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高,
即V=sh或
×
7.圆锥:
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
该直角边叫圆锥的轴。
8.圆锥的高:
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
9.圆锥的特征:
圆锥的底面一个圆。
圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。
圆锥只有一条高。
10、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一,即V锥=
⅓
Sh
h÷
3
第三单元
比例
1、比例的意义
:
表示两个比相等的式子叫做比例。
2:
1=6:
3
、比例的基本性质:
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
3、比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
例如:
由3:
2=6:
4可知3×
4=2×
6
4、解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例
3:
x
4:
8,内项乘内项,外项乘外项,则:
4x
=3×
8,解得x=6。
5
、正比例和反比例
(1)、成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
=k(一定)
(2)成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×
y=k(一定)
6.判断两种量成正比例还是成反比例的方法:
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;
如果积一定,就成反比例。
7.比例尺:
一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离:
实际距离=比例尺
8.图形的放大与缩小:
形状相同,大小不同。
(相似图形)
9.用比例解决问题:
根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应
的方程并求解。
第四单元
统计
1.统计表:
把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就
统计表。
第五单元
数学广角
1.抽屉原理
(一):
把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于
两件。
2.抽屉原理
(二):
把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
3.抽屉原理解题的关键是正确地判断什么是抽屉,什么是物体?
4.物体数÷
抽屉数=商„„余数
至少数=商+1
第六单元整理与复习
-、数与代数
数的认识(-)
数的意义及分类
1.整数的含义:
像…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数统称整数。
整数的个数是无限的。
没有最小的整数,也没有最大的整数。
自然数是整数的一部分。
2.自然数的含义:
在数物体个数的时候,用来表示物体个数的1,2,3,4,5,„„叫做自然数。
一个物体也没有用0表示。
自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0,没有最大的自然数。
”1”
是自然数的单位。
3.正数和负数的含义:
像1,+2,⅔这样的数叫做正数;
像-3,-2,-⅓,„„这样的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数。
4.分数的含义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(1)分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。
(2)分数的分类:
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1.
(3)带分数:
由整数部分和真分数组成。
5.百分数的含义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用“%”表示。
百分数的分数单位是1%。
分数和百分数的关系:
分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比;
而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能用来表示具体数。
因此,百分数是一种特殊的分数,但分数可以有单位,而百分数绝不能有单位。
6.
(1)小数的含义:
把整数“1”平均分成10份,100份,1000份,…这样的1份或几份是十分之一,百分之一,千分之一,…或十分之几,百分之几,千分之几,„„可以用小数表示。
小数的单位是0.1,0.01,0.001,…它是十进制的另一种表现形式。
(2)小数分类:
1)纯小数和带小数:
整数部分是0的小数叫做纯小数,纯小数小于1;
整数部分不是0的小数叫做带小数,带小数大于1。
2)有限小数和无限小数:
小数部分位数有限的小数,叫做有限小数;
小数部分位数无限的小数,叫做无限小数。
4.28是有限小数,π是无限小数。
3)循环小数:
一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
循环小数都有是无限小数。
一个循环小数的小数部分中,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
4)纯循环小数和混循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数;
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
计数单位和数位
