数学第二章数列一教学设计新人教A版必修5Word下载.docx
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3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观.
教学过程
导入新课
数列是高中代数的重要内容之一,也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面:
第一方面是数列的基本概念,如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等;
第二方面是数列的运算和实际应用,即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量,运用数列的基础知识探究与解决实际问题.
应用本章知识要解决的主要问题有:
(1)对数列概念理解的题目;
(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题;
(3)数列知识在实际方面的应用.
在解决上述问题时,一是要用函数观点来分析解决有关数列问题;
二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题;
三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算;
四是树立应用意识,能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.
推进新课
师
出示多媒体课件一:
(请同学们自己将框中的公式补充完整)
师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式,请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.
[回顾与思考]
1.知识的发生发展过程:
师你能从函数的观点认识数列吗?
你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗?
等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系?
它们的图象各有什么特点呢?
生思考.
师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二):
师请同学们理解并解释框图的结构及其含义.
2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法:
师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗?
每一个公式的推导能说出几种方法吗?
生回忆学习过程中自己已经掌握的方法,并积极发言.
师在它们的前n项和公式的推导中,请大家特别注意其中的两种推导方法:
等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”;
等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”;
另外,还应该知道,对于任何数列{an},Sn与an有以下关系:
an=S1,n=1,
Sn-Sn-1,n>1.
师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗?
生思考,回答.
3.应用本章知识要解决的主要问题:
师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗?
生应用本章知识要解决的主要问题有:
(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.
师肯定学生的回答,必要时给予补充.
师出示投影胶片1:
例题1.
【例1】设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,求q的值.
[合作探究]
师这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题,起点比较低,入手的路子宽.你如何想?
生独立思考,列式、求解.
师组织学生交流不同的解题思路,概括出典型的解题方法的过程.
参考答案如下:
(投影胶片2)
解法一:
利用定义,∵{Sn}是等差数列,∴an=Sn-Sn-1=…=S2-S1=a2.
∴a1·
qn-1=a1·
q.∵a1≠0,∴qn-2=1.∴q=1.
解法二:
利用性质,∵{Sn}是等差数列,∴an=Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2=an-1,
a1·
qn-2.∵a1≠0,q≠0,∴q=1.
解法三:
利用性质,∵2S2=S1+S3,∴2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3,
即a2=a3.∴q=1.
师点评:
还可以用求和公式、反证法等.
师出示投影胶片3:
例题2.
【例2】设数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+4(n∈N).
(1)写出这个数列的前三项;
(2)证明数列除去首项后所成的数列a2,a3,…,an,…是等差数列.
师第1个问题很容易思考,请同学们独立完成.
生迅速作答.
解:
(1)a1=S1=7,a2=S2-S1=22+2×
2+4-7=5,
a3=S3-S2=32+2×
3+4-(7+5)=7,即a1=7,a2=5,a3=7.
师第2个问题是要证明一个数列是等差数列,这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”,你能把握好这个条件的运用吗?
生自主探究,组织数学语言,准确表达推理过程.
参考答案:
(投影胶片4)
(2)∵
n>1,
∴当n>1时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+4-[(n-1)2+2(n-1)+4]=2n+1.
an+1-an=2(定值),
即数列{an}除去首项后所成的数列是等差数列.
an=S1,n=1,
Sn-Sn-1,n>1是一个重要的关系式,要充分发挥它的作用.
还有其他不同的证法,请同学们多交流.
师出示投影胶片5:
例题3.
【例3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
师三个数成等差数列,在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法,同样,三个数成等比数列,也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式.
生积极思考,列式探究,踊跃发言.
师观察学生的思考情况,指点学生寻找合理的思路.
归纳、概括、总结学生的解题结果,给出如下两种典型解法.
投影胶片6
设四个数依次为a-d,a,a+d,
,
依题意有 (a-d)+
=16,①
a+(a+d)=12,②
由②式得 d=12-2a.③
将③式代入①式整理得a2-13a+36=0.
解得a1=4,a2=9.
代入③式得d1=4,d2=-6.
从而所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
投影胶片7
设四个数依次为x,y,12-y,16-x,
依题意有
由①式得x=3y-12.③
将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2.
整理得y2-13y+36=0,
解得y1=4,y2=9,
代入③式得x1=0,x2=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
本题若采用其他设求知量的方法列方程,解题过程会是怎么样的呢?
请同学们课外探究一下,并在本题上述设求知量的方法的基础上,思考四个数成等差数列的常见设法,以及四个数成等比数列的常见设法.
