北师大版高中数学必修二学同步教学案 立体几何初步 空间图形的基本关系与公理Word文档下载推荐.docx
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5.平面α∥β,且aα,下列四个结论:
①a和β内的所有直线平行;
②a和β内的无数条直线平行;
③a和β内的任何直线都不平行;
④a和β无公共点.
其中正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
6.若一直线上有一点在已知平面外,则下列命题正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
二、填空题
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AA1和BB1的中点,则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个.
8.若a、b是两条异面直线,且a∥平行α,则b与α的位置关系是__________________.
9.三个不重合的平面,能把空间分成n部分,则n的所有可能值为______________.
三、解答题
10.指出图中的图形画法是否正确,如不正确,请改正.
(1)如图1,直线a在平面α内.
(2)如图2,直线a和平面α相交.
(3)如图3,直线a和平面α平行.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱.
能力提升
12.如图所示的是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对.
13.如图,平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
正方体或长方体是一个特殊的图形,当点、线、面关系比较复杂时,可以寻找正方体或长方体作为载体,将它们置于其中,立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
答案
知识梳理
1.点在直线上和点在直线外
2.点在平面内和点在平面外
3.
(1)平行
(2)相交 (3)异面
作业设计
1.D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B
7.3
8.bα,b∥α或b与α相交
9.4,6,7,8
10.解
(1)
(2)(3)的图形画法都不正确.正确画法如下图:
(1)直线a在平面α内:
(2)直线a与平面α相交:
(3)直线a与平面α平行:
11.
解 如图所示.与AB平行的棱CD,A1B1,C1D1;
与AB相交的棱A1A,B1B,AD,BC;
与AB异面的棱为棱A1D1,
B1C1,D1D,C1C.
12.3
解析 将正方体恢复后,由图观察即可得.
即为EF,GH;
CD,AB;
AB,GH.
13.解 由α∩γ=a知aα且aγ,
由β∩γ=b知bβ且bγ,
∵α∥β,aα,bβ,∴a、b无公共点.
又∵aγ且bγ,∴a∥b.
∵α∥β,∴α与β无公共点,
又aα,∴a与β无公共点,∴a∥β.
4.2 空间图形的公理
(一)
【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化,理解公理1、公理2、公理3,并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题.
1.公理1:
如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
符号:
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒lα.
2.公理2:
经过________________________的三点,____________一个平面(即可以确定一个平面).
3.公理3:
如果两个不重合的平面有________公共点,那么它们有且只有________通过这个点的公共直线.
P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.
4.用符号语言表示下列语句:
(1)点A在平面α内但在平面β外:
________________________________________________________________________.
(2)直线l经过面α内一点A,α外一点B:
________________.
(3)直线l在面α内也在面β内:
____________.
(4)平面α内的两条直线m、n相交于A:
1.两平面重合的条件是( )
A.有两个公共点
B.有无数个公共点
C.有不共线的三个公共点
D.有一条公共直线
2.若点M在直线b上,b在平面β内,则M、b、β之间的关系可记作( )
A.M∈b∈βB.M∈bβ
C.MbβD.Mb∈β
3.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )
A.1条或2条B.2条或3条
C.1条或3条D.1条或2条或3条
4.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒aβ
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合
5.空间中可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线B.一点和一直线
C.一个三角形D.三个点
6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有( )
A.2个或3个B.4个或3个
C.1个或3个D.1个或4个
7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.
(1)A
α,aα________.
(2)α∩β=a,P
α且P
β________.
(3)a
α,a∩α=A________.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.
8.已知α∩β=m,aα,bβ,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.
9.下列四个命题:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;
②经过空间任意三点有且只有一个平面;
③过两平行直线有且只有一个平面;
④在空间两两相交的三条直线必共面.
其中正确命题的序号是________.
10.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>
CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
11.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:
E,F,G,H必在同一直线上.
12.若空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,求证此三条直线必相交于一点.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:
(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面;
(3)CE、D1F、DA三线共点.