二、计数单位与数位
1.计数单位:
个、十、百…以及十分之一、百分之一…都是计数单位。
2.数位:
各个计数单位所占的位置,叫做数位。
3.十进制计数法:
每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”,这样的计数方法叫做十进制计数法。
数的读法和写法
1.整数的读、写法
读法:
从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,其他数位不管连续有几个0,都只读一个零。
写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个数也没有,就在哪个数位上写0。
2.小数的读、写法
读小数的时候,从左往右,整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作“零”),小数点读作“点”,小数部分从高位到低位顺序依次读出每一个数位上的数字,即使是连续的0,也要依次读出来。
写小数时,也是从左往右,整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作“0”),小数点写在个位的右下角,小数部分从高位到低位顺次写出每个数位上的数字。
3.分数的读、写法
先读分母,再读“分之”,最后读分子。
读带分数时,要先读整数部分,再读分数部分,中间加一个“又”字。
先写分数线,再写分母,最后写分子。
写带分数时,要先写整数部分,再写分数部分。
4.百分数的读、写法。
先读“%”,读作“百分之”再读“%”前面的数。
先写“百分之”后面的数,再在后面加上“%”。
5.正数和负数的读、写法
读法:
读数时,不带“+”号的正数可直接读出,带“+”号的数要先读出“+”号,读出“正”,在读“+”号后面的数;
负数要先读“-”号,读作“负”,再读“-”号后面的数。
三、数的认识
(二)
(一)数的大小比较。
1.整数的大小比较。
比较两个整数的大小,要看它们的位数。
如果位数不同,那么位数多的数就大;
如果位数相同,就从最高位比起,相同数位上的数大的,这个数就大。
2.小数的大小比较。
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;
整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;
十分位上的数相同的,百分位上的数大的那个数就大。
3.分数的大小比较。
(1)真、假分数或整数部分相同的带分数:
分母相同,分子大则分数大;
分子相同,则分母小的分数大;
分子和分母都不相同,通分后化成同分母分数再比较大小。
(2)整数部分不同的带分数:
整数部分大的则分数大。
4.正负数大小的比较
负数都比正数小。
在数轴上,从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。
(二)数的性质
1.分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
2.小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
3.小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
小数点向右移动一位、两位、三位„„该数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍、、、小数点向左移动一位、两位、三位、、、该数就缩小到原来的
,
,
,、、、
应用小数位置移动的变化规律,如果要把一个数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍、、、就要把它的小数点向右移动一位、两位、三位、、、如果要把一个数缩小到原来的
,、、、就要把它的小数点向左移动一位、两位、三位、、、
四、数的认识(三)
1.因数和倍数。
1)因数和倍数的意义
如果a×
b=c(a、b、c均为非零整数),那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
倍数和因数是相互依存的。
2)因数和倍数的特征
(1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
(2)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
2.
2、3、5的倍数的特征。
1)1.2的倍数的特征:
个位上是0、2、4、6、8。
2)2.3的倍数的特征:
各个数位上的数字的和是3的倍数。
3)
5的倍数的特征:
个位上是0或者5。
4).既是2又是5的倍数的特征:
个位上是0。
5).既是2、3的倍数又是5的倍数的特征:
个位上是0,并且各个数位上的数字的和是3的倍数。
3.奇数和偶数。
奇数:
在自然数中,不是2的倍数的数叫做奇数。
偶数:
在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数。
自然数中,不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1,没有最大的奇数;
最小的偶数是0,没有最大的偶数。
4.质数和合数。
1).质数的含义:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。
最小的质数是2,2是唯一的偶质数,没有最大的质数。
2).合数的含义:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数做合数。
最小的合数是4,没有最大的合数。
3).1既不是质数,也不是合数。
4)
分解质因数。
(1)质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的质因数。
(2)分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(3).分解质因数的方法:
把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用这个合数的质因数(通常从最小的开始)去除,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