师出示投影胶片8:
例4.
【例4】设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…S12中哪一个值最大,并说明理由.
分析:
本题的条件形式上比较特殊,属于同学们不太熟悉的面孔,思考应该从最熟悉的角度入手.
师引导:
第1个问题,目标是关于d的范围的问题,故应当考虑到合理的选用等差数列的前n项和的哪一个公式.其次,条件a3=12可以得出a1与d的关系,列式中可以用来代换掉另一个量,起到减少求知量的作用.
生在教师的引导下,列出式子,将问题化归为一个关于d的不等式.
投影胶片9
(1)依题意有S12=12a1+
×
12×
11d>0,
S13=13a1+
13×
12d<0,
即2a1+11d>0,①
a1+6d<0.②
由a3=12,得a1=12-2d,③
将③式分别代入①②式得24+7d>0且3+d<0,
∴
<d<-3为所求.
师对第2个问题的思考,可以有较多的角度,请同学们合作探究,交流你们的想法,寻找更好的思路.
生积极活动,在交流中受到启发,得到自己的成功的解法.
师收集、整理出学生的不同思路,公布优秀的思考方法和解题过程,归纳出如下几种解法:
投影胶片10
(2)解法一:
由
(1)知d<0,∴a1>a2>a3>……>a12>a13,因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值,
由于S12=12a1+
11d=6(2a1+11d)=6(a6+a7)>0,S13=13a1+
12d=13(a1+6d)=13a7<0,
∴a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中,S6最大.
投影胶片11
Sn=na1+
n(n-1)d
=n(12-2d)+
(n2-n)d
=
.
∵d<0,∴
最小时,Sn最大,
而当
<d<-3时,有6<
<6.5,且n∈N,
∴当n=6时,(n-
)2最小,即S6最大.
投影胶片12
由d<0,可知a1>a2>a3>…>a12>a13,
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值,
由S12>0,S13<0,有
12a1+
11d>0a1+5d>-
>0;
13a1+
12d<0a1+6d<0.
∴a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中,S6最大.
投影胶片13
解法四:
同解法二得Sn=
(n-
)2-
∵d<0,故Sn的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点,注意到S0=0,且S12>0,S13<0,知该抛物线与横轴的一个交点是原点,一个在区间(12,13)内,于是抛物线的顶点在(6,6.5)内,而n∈N,知n=6时,有S6是S1,S2,…,S12中的最大值.
课堂小结
本节学习了如下内容:
1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.
2.运用中典型例题的探究.
布置作业
1.独立完成复习参考题A组题.
2.开展探究活动,思考更深刻的数列知识运用的问题.
板书设
本章复习
(一)
本章知识结构典型例题剖析
回顾与思考例1例3
例2例4
习题详解
(课本第75页复习参考题)
A组
1.
(1)B;
(2)B;
(3)B;
(4)A.
2.
(1)an=
;
(2)an=1+
(3)an=(10n-1)
(4)
,或
以上各题的通项公式不一定唯一.
3.
4.如果a,b,c成等差数列,则b=5;
如果a,b,c成等比数列,则b=1或b=-1.
5.an按顺序输出的值为:
12,36,108,324,972.SUM=86093436.
6.138.1·
(1+0.13%)8=1396.3.
7.从12月20日到次年的1月1日,共13天,每天领取的奖品价值呈等差数列分布.d=10,a1=100.由Sn=a1n+
d得S13=100×
13+
10=2080>2000,所以第二种领奖方式获奖受益更多.
9.15天.
10.
(1)S2=an+1+an+2+…+a2n=(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=a1+a2+…+an+n×
nd=S1+n2d.
S3=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+2nd)+(a2+2nd)+…+(an+2nd)=a1+a2+…+an+n×
2nd=S1+2n2d.
容易验证2S2=S1+S3,所以S1,S2,S3也是等差数列,公差为n2d.
(2)S2=an+1+an+2+…+a2n=(a1×
qn)+(a2)×
qn+…+(an)×
qn
=(a1+a2+…+an)qn=S1×
qn.
S3=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1×
q2n)+(a2×
q2n)+…+(an×
q2n)=(a1+a2+…+an)q2n=S1×
q2n.
容易验证:
S22=S1×
S3,所以S1,S2,S3也是等比数列,公比为qn.
