第5讲几何光学费马原理二次曲线几何性质相位表示惠更斯原理教师版文档格式.docx

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A0，θ=A0

Rv

n

联立上式解得1

+

n2

v

=n2-n1

r

同时，我们可以算出，放大率为s‘·

n

sn′

四、费马原理：

光总选择光程取极值的路径

五、惠更斯原理：

惠更斯指出，由光源发出的光波，在同一时刻t时它所达到的各点的集合所构成的面，叫做此时刻的波阵面（又称为波前），在同一波阵面上各点的相位都相同，且波阵面上的各点又都作为新的波源向外发射子波，子波相遇时可以互相叠加，历时△t后，这些子波的包络面

就是t+△t时刻的新的波阵面。

波的传播方向与波阵面垂直，波阵面是一个平面的波叫做平面波，其传播方向与此平面垂直，波阵面是一个球面（或球面的一部分）的波叫做球面波，其传播方向为沿球面的半径方向,如图六、二次曲线由于具有特殊的几何性质，在某些条件下可以理想成像。

不同的二次曲线理想成像的条件也不同。

多次反射：

一定角度的镜子，成几个象

【例1】两镜面间夹角a=15º

OA=10cm，镜子长20cmA点发出的垂直于L2的光线射向L1后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，

L1

Oα

光线所走的路程是多少。

AL2

【解析】依次做出一面镜子在另一面镜子中成的虚像。

【答案】17.32cm

【例2】在光导纤维制造过程中，由于拉伸速度不均匀，会使拉出的光纤偏离均匀的圆柱体，而呈圆锥状．现把一段长为L，折射率为n（=1.5）的光纤简化为细长圆锥体的一部分，其顶角很小，两端截面的半径分别是R1和R2，R1略大于R2.图是过光纤轴线的剖面图。

1．将该光纤置于空气中，求从大头入射并能从小头出射的光线的最大入射角。

2．计算以最大的入射角入射的光线在光纤中的反射次数。

【解析】一直做虚像，可得，大头形成了一个大圆，小头形成了一个小圆。

只要入射光线能和小圆相交或相切即可。

【例3】设有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行、厚度为d=0.1mm的薄

层密接构成。

如图，表示与各薄层垂直的一个截面，AB为此材料的端面，与薄层界面垂直。

OO＇表示截面的中心线。

各薄层的折射率nk的数值为nk=n0－kν，其中n0=1.4142，ν=0.0025。

今有一光线PO以入射角θ0=30°

射向O点。

求此光线在材料内能够达到的离OO＇最远的距离。

【解析】从O摄入后，其折射角为

【例4】给定一块平行平板，折射率按

变化，其中n0为O点的折射率，n

0=1.2、r=12cm、x为图中x轴的坐标。

一束光线在O点由空气垂直入射平板，并在A点以

300角出射，如图所示。

求A点的折射率，并确定A点的位置和平板的厚度

【答案】光线路径是一个圆，半径为r。

A处n=0.8√3,坐标为（12−6√3,6）,平板厚6cm。

【例5】在一个曲率半径为R的左右两侧面各有折射率为n1，n2的两种透

明介质，证明球介面折射的成像公式为：

n1+n2=n2−n1。

当入射光从顶点

uvR

射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。

【提示】用小角近似，注意几何关系及折射定律，具体证明略。

【例6】一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，

透镜的折射率n=1.5。

若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。

【解析】:

平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。

解:

（1）先求凸球面的曲率求径R。

平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它

在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图所示，C点为球面的球心，CO=R，由正弦定理可得

R+fR

=sinr

sin（r-i）

由折射定律知

sini=1sinrn

当i、r很小时，sinr≈r，sin（r-i）≈r-i，sini≈i由以上两式得

1+fR

=rr-i

=nn-1

=1+

1

n-1

所以R=（n-1）f

（2）凸面镀银后将成为半径R的凹面镜，如图所示令P

表示物所在的位置，P点经平面折射成像于P'

，根据折射定律可推出

P'

O=nPO

由于这是一个薄透镜，P'

与凹面镜的距离可认为等于

O，设反射后成像于P'

，则由球面镜成像公式可得

1+

O

1=2

OR

因此可解得P'

O=36cm，可知P'

位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，

经平面折射后，成实像于点。

'

O=1

O=24（cm）

On

最后所成实像在透镜左方24cm处。

【例7】如图所示，折射率n=1.5的全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB，棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm处放置一焦距f1=10cm的凸透镜，透镜右侧15cm处再放置一焦距f2=10cm的凹透镜，求该光学系统成的位置和像放大率。

【例8】

（2002年19届复赛第五题）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设

为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2。

现有一个薄凸透

镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复19-5所示。

1．试求出此时物距u，像距v，焦距f1、f2四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为θ1，则与之相应的出射线与主轴的夹角θ2多大？

3．f1，f2，n1，n2四者之间有何关系？

【解析】

利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像P'

Q'

，如下图所示。

（1）用y和y'