5.公因数和公倍数。
1).最大公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
2).最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3)互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
4)求两个数的最大公因数的方法:
一般采用列举法,先把这两个数的因数分别一一列举出来,然后找出这两个数的公因数,其中最大的那个公因数
5)求两个数的最小公倍数的方法:
一般也采用列举法,先把这两个数的倍数按从小到大的顺序分别列举出来,从中找出这两个数公有的倍数,其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。
6.求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法:
两个数中,如果较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是这两个数的乘积。
五、数的运算
(一)
1.四则运算的意义。
1)加法的含义:
求两个数和的运算。
2)减法的含义:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3)乘法的意义:
(1)一个数乘整数,就是求几个相同加数和的简便运算。
(2)一个数乘小数,可以看做求这个数的十分之几、百分之几、、、是多少。
(3)一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。
4)除法的意义:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
四则运算的计算方法
1)加法的计算方法:
(1)整数:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十要向前一位进1。
(2)小数:
先把小数点对齐,从末位加起。
哪一位上的数相加满10,要向前一位进1。
最后在得数里对齐横线上的小数点的位置,点上小数点。
(3)分数:
同分母分数相加,分母不变,只把分子相加;
异分母分数相加,先通分,再按照同分母分数加法的法则进行计算。
2)减法的计算方法
(1)整数:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,要从前一位上退1,在本位上加十再减。
(2)小数:
先把小数点对齐,再按整数减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点的位置,点上小数点。
(3)分数:
同分母分数相减,分母不变,分子相减;
异分母分数相减,先通分,再按照同分母分数加法的法则进行计算。
3)乘法的计算方法:
(1)整数乘法:
相同数位对齐,从低位到高位,用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数。
用第二个因数的哪一位上的数去乘,乘得的积的末位就要和那一位对齐,最后再把每次所乘得的积相加。
(2)小数乘法:
计算小数乘法,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的末位起数出几位,点上小数点。
(3)分数乘法:
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
在计算过程中,能约分的要约成最简分数。
(4)倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
4)除法的计算方法:
(1)整数除法:
从被除数的最高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位,如果前几位不够除,再多看一位,除到被除数的哪一位,就把商写在那一位的上面,每次除得的余数必须比除数小。
(2)小数除法:
除数是整数的小数除法,要按照整数除法的计算方法去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐。
如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添0再继续除。
除数是小数的除法,先向右移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位,位数不够时,在被除数的末尾用“0”补足,然后按除数是整数的小数除法进行计算。
(3)分数除法:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
5)估算
在进行估算时,一般是将式中的数看作与它们接近的整十、整百、整千数等进行计算。
3.运算各部分之间的关系
1)加法:
加数+加数=和和—一个加数=另一个加数
2)减法:
被减数—减数=差被减数—差=减数
减数+差=被减数
3)乘法:
因数×
因数=积积÷
一个因数=另一个因数
4)除法
能整除的:
被除数÷
除数=商被除数÷
商=除数
数×
商=被除数
不能整除的:
除数=商……余数
商×
除数+余数=被除数
4.0与1在四则运算中的特性
a+0=a
a-0=a
a-a=0
a×
0=0
1=a
a÷
1=a(a≠0)a-a=01÷
a=
(a≠0)
a=1
六、数的运算
(二)
运算定律
1)加法交换率:
a+b=b+a
2)加法结合律:
a+b+c=a+(b+c)
3)乘法交换率:
b=b×
a
4)乘法结合律:
(a×
b)×
c=a×
c+b×
c
5)乘法分配律:
(a+b)×
运算性质
1)减法的性质:
a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
2)除法的性质(除数不等于0):
(b×
c)=a÷
b÷
c
a÷
(b÷
b×
c(a+b)
÷
c=a÷
c+b÷
(a-b)
c-b÷
3.运算顺序
1.四则运算分为两级:
加法和减法叫做第一级运算。
乘法和除法叫做第二级运算。
2.