1.证明几点共线的方法:
先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上.
2.证明点线共面的方法:
先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;
或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.
3.证明几线共点的方法:
先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.
4.2 空间图形的公理
(一)答案
1.两点
2.不在同一条直线上 有且只有
3.一个 一条
4.
(1)A∈α,A∉β
(2)A∈α,B∉α且A∈l,B∈l (3)lα且lβ (4)mα,nα且m∩n=A
1.C [根据公理2,不共线的三点确定一个平面,若两个平面同过不共线的三点,则两平面必重合.]
2.B 3.D
4.C [∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.]
5.C
6.D [四点共面时有1个平面,四点不共面时有4个平面.]
7.
(1)C
(2)D (3)A (4)B
8.A∈m
解析 因为α∩β=m,A∈aα,所以A∈α,同理A∈β,故A在α与β的交线m上.
9.③
10.解 由题意知,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于AB>
CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
∵E∈AC,AC平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
11.证明 因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
12.证明
∵l1β,l2β,l1
l2,
∴l1∩l2交于一点,记交点为P.
∵P∈l1β,P∈l2γ,
∴P∈β∩γ=l3,
∴l1,l2,l3交于一点.
13.证明
(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,
又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,
∴EF∥A1B.
∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面.
(3)由
(2)可知:
四点E、C、D1、F共面.
又∵EF=
A1B=
D1C.
∴D1F,CE为相交直线,记交点为P.
则P∈D1F平面ADD1A1,
P∈CE平面ADCB.
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB=AD.
∴CE、D1F、DA三线共点.
4.2 空间图形的公理
(二)
【课时目标】 1.理解异面直线所成角的定义;
2.能用公理4及定理解决一些简单的相关问题.
1.公理4:
平行于同一条直线的两条直线________.
2.定理:
空间中,如果两个角的两边分别对应________,那么这两个角________或________.
3.异面直线所成的角:
直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角.
如果两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,两条异面直线所成的角的取值范围是____________.
1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行B.异面或相交
C.异面D.相交、平行或异面
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
4.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN≥
(AC+BD)
B.MN≤
C.MN=
D.MN<
6.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°
,则β为________.
7.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中:
(1)BC′与CD′所成的角为________;
(2)AD与BC′所成的角为________.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°
;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
9.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点.
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°
,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
11.如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填序号).
12.如图所示,正方体AC1中,E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.90°
在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角的范围为(0°
,90°
],解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
4.2 空间图形的公理
(二)答案
1.平行
2.平行 相等 互补
3.锐角(或直角) 直角 (0°
]
1.D [异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.]
2.D
3.D [等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.]
4.B [①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面,一定不会平行;
当点A在直线a上运动(其余三点不动),会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.]
5.D
[如图所示,取BC的中点E,连接ME、NE,
则ME=
AC,
NE=
BD,
所以ME+NE=
(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>
MN,
所以MN<
(AC+BD).]
6.60°
或120°
7.
(1)60°
(2)45°
解析
连接BA′,则BA′∥CD′,连接A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.
由△A′BC′为正三角形,
知∠A′BC′=60°
,
由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC=45°
.
8.①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
9.
证明
(1)如图,连接AC,
在△ACD中,
∵M、N分别是CD、AD的中点,
∴MN是三角形的中位线,
∴MN∥AC,MN=
AC.
由正方体的性质得:
AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=
A1C1,
即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由
(1)可知MN∥A1C1,
又因为ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
10.解 取AC的中点G,
连接EG、FG,
则EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°
∴∠EGF=30°
或150°
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°
时,∠GEF=75°
当∠EGF=150°
时,∠GEF=15°
故EF与AB所成的角为15°
或75°
11.②④
解析 ①中HG∥MN.③中GM∥HN且GM≠HN,∴HG、MN必相交.
12.B [
连接B1D1,则E为B1D1中点,
连接AB1,EF∥AB1,
又CD∥AB,∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B1AB=45°
.]
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