弹性力学第二章应力状态理论(2015).ppt
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应力状态理论应力状态理论应力状态理论应力状态理论第二章2-1体力和面力体力和面力按照外力作用的不同分布方式,可分为按照外力作用的不同分布方式,可分为体体积力积力和和表面力表面力,分别简称,分别简称体力体力和和面力面力。
(2)性质:
)性质:
一般情况下一般情况下,体力随点的位置不,体力随点的位置不同而不同,体力是连续分布的。
同而不同,体力是连续分布的。
(一)外力
(一)外力1.体力体力
(1)定义:
)定义:
所谓体力是分布在物体体积内的所谓体力是分布在物体体积内的力,如重力。
力,如重力。
(3)体力集度:
)体力集度:
体力的平均集度为:
体力的平均集度为:
P点所受体力的集度为:
点所受体力的集度为:
的方向就是的方向就是的极限方向。
的极限方向。
zxyVOP图图2-1(4)体力分量:
)体力分量:
将将f沿三个坐标轴分解,沿三个坐标轴分解,可得到三个正交的分力:
可得到三个正交的分力:
fx、fy、fz称为物体在称为物体在P点的点的体力分量体力分量,其,其方向与坐标轴正向相同时为正,方向与坐标轴正向相同时为正,因次因次是是力力长长度度-3。
zxyVVOP图图2-22-22.面力面力上面力的平均集度为:
上面力的平均集度为:
(3)面力集度:
)面力集度:
xyzPS图图2-3
(2)性质:
)性质:
一般情况下一般情况下,面力一般是物体表面点的位面力一般是物体表面点的位置坐标的函数。
置坐标的函数。
(1)定义:
分布在物体)定义:
分布在物体表面表面上上的力。
如流体压力和接触力。
的力。
如流体压力和接触力。
P点所受面力的集度为:
点所受面力的集度为:
(4)面力分量:
)面力分量:
xyzPS图图22-44P点的面力分量为点的面力分量为、,其方向与其方向与坐标轴正向相同时为正,坐标轴正向相同时为正,因次因次是是力力长度长度-2。
内力:
由于外力作用,在构件内各部分之间引起的内力:
由于外力作用,在构件内各部分之间引起的“附加附加”的相互作用力。
的相互作用力。
内力的特点:
内力的特点:
1.随外力的变化而变化,是随外力的变化而变化,是“附加内力附加内力”。
2.内力是分布力系,常用其主矢量和主矩表示。
内力是分布力系,常用其主矢量和主矩表示。
内力的求法:
截面法。
内力的求法:
截面法。
应力状态理论应力状态理论2.性质:
性质:
在物体内的某一点,不同截面上的应在物体内的某一点,不同截面上的应力是不同的。
力是不同的。
1.定义:
定义:
物体承受外力作用,物体内部各截面物体承受外力作用,物体内部各截面之间产生之间产生附加内力。
附加内力。
为了求出这些内力,我们为了求出这些内力,我们用一截面截开物体,并取出其中一部分,其中用一截面截开物体,并取出其中一部分,其中一部分对另一部分的作用,表现为内力,它们一部分对另一部分的作用,表现为内力,它们是分布在截面上分布力系。
是分布在截面上分布力系。
单位面积上的分布单位面积上的分布力即为应力力即为应力。
2-2应力和一点的应力状态应力和一点的应力状态A面积上的内力的平均集度为:
面积上的内力的平均集度为:
3.内力集度:
内力集度:
P点的应力为:
点的应力为:
单位是单位是力力长度长度-2。
-正应力正应力,-切应力切应力P点的应力分量为点的应力分量为、xyzABPoA图图2-54.应力分量应力分量在在略去体力和高阶微量的情略去体力和高阶微量的情况下,况下,相互平行的面上的应相互平行的面上的应力大小相等,方向相反。
力大小相等,方向相反。
(1)为了分析一点的应)为了分析一点的应力状态,在这一点从物体内力状态,在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面取出一个微小的正平行六面体,各面上的应力沿坐标轴体,各面上的应力沿坐标轴的分量称为的分量称为应力分量应力分量。
xyzo图图2-6应力不仅与点的位置有关,也与截面的方应力不仅与点的位置有关,也与截面的方位有关,不是一般的矢量,而是位有关,不是一般的矢量,而是二阶张量二阶张量。
xyzoy图图2-7
(2)应力标注:
)应力标注:
图示单元体右侧图示单元体右侧面的法线为面的法线为y,称为称为y面,垂直于单元体面,垂直于单元体面的应力称为面的应力称为正应正应力力。
正应力记为正应力记为y,其下标表示所沿坐其下标表示所沿坐标轴的方向。
标轴的方向。
xyzo平行于单元体面的平行于单元体面的应力称为应力称为切应力切应力,用,用、表示,其第一下标表示,其第一下标y表示所在的平面,第表示所在的平面,第二下标二下标x、z分别表示分别表示沿坐标轴的方向沿坐标轴的方向(也就也就是应力的具体指向是应力的具体指向)。
(2)应力标注:
)应力标注:
y图图2-8z面和面和x面上面上的应力分量的应力分量的表示如图的表示如图2-9所示。
所示。
xyzzzxzy图图2-9xxyxz正面上的应力沿坐标正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力正向或负面上的应力沿坐标负向为沿坐标负向为正正。
口诀:
正面正向或负面负向的应力为正。
口诀:
正面正向或负面负向的应力为正。
xyzyxzyzxzyyz图图2-10正正面面:
截截面面的的外外法法线线方方向向和和坐坐标标轴轴正正向向一一致致,反反之为之为负面负面。
正负规定正负规定:
弹性力学弹性力学材料力学材料力学图图2-11(3)注意弹性力学切)注意弹性力学切应力符号和材料力学应力符号和材料力学是有区别的。
在图是有区别的。
在图2-11中,弹性力学里,中,弹性力学里,切应力都为正,而材切应力都为正,而材料力学中相邻两垂直料力学中相邻两垂直面的符号是不同的。
面的符号是不同的。
注意:
注意:
(4)切应力互等定理切应力互等定理xyzxyyxxzyxzzxzyyz在在两个正交的面上两个正交的面上,如果有与公共边垂直的切如果有与公共边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值等值、方向相对或相离方向相对或相离。
2022/10/2516独立的6个应力分量可以完全确定一点的应力状态。
v平面ABC的外法线v的方向弦为:
ABCPyxzovfvzzyzxxxyxzyyzyx设设ABC上的应力为fv23与坐标倾斜的微分面上的应力应力状态理论应力状态理论体力体力体力体力为为为为Fx,Fy,FzPABC的体积为则:
yxzoABCPv由当PABCP时得:
同理,由zzyzxxxyxzyyzyxfvyfvxfvz应力状态理论应力状态理论yxzoABCPfvyfvxfvzvABC上的正应力:
将上式fvx,fvy,fvz代入,则:
就可求得任一斜截面就可求得任一斜截面如已知如已知正应力正应力和和切应力切应力。
应力状态理论应力状态理论应力边界条件应力边界条件:
应力分量的边界值与面力之间的关系。
应力分量的边界值与面力之间的关系。
如果ABC是物体边界面:
面力yxzoABCPv应力状态理论应力状态理论应力边界条件例例1:
已知某点的应力状态为:
已知某点的应力状态为:
求:
作用于过该点,方程为求:
作用于过该点,方程为的平面外的平面外侧的正应力和剪应力。
侧的正应力和剪应力。
解:
解:
应力状态理论应力状态理论vv面力:
方向:
(1)OAOA边界:
解:
例例2:
写出水坝OA、O1B的应力边界条件,设水的密度为。
xyoo1AABB代入应力边界条件:
应力状态理论应力状态理论
(2)00001111BBBB边界:
面力:
vvxyoo1AABB方向:
代入应力边界条件:
应力状态理论应力状态理论例例例例3:
3:
3:
3:
计算图示薄板齿尖A点的应力。
解:
1.AB:
l1=cos,m1=sinAB应力边界条件为:
BCAxyo应力状态理论应力状态理论
(1)BCAxyo2.AC:
l2=cos,m2=-sinAC应力边界条件为:
(2)A是AB与AC的交点,A点的应力同时满足
(1)
(2),当0时得:
(1)应力状态理论应力状态理论1.1.直角坐标下的直角坐标下的平衡方程平衡方程24平衡微分方程物体内任意一点P体力:
Fx,Fy,Fz均匀分布应力分量:
位置坐标的函数yzxoACBPzzyzxxxzxyyyxyz应力状态理论应力状态理论yzxoABCPzzyzxxxzxyyyxyz由同理:
切应力互等切应力互等由得:
(平衡方程)(平衡方程)xyzab应力状态理论应力状态理论新坐标系与的夹角方向余弦为新坐标系下的应力分量为25转轴时应力分量的变换应力状态理论应力状态理论建立坐标系设斜截面法线与轴方向一致则应力矢量其中应力状态理论应力状态理论将向轴投影就得到将向轴投影就得到将向轴投影就得到将向轴投影就得到向轴投影就得到斜截面ABC法线n与轴方向相同向轴投影就得到应力状态理论应力状态理论应力状态理论应力状态理论张量表示为矩阵表示为应力状态理论应力状态理论应力分量应力分量满足满足张量张量变化规则变化规则应力张量应力张量为二阶对称张量为二阶对称张量转轴公式表明:
新坐标系下的六个应力分转轴公式表明:
新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。
量可通过原坐标系的应力分量确定。
应力张量应力张量可以确定一点的可以确定一点的应力状态应力状态。
坐标轴转轴后,应力分量发生改变。
但是坐标轴转轴后,应力分量发生改变。
但是作为整体所描述的作为整体所描述的应力状态没有变化。
应力状态没有变化。
应力状态理论应力状态理论26主应力应力张量不变量主应力:
主应力:
主应力:
主应力:
切应力为零面上的正应力。
(应力主方向,应力主平面)yxzoABCPfvyfvxfvzv应力状态理论应力状态理论即为主应力应力状态理论应力状态理论其中:
其中:
主元之和主元之和代数主子式之和代数主子式之和应力张量元素构应力张量元素构成的行列式成的行列式应应力力状状态态不不变变量量应力状态理论应力状态理论应力状态特征方程应力状态特征方程确定确定弹性弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方体内部任意一点主应力和应力主轴方向。
向。
主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等,与坐标轴的选取无关。
件等,与坐标轴的选取无关。
因此,特征方程的根是确定的,即因此,特征方程的根是确定的,即I11、I22、I33的值的值是不随坐标轴的改变而变化的。
是不随坐标轴的改变而变化的。
I11、I22、I33分别称为应力张量的分别称为应力张量的第一、第二和第三第一、第二和第三不变量不变量。
应力状态理论应力状态理论主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件,与坐标系无关。
因此特征方程的三个根是确定的。
特征方程的三个根,即一点的三个主应力均为实数。
根据三次方程性质可以证明。
任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。
应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化,但应力状态不变。
应力不变量正是对应力状态性质的描述。
l不变性l实数性l正交性应力状态理论应力状态理论主应力正交性证明:
主应力正交性证明:
下面证明下述结论:
下面证明下述结论:
1.若若s1s2s3,特征方程无重根;特征方程无重根;应力主轴必然相互垂直应力主轴必然相互垂直;2.若若s1s2s3,特征方程有两重根;特征方程有两重根;ss1和和ss2的的方方向向必必然然垂垂直直于于ss3的的方方向向。
而而ss1和和ss2的的方向可以是垂直的,也可以不垂直;方向可以是垂直的,也可以不垂直;3.若若s1=s2=s3,特征方程有三重根;特征方程有三重根;三三个个应应力力主主轴轴可可以以垂垂直直,也也可可以以不不垂垂直直,任任何何方方向都是应力主轴向都是应力主轴。
应力状态理论应力状态理论设s1,s2,s3的方向分别为(l1,m1,n1),(l2,m2,n2)和(l3,m3,n3),则分别乘以l2,m2,n2分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加,可得应力状态理论应力状态理论同理如果s1s2s33个应力主方向相互垂直如果s1=s2s3可以等于零,也可以不等于零。
s3与s1和s2的方向垂直,而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。
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