(1)在没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;
如果含有两级运算,要先做第二级运算,再做第一级运算。
(即:
先乘除后加减)
(2)在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
4.解决问题
1)用算术方法解应用题的一般步骤:
(1)审清题意,并找出已知条件或所求问题。
(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么。
(3)列式计算。
(4)检验并写出答语。
2)应用题的类型及解法。
1)归一问题:
此类应用题中暗含着单一量不变,文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样,其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量(即归一),再以它为标准,根据题目要求算出所求量。
2)归总问题:
此类题中暗含的总量不变,即乘积不变。
其解题是先求出总数(即归总),根据总数算出所求量。
3)行程问题:
速度×
时间=路程
路程÷
速度=时间
时间=速度
相遇问题:
速度和×
(相遇)时间=总路程。
追及问题:
速度差×
追及时间=路程差。
4)工程问题:
工作效率×
工作时间=工作总量(单位“1”)
工作总量(单位“1”)÷
工作效率=工作时间
工作时间=工作效率
5)分数应用是:
关键是找准标量,即单位“1”。
若单位“1”已知,用乘法计算;
若单位“1”未知,用除法计算。
(1)求甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)的解题规律:
甲乙的差÷
乙。
(2)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几),求甲的解题规律:
乙×
(1±
几分之几)
(3)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几),求乙的解题规律:
甲÷
(4)利息=本金×
利率×
时间
税后利息=本金×
时间×
(1-5%)
(5)应纳税额=总收入×
税率
七、式与方程
1.用字母表示数、运算定律和计算公式
1)用字母或含有字母的式子可以表示数,括整数、小数、分数和百分数
2)有字母的式子里,字母就读字母的名称,字母与字母、字母与数字之间的乘号
可以记作“·
”或省略不写。
但要注意,在省略乘号的时候,应当把数字写在字母的前面。
3)用字母表示除法、分数和比时,表示除数、分母及比的后项的字母不能为0。
4.用字母表示运算结果时必须是最简明的式子。
2.等式和简易方程
1)等式的含义:
表示相等关系的式子叫做等式。
2)方程的含义:
含有未知数的等式叫做方程。
3)等式与方程的关系:
所有的方程都是等式,但是等式却不全是方程。
4)方程的解的含义:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
5)解方程的含义:
求方程的解的过程叫做解方程。
6)等式的性质:
等式的两边都加上(或减去)同一个数,左右两边仍然相等。
这就是等式的性质
(1)。
以一个不等于0的数,左右两边仍然相等。
这就是等式的性质
(2)
7)列方程解应用题的步骤
(1)弄清题意,找出未知数并用x表示。
(2)找出应用题中数量间的相等关系,并根据等量关系列出方程。
(3)解方程,求出未知数的值。
(4)检验并写出答语。
八、常见的量
1.长度、面积和体积单位及其同类量之间的进率
1)长度单位:
千米、米、分米、厘米、毫米。
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米
1厘米=10毫米
2)面积单位:
平方米、平方分米、平方厘米、平方千米、公顷
1平方千米=100公倾1公倾=10000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
3)体积单位:
立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升。
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
2.质量单位及其进率
质量单位:
吨、千克、克。
1吨=1000千克
1千克=1000克
一吨=1000000克
3.时间单位和它们之间的进率
(1)时间单位:
有世纪、年、月、日、时、分、秒,还有季度、旬、星期等。
(2)一年有12个月,平年全年
365天,闰年全年366天。
(2)
1、3、5、7、8、10、12月(每月31天)
是大月,4、6、9、11月(每月30天)是小月,平年2月28天,闰年2月29天,即不是大月,也不是小月
(3)一年有四个季度:
第一季度
1月、2月、3月,第二季度
4月、5月、6月
,第三季度
7月、8月、9月,第四季度
10月、11月、12月。
(4)日、时、分、秒等其他时间单位
1世纪=100年
1日=24时
1时=60分
1分=60秒
1星期=7天
(5)平年、闰年的计算方法
根据公历年份判断,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的年份都是闰年,反之则是平年。
(6)人民币的单位及其进率。
人民币的单位有元、角、分。
1元=10角
1角=10分
4、名数之间的互化
1)名数的意义:
计算的结果,要用数来表示,并且还要带上单位名称,通常把它们合起来叫做名数。
只带有一个单位名称的,叫做单名数,如:
1米、30天等;
带有两个或两个以上单位名称的,叫做复名数,如:
3吨50千克、1米5厘米等。
2)名数的改写:
把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘,反之用进率去除。
如果进率是10、100、1000、、、、时,也可以把小数点向右(或左)移动一位、两位、三位、、、来完成。
九、比和比例
1.比和比例的联系与区别
名称
比
比例
意义
表示两个数相除
表示两个比相等的式子
各部分名称
9
6
1.5
前项
比号
后项
比值
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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