11.a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,
a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7,
因为{an}是等差数列,所以a1,a2,a3也是等差数列,所以2a2=a1+a3,
即0=2x2-8x+6.解得x=1或x=3.
x=1时,a1=-2,a2=0,a3=2,由此可求出an=2n-4.
x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2,由此可求出an=4-2n.
备课资料
一、备用例题
一次人才招聘会上,有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准:
A公司允诺第一个月工资为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;
B公司允诺第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%,设某人年初被A、B两家公司同时录取.试问:
(2003年春上海(22)4+6+8=18分)
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?
(2)该人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不记其他因素),该人应该选择哪家公司,为什么?
(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元?
(精确到1元)并说明理由.
(1)在A公司连续工作n年,则第n年的月工资为
an=1500+230(n-1)=230n+1270(元);
在B公司连续工作n年,则第n年的月工资为
bn=2000(1+
)n-1=2000×
1.05n-1(元).
(2)在A公司连续工作10年,则其工资总收入为
S10=
[12×
(1500+1500+9×
230)×
10]=304200(元).
在B公司连续工作10年,则其工资总收入为
S10′=
≈301869(元).
S10>S10′,故仅从工资收入总量来看,该人应该选择A公司.
(3)an-bn=230n+1270-2000×
1.05n-1,记为f(n).
要使得f(n)最大,需满足
f(n)>f(n-1)且f(n)>f(n+1),
于是f(n)-f(n-1)>0
1.05n-2<2.3;
f(n+1)-f(n)<0
1.05n-1>2.3.
解得1+log1.052.3<n<2+log1.052.3.
经计算得lg2.3=0.3617,lg1.05=0.0212(注:
上海市高考允许使用计算器).
从而得18.07<n<19.07,n=19.
∴f(n)max=f(19)=230×
19+1270-2000×
1.0518≈827(元).
答:
(略)
二、阅读材料
关于等差数列与等比数列的对比
等差数列和等比数列,在数列中起着举足轻重的作用.它们如同一对亲兄弟,再仔细对比就会发现许多有趣的东西,本文略举一二,供大家欣赏.
1.若an+1-an=d(d为常数,n∈N*),则{an}为等差数列,d为公差;
若
=q(q为常数,n∈N*),则{an}为等比数列,q为公比.
其中,差与商,d与q相对比.
2.若d=0,则{an}为等差数列;
若q=1,则{an}为等比数列.
其中0与1相对比(0与1恰是二进制中表示数的两数).
3.若l、m、n、p∈N*,m+n=l+p,则
当{an}为等差数列时,am+an=al+ap;
当{an}为等比数列时,am·
an=al·
ap.
其中和与积相对比.
特别地,若m,l,n为正整数,m+n=2l,则
当{an}为等差数列时,am+an=2al;
an=al2.
其中和与积,倍数与乘方相对比.
4.若{an}为等差数列,则
为等差数列;
若{an}为正数等比数列,则
为等比数列.
其中算术平均数与几何平均数相对比.
5.若a>0,b>0,n为正整数,an>0,则
当a,a1,a2,…,an,b成等差数列时,a1,a2,…,an的算术平均数等于a,b的算术平均数,即
当a,a1,a2,…,an,b成等比数列时,a1,a2,…,an的几何平均数等于a,b的几何平均数,即
其中算术平均数与几何平均数,等差中项与等比中项相对比.
6.若n∈N*,k∈N*,则当{an}为等差数列时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,S(k+1)n-Skn,…为等差数列;
当{an}为等比数列时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,S(k+1)n-Skn,…为等比数列.
其中等差与等比相对比.
7.三个数成等差数列可设为:
a-d,a,a+d,此时公差为d.等差数列有奇数项时均为可类似假设.四个数成等差数列时可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,此时公差为2d.等差数列有偶数项时均可类似假设.
三个数列成等比数列可设为
a,aq,此时公比为q.等比数列有奇数项时,均可类似假设.四个数成等比数列可设为
aq,aq3,此时公比为q2.等比数列有偶数项时可类似假设.
其中d与q,差与商相对比.
8.等差数列前n项和公式推导方法:
倒序相加法;
等比数列(公比不为1)前n项和公式推导方法:
错位相减法.
其中倒序与错位,加与减相对比.
9.在等差数列{an}中,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=d+d+…+d+d+a1=a1+(n-1)d.
在等比数列中{an}中,an=
·
…·
a1=q·
q·
a1=a1qn-1.
其中差之和与商之积相对比.
当然,等差数列与等比数列还有众多可对比之处,在此就不一一列举了,不足之处,请多加指教.
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