分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得

y=u-f1=f2

（1）

y'

f1v-f2

（u-f1）（v-f2）=f1f2

简化后即得物像距公式，即u，v，f1，f2之间的关系式

f1+

f2=1

（2）

uv

（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。

图中θ1为入射角，θ2为与之相应的出射角，γ为平行板中的光线与法线的夹角。

设透镜的折射率为n，则由折射定律得

n1sinθ1=nsinγ=n2sinθ2

（3）

对傍轴光线，θ1、θ2≤1，得sinθ1≈θ1，sinθ2≈θ2，因而得

θ=n1θ

（4）

（3）由物点Q射向中心O的入射线，经

L折射后，出射线应射向Q'

，如图复解19-5-3所示，

n1n2

θ1

θ2

在傍轴的条件下，有

二式相除并利用（4）式，得

u=n1yvn2

（6）

用

（1）式的y'

/y=f1/（u-f1）代入（6）式，得

f1u

=n1

（u-f1）vn2

即f1

=n1uvn2u+n1v

（7）

/y=（v-f2）/f2代入（6）式，得

（v-f2）u=n1f2vn2

即f2

=n2uvn2u+n1v

（8）

从而得f1，f2，n1，n2之间关系式

f2=n2

（9）

f1n1

【例9】普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：

让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为α0，如图所示．最

后光从另一端面出射进入流体F．在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图所示．

1．若已知A和B的折射率分别为nA与nB，求被测流体F的折射率nF的表达式．

2．若nA、nB和α0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值?

【答案】

（1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。

设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。

若该光线折射后的折射角为θ，则由几何关系和折

射定可得i+a=90º

①nAsina=nFsinθ②当i大于全反射临界角ic时将发生全反射，没

有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。

而

i<

iC

的光线则因在发生反射时

有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射

端面之前就已经衰减为零了。

因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于ic

，i<

的值由下式决定：

nAsiniC

=nB③

与iC

对应的α值aC

=900

-

iC④

a0>

aC

sina0>

sinaC

=cosiC==

时，或

nAsina0>

时，由O发出的光束

中，只有

a≤aC

的光线才满足

i≥iC

的条件下，才

能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

amax=ac=90

iC

⑤若a<

ac

，即nAsina0<

时，则由O发出的光线都能

满足i>

的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

amax=a0

⑥端面处

入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设

θmax

，由②式可知

nFsinθmax=nAsinamax

【例10】有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。

所有光学元件均放在一直长圆筒内。

筒

内有：

三个焦距分别为f1、f2和f3的透镜L1,L2,L3，f1=

f2>

f3；

观察屏P，它是一

块带有刻度的玻璃片；

由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件（如图所示），棱镜分别

用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。

圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：

当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。

制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率nD＝1.5170;

另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率n'

D=1.7200。

1.试在图中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。

【例11】快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被松脱，风吹着快艇以恒定的速度v0=2.5km/h沿与湖岸成α=15°

的角飘去。

你若沿湖岸以速度v1=4km/h行走或在水中以速度v2=2km/h游去，能否赶上快艇？

当快艇速度为多大时总可以赶上？

【例12】试用费马原理解释光的反射折射

【例13】试用费马原理解释：

1）平行光入射到凹面镜后汇聚到一点，这个凹面镜为一抛物面。

2）从某点发射的散射光经过一个曲面反射后如果能汇聚与另一点则该曲面为一椭球面。

【例14】试用惠更斯原理预测水波通过小孔时会发生什么现象。

【例15】一个长轴旋转椭球，折射率为n。

平行光沿着长轴从空气中入射。

问椭圆几何形状满足什么条件的时候能使得平行光会聚在一点。

解析：

ne=1，利用椭圆的第二定义+惠更斯原理。

物理八卦

那些嫁给物理学家的美女

我们大家熟知的居里夫人，嫁给了物理学家，是真正的美女。

当然，她自己也是伟大的物理学家。

我们中国也有这样的人物。

何泽慧先生，是钱三强先生的妻子，也是著名的核物理学家，中国科学院院士。

值得说明的是，钱三强与何泽慧先生曾经在小居里夫人那里做过研究，是小居里夫人的弟子。

下面是钱三强和何泽慧先生大学毕业时的班级合影。

后排左一为钱先生，前排右二为何先生。

关于他们结合的经过，是这样的。

经过两年的通信，1945年，32岁的钱三强终于鼓起勇气向远在德国的何泽慧发出了25

个字之内的求婚信：

“经过长期通信，我向你提出结婚的请求，如能同意，请回信，我将等你一同回国。

”

然而此时盟军已经开始对德国柏林进行大规模的轰炸，寄出求婚信之后，钱三强整日焦虑不安，他担心自己被拒绝，更担心何泽慧在德国的安全。

不久，他终于在不安中等到了何泽慧的回信：

“感谢你的爱情，我将对你永远忠诚。

等我们见面后一同回国。

课后调查

代课教师：

通过今天学习，你觉得：

1.本讲讲义内容设置：

A．太难太多，吃不透

B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考C．稍易，较轻松

D．太容易，来点给力的

2.本节课老师讲解你明白了：

A.40%以下

B.40%到80%

C.80%以上但不全懂D.自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？

（可填题号，知识点，或者填无）