高等数学基础知识.ppt
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数学基础知识数学基础知识理论力学之理论力学之理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰2许杰理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰3微积分微积分矢量矢量正交曲线坐标系正交曲线坐标系线性代数线性代数理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰4微微积积分分理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰5基本初等函数求导基本初等函数求导函数的基础求导方法函数的基础求导方法函数的最值函数的最值曲率与曲率半径曲率与曲率半径级数级数微分微分常系数微分方程常系数微分方程积分积分微微积积分分理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰6基本初等函数求导基本初等函数求导函数函数说明:
说明:
极限的定义极限的定义的极限的极限(i),但不等于,但不等于越来越靠近越来越靠近(ii)的极限存在的极限存在极限唯一极限唯一左极限右极限左极限右极限反之成立反之成立左、右极限存在且相等左、右极限存在且相等极限唯一极限唯一(iii)不一定等于不一定等于连续(无断点)时,连续(无断点)时,理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰7函数函数的极限的极限Givenany,thereexist()Suchthatwhenever理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰8连续函数连续函数函数函数在在连续连续在在没有断点没有断点Givenany,thereexist()Suchthatwhenever断点断点JumpInfiniteremovable理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰9,则导数定义为:
,则导数定义为:
注注:
若若的导数符号记为:
的导数符号记为:
导数信息完整,但不够简洁导数信息完整,但不够简洁导数的定义导数的定义简洁但求导信息不完整,复合函数求导易错简洁但求导信息不完整,复合函数求导易错理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰10若若f(x)在在a,b连续,在连续,在(a,b)可导,则称可导,则称f(x)在在a,b曲线平滑曲线平滑函数函数在在可导:
可导:
(i)(ii)(iii)在在无间断点无间断点在在无转角无转角在在无急转弯无急转弯(iv)在在无剧烈振荡无剧烈振荡不存在不存在函数可导函数可导当当时,必须有时,必须有所以有:
所以有:
理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰11导数导数导数的几何意义导数的几何意义描述函数变化快慢描述函数变化快慢在几何上表示:
在几何上表示:
N点无限靠近点无限靠近M点时,割线变切线点时,割线变切线横轴到切线的到角的正切(斜率)横轴到切线的到角的正切(斜率)理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰12有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则:
(C为常数为常数)理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰13常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数:
理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰14函数的基础求导方法函数的基础求导方法函数的基础求导方法:
函数的基础求导方法:
需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式链式法则链式法则替代法替代法盒子法盒子法理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰15盒子法(盒子法()所谓所谓“盒子盒子”,就是指,就是指“表达式表达式”的的“封装封装”,具有,具有“整体性整体性”盒子相同盒子相同(替代法替代法):
):
表达式一样表达式一样由基本初等函数构成由基本初等函数构成由基本初等函数构成由基本初等函数构成盒子盒子函数函数如:
如:
理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰16基本初等函数的求导公式用盒子法记忆基本初等函数的求导公式用盒子法记忆例如例如记成记成再如再如记成记成其它如法炮制其它如法炮制理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰17盒子不同盒子不同(链式法则链式法则):
):
表达式不一样表达式不一样链式链式链式链式链式法则实质是乘以链式法则实质是乘以“1”复合函数求导复合函数求导理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰18在求导计算中在求导计算中“1”具有十分重要的地位具有十分重要的地位导出链式法则导出链式法则理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰19例如对例如对x求导:
求导:
(替代替代)例如对例如对x求导:
求导:
(链式链式)(替代替代)(链式链式)理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰20微分微分dy的几何意义的几何意义:
切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量微分和导数的运算基本相同微分和导数的运算基本相同微分定义:
微分定义:
若若(A为不依赖于为不依赖于x的常数的常数),则则微微分分差量差量y的几何意义的几何意义:
割线纵坐标的增量割线纵坐标的增量differentialsInitialerrorExacterrorApproximateerror时,时,理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰21线性逼近式线性逼近式例:
例:
求求令令,则,则,因因取取,所以所以同理求同理求时,时,令令时,时,令令用用的值替代的值替代的值的值要求要求理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰22微元微元非均匀非均匀均匀均匀的实质:
的实质:
例如:
例如:
非均匀电磁场时,取微元化成均匀场非均匀电磁场时,取微元化成均匀场受力曲线运动做功,取微元,化受力曲线运动做功,取微元,化“曲曲”为为“直直”运动学的角度看,就是运动学的角度看,就是“挪挪”了一个位置了一个位置理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰23曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率弧线段弧线段曲线上曲线上P点的点的曲率曲率的的平均曲率平均曲率曲率与曲率半径曲率与曲率半径若若,则,则曲率半径曲率半径曲率半径的几何意义:
曲率半径的几何意义:
化化“曲曲”为为“圆圆”理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰24曲率曲率的向量定义法:
的向量定义法:
若曲线若曲线,位矢,位矢曲率可写为:
曲率可写为:
弧线切向量弧线切向量理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰25证:
证:
理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰26Frenet-serret公式公式满足一阶微分方程满足一阶微分方程是弧长是弧长是曲率是曲率(curvature)是扭率是扭率(torsion)是弧的切向是弧的切向是弧的主法向是弧的主法向是弧的副法向是弧的副法向理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰27利用利用Frenet-serret公式,公式,曲率和扭率曲率和扭率(弧长为参数弧长为参数):
曲线曲线C:
曲率曲率扭率扭率理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰28级级数数一元泰勒一元泰勒(Taylor)级数:
级数:
若若在在存在幂级数,存在幂级数,且且,当当时,一元泰勒级数称为时,一元泰勒级数称为Maclaurin级数级数,且,且则则理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰29不是一定等于泰勒展开式不是一定等于泰勒展开式例例因因同理同理的泰勒展开式为的泰勒展开式为0于是于是所以所以理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰30函数展开时,常常借用几个中学学过的精确展开式函数展开时,常常借用几个中学学过的精确展开式理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰31应用举例应用举例直接型:
直接型:
间接型间接型微分(可多次)微分(可多次)积分(可多次)积分(可多次)时时又又理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰32级数间增长的快慢程度:
级数间增长的快慢程度:
Sterling公式公式理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰33二元泰勒二元泰勒(Taylor)级数:
级数:
若若在点在点的某一邻域内连续且有直到的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数阶的连续偏导数,为此邻域内任一点为此邻域内任一点,则有则有理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰34Laulrent级数:
级数:
若复数若复数是函数是函数的的孤立奇点孤立奇点,以,以为圆心,为圆心,在,在闭合曲线闭合曲线,那么,那么间的区域是解析的,满足:
间的区域是解析的,满足:
距离距离R为半径作圆为半径作圆且且任意小半径作圆任意小半径作圆,以,以跟最近的奇点跟最近的奇点之间的之间的和和之间任作一之间任作一理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰35周期为周期为22的三角函数形式的三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier):
式中式中周期延拓(周期延拓(-,)傅里叶展开傅里叶展开f(x)是周期为是周期为22的周期函数的周期函数理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰36式中式中周期为周期为22l的三角函数形式的三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier):
f(x)是周期为是周期为22l的周期函数的周期函数周期延拓(周期延拓(-l,l)傅里叶展开傅里叶展开理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰37式中式中周期为周期为22l的复数形式的复数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier):
f(x)是周期为是周期为22l的周期函数的周期函数周期延拓(周期延拓(-l,l)傅里叶展开傅里叶展开理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰38函数的最值函数的最值(Absolutextreme)函数的单调性函数的单调性若在区间若在区间,恒有,恒有,则则单调递增单调递增若在区间若在区间,恒有,恒有,则则单调递减单调递减,则则单调递增,单调递增,则则单调递减,单调递减,凹向上凹向上凸向上凸向上f(x)弧线在切线上方弧线在切线上方f(x)弧线在切线下方弧线在切线下方理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰39若恒有若恒有则则呈凹形呈凹形OROR若恒有若恒有则则呈凸形呈凸形OROR若二阶导数为若二阶导数为0,0,两侧二阶导数不变号,凹凸性不变两侧二阶导数不变号,凹凸性不变若某点二阶导数为若某点二阶导数为00或不存在或不存在,两侧二阶导数异号,此点为拐点两侧二阶导数异号,此点为拐点理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰40函数的极值函数的极值(localextremum)为函数为函数f(x)的的关键点关键点(criticalpoint)若若或或不存在,不存在,函数函数f(x)的极值点一定是的极值点一定是关键点关键点但函数但函数f(x)的的关键点关键点却不一定是极值点却不一定是极值点如:
如:
但但非极值非极值不存在,不存在,非极值非极值则称则称理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰41多元函数的条件极值(多元函数的条件极值(LagrangeMultipliers)无条件极值只有函数本身定义域限制无条件极值只有函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制+条件限制条件限制若函数若函数的限制条件为:
的限制条件为:
想法:
想法:
把函数把函数看成变化的等高曲线簇看成变化的等高曲线簇而限制条件而限制条件则为固定的等高曲线则为固定的等高曲线极值必定取在两曲线相切的地方极值必定取在两曲线相切的地方函数垂直于其等高曲线的梯度函数垂直于其等高曲线的梯度理论力学理论力学数学基础知识数学基础知识许许杰杰42同样想法可得函数同样想法可得函数在限制条件在限制条件的极值的极值几何上就是几何上就是位于位于所在的平面所在的平面也可利用线性空间基底线性无关的概念:
也可利用线性空间基底线性无关的概念:
函数函数有两个限制条件有两个限制条件函数取极值时函数取极值时从而有:
从而有:
这实际上也给
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- 高等数学 基础知识