八上动点问题专项训练文档格式.docx
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若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:
AP=CD.
(3)知识迁移,探索新知
若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系。
例3:
如图a,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
图a图b
例3变式练习1.如图b,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,点A、点C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(10,4).若点D为OA的中点,点P为边BC上的一动点,则△OPD为等腰三角形时的点P的坐标为 _________ .
例4.在直角坐标系XOY中,点A、点B、点C坐标分别为(4,0)、(8,0)、(0,﹣4).
(1)求过B、C两点的一次函数解析式;
(2)若直线BC上有一动点P(x,y),以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等,求P点坐标;
(3)若y轴上有一动点Q,使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形,求Q点坐标.
例4变式练习1.如图,已知直线AB与x轴交于A(6,0)点,与y轴交于B(0,10)点,点M的坐标为(0,4),点P(x,y)是折线O→A→B上的动点(不与O点、B点重合),连接OP,MP,设△OPM的面积为S.
(1)求S关于x的函数表达式,并求出x的取值范围;
(2)当△OPM是以OM为底边的等腰三角形时,求S的值.
例4变式练习2.如图,直线y=kx﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点,且
.
(1)求B点坐标和k值;
(2)若点A(x,y)是直线y=kx﹣3上在第一象限内的一个动点,当点A在运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(不要求写出自变量的取值范围)
(3)探究:
①.当A点运动到什么位置时,△AOB的面积为
,并说明理由;
②.在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△AOP是等腰三角形?
若存在,请直接写出满足条件的所有P点坐标;
若不存在,请说明理由.
例4变式练习3.如图:
矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点),点C在y轴上,点B(2,2
),点E是BC的中点,点H在OA上,且AH=
,过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G,现将矩形折叠使顶点C落在HG上,并与HG上的点D重合,折痕为EF,F为折痕与y轴的交点.
(1)求∠BED的度数和点D的坐标;
(2)求直线DE的解析式;
(3)若点P在直线EF上移动,当△PFD为等腰三角形时,请问满足条件的点P有几个?
请求出点P的坐标,并写出解答过程.
例5:
如图,在直角坐标系中,一次函数y=x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为(2,0),连接BC.
(1)判断△ABC是不是等腰直角三角形,并说明理由;
(2)若点P在线段BC的延长线上运动(P不与点C重合),连结AP,作AP的垂直平分线交y轴于点E,垂足为D,分别连结EA,EP;
①当点P在运动时,∠AEP的度数是否变化?
若变化,请说明理由;
若不变,求出∠AEP的度数;
②若点P从点C出发,运动速度为每秒1个单位长度,设△AOE的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.
例5变式练习1.已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,﹣4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由.
例5变式练习2.如图,一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P位于第一象限且在直线AB上,以PB为一条直角边作一个等腰直角三角形PBC,其中C点位于直线AB的左上方,B点为直角顶点,PC与y轴交于点D.若△PBC与△AOB的面积相等,试求点P的坐标.
例6:
如图,正方形ABCD的边长为8厘米,动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动,点P、Q同时出发,当点P停止运动,点Q也随之停止.连接AQ,交BD于点E.设点P运动时间为x秒.
(1)当点Q在线段BC上运动时,点P出发多少时间后,∠BEP和∠BEQ相等;
(2)当点Q在线段BC上运动时,求证:
△BQE的面积是△APE的面积的2倍;
(3)设△APE的面积为y,试求出y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.
例6变式练习1.如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP的长;
(3)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
例6变式练习2.如图,直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于点C;
动点E、D同时从A点出发,其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动,动点D以1cm/s的速度在直线AM上运动;
已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t.
(1)试求∠ACB的度数;
(2)若S△ABD:
S△BEC=2:
3,试求动点D,E的运动时间t的值;
(3)试问当动点D,E在运动过程中,是否存在某个时间t,使得△ADB与△BEC全等?
若存在,请求出时间t的值;
若不存在,请说出理由.
例7:
如图,点B是x轴正半轴上一动点,点A是线段OB垂直平分线上的点,P为y轴正半轴上一动点,且∠OPB=∠OAB=α(α为锐角).
(1)求证:
∠AOP=∠ABP;
(2)如图1,若∠AOB=60°
,PO=2,求:
①PB的长;
②PA的长.
(3)已知,点A的纵坐标是3,问当点B在x轴正半轴上移动时(如图2),PO+PB的长是否会发生改变?
若不变,求出PO+PB的值;
若会改变,请说明理由.
课后练习:
1.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)连接AQ、CP,相交于点M,如图2,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?
若变化,则说明理由;
若不变,请求出它的度数.
2.已知:
如图,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点,OA=OB=1,动点P在线段AB上移动,以P为顶点作∠OPQ=45°
,射线PQ交x轴于点Q.
(1)求直线AB的解析式.
(2)△OPQ能否是等腰三角形?
如果能,请求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
(3)无论m为何值,
(2)中求出的P点是否始终在直线
(m≠0)上?
请说明理由.
3.已知:
如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间t(s),解答下列各问题:
(1)求△ABC的面积;
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;
是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?
如果存在,求出t的值;
不存在请说明理由.
4.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如:
点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1﹣3|<|2﹣5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(﹣
,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y=
x+3上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
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