPA
当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为
xA413
c
例3、动圆M与圆C1:
(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:
(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。
作图时,要注意相切时的“图形特征”:
两个圆心与切点这三点(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。
列式的主要途径是动圆的“半
共线
径等于
半径”(如图中的
如图,
MC
MD)。
C
M
D
MD,
A0B5x
∴AC
MA
MB
DB即6MAMB2
∴MA
8
(*)
∴点M的轨迹为椭圆,
x2
2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为
16
15
得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
(x1)2y2(x1)2y24,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=3sinA,求点A的轨迹方程。
5
由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。
sinA
·
2RsinA
sinC-sinB=
2RsinC-2RsinB=
∴AB
AC
3BC
即AB
6
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)
∵2a=6,2c=10
∴a=3,c=5,b=4
所求轨迹方程为
9
1(x>
3)
要注意利用定义直接解题,这里由(
*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在
y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。
(1)可直接利用抛物线设点,如设
A(x1,x1
),B(x2,X2),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公
式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”
,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。
解法一:
设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)
(x1
x2)2
(x12
x22)2
9①
则x1
2x0
②
2y
③
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·
[1+(x1+x2)2]=9④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·
[1+(2x0)2]=9
∴4y04x02
92,
4x0
4y04x02
(4x02
1)
4x02
≥2915,y0
当4x02+1=3即x0
时,(y0)min
此时M(
)
法二:
如图,
2MM2
AA2
BB2
AF
BFAB
∴MM2
,即MM1
,
,当AB经过焦点F时取得最小值。
∴MM1
A2
B2
∴M到x轴的最短距离为
解法一是列出方程组,利用整体消元思想消
x1,x2,从而形成
y0关于x0
的函数,这是一种“设而不
求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点
M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利
用梯形的中位线,转化为
A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”
时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证
AB是否能经过焦点
F,而且点M的坐标也不能直接得出。
例6、已知椭圆x2
1(2
m
5)过其左焦点且斜率为
1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于
A、
B、C、D、设f(m)=
AB
CD,
(1)求f(m),
(2)求f(m)的最值。
此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防
B在椭圆
f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC)
2(xB
xC)(xA
xD)
2(xB
XC)
F10F2
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
(1)椭圆x2
1中,a2
,左焦点
=m,b
=m-1,c=1
F(-1,0)
mm1
则BC:
y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1122
12
2m
y),C(x,y
),则x+x=-
(2m5)
2m1
f(m)
CD
xA)
(xD
xC)
2(x1
x2)(xA
2x1
(2)f(m)
22m11
2(1
)
∴当m=5时,f(m)
当m=2时,f(m)
min
max
102
42
此题因最终需求
xB
xC,而BC斜率已知为
1,故可也用“点差法”设
BC中点为M(x0,y0),通过将B、
k0
,将y00
,∴
C坐标代入作差,得
m1
=x+1,k=1
代入得
,可见
xC
当然,解本题的关键在于对f(m)ABCD的认识,通过线段在x轴的“投影”发现f(m)xBxC
是解此题的要点。
【同步练习】
12
的左、右焦点,过F1
1、已知:
F,F是双曲线
作直线交双曲线左支于点
A、B,若
△ABF2的周长为(
A、4a
B、4a+m
C、4a+2m
D、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线
x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是
(
A、y2=-16x
B、y2=-32x
C、y2=16x
D、y2=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,且
AC,点B、C的坐标分别为(-1,0),(1,
0),则顶点A的轨迹方程是(
1(x
0)
B、
1(x0)
1(x0且y0)
C、
D、
4、过原点的椭圆的一个焦点为
F(1,0),其长轴长为
4,则椭圆中心的轨迹方程是
A、(x
1)2
9(x
B、(x
1)2
C、x2
(y
9(x
D、x2
5、已知双曲线
4,则点M到左焦点的距离是
1上一点M的横坐标为
6、抛物线y=2x2截一组斜率为
2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是
7、已知抛物线
y2=2x的弦AB所在直线过定点
p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是
8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个,则k=
上的动点,F12
是椭圆的两个焦点,求
的最大值。
10、设点P是椭圆
,F
sin∠FPF
25
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,
若直线l与此椭圆相交于A、B两点,且AB中点M为(-2,1),AB43,求直线l的方程和椭圆方程。
1(a0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为
A、B、C、D。
求证:
12、已知直线l和双曲线
b2
ABCD。
【参考答案】
1、C
AF2
AF1
2a,BF2
BF1
2a,
∴
2,选C
BF2
aAF2
BF2AB
2、C
点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线
p=8开口向右,则方程为
y2=16x,选C
3、D
∵ABAC22,且ABAC
∵点A的轨迹为椭圆在
y轴右方的部分、又
A、B、C三点不共线,即
y≠0,故选D。
4、A
设中心为(x,y),则另一焦点为
(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为
4得1(2x1)2
(2y)2
4,∴
(x
1)2
①又c<
a,∴
(x1)2
∴(x-1)2+y2<
4②,由①,②得x≠-1,选A
29
5、
左准线为x=-9
,M到左准线距离为d4(
9)
则M到左焦点的距离为
ed
6、x
1(y
1)
设弦为AB,A(x1,y1
),B(x2,y2)AB中点为(x,y),则y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x
12-x22)
y1
2(x1
x2)∴2=2·
2x,x
x1
代入y=2x2得y
将x
,轨迹方程是x
(y>
7、y2=x+2(x>
2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x,y),则
y12
2x1,y22
2x2,y12
y22
2(x1
x2),y1
y2(y1y2)2
∵kAB
kMP
0,∴
2y
,即y2=x+2
又弦中点在已知抛物线内
P,即y2<
2x,即x+2<
2x,∴x>
8、4
4,c2
8,c
22
,令x
2代入方程得8-y2=4
∴y2=4,y=±
2,弦长为4
9、2或1
y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0
∴(1-k2)x2-2kx-2=0
①1k20得4k2+8(1-k2)=0,k=2
②1-k2=0得k=±
10、解:
a2=25,b2=9,c2=16
设F1
、F
为左、右焦点,则F(-4,0)F(4,0)
设PF1
①
F1F2
r1,PF2r2,F1PF2
则r1r22
r12r222r1r2cos(2c)2
①2-②得2r1r2(1+cosθ)=4b2
∴1+cosθ=
4b2
2b2
∵r1+r22
rr
∴r1r2的最大值为a2
2r1r2
r1r2
∴1+cosθ的最小值为
,即1+cosθ
18
cosθ
7
,0
arccos7
则当
时,sinθ取值得最大值
1,
即sin∠F1PF2的最大值为1。
1(ab0)
11、设椭圆方程为
由题意:
C、2C、a2
c成等差数列,
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