中考数学一轮复习 题型分类训练题型6 几何探究型问题Word格式.docx
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并请说明理由;
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
第2题图
3.(2017临沂11分)如图①,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:
AF与BE的数量关系是________,位置关系是________;
(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第
(1)问中的结论是否仍然成立?
请作出判断并给予证明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第
(1)问中的结论都能成立吗?
请直接写出你的判断.
第3题图
4.(2017贵港10分)已知:
△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°
,探究并解决下列问题:
(1)如图①,若点P在线段AB上,且AC=1+
,PA=
,则:
①线段PB=________,PC=________;
②猜想:
PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为________________;
(2)如图②,若点P在AB的延长线上,在
(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图②给出证明过程;
(3)若动点P满足
=
,求
的值.(提示:
请利用备用图进行探求)
第4题图
5.(2017牡丹江8分)已知四边形ABCD是正方形,等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上(不与点B、C重合),FM⊥AD,交射线AD于点M.
(1)当点E在边BC上,点M在边AD的延长线上时,如图①,求证AB+BE=AM;
(提示:
延长MF,交边BC的延长线于点H)
(2)当点E在边CB的延长线上,点M在边AD上时,如图②;
当点E在边BC的延长线上,点M在边AD上时,如图③,请分别写出线段AB,BE,AM之间的数量关系,不需要证明;
(3)在
(1),
(2)的条件下,若BE=
,∠AFM=15°
,则AM=________.
第5题图
6.(2017陕西12分)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°
,AD=8,BC=12.
(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为__________;
(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;
(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?
若存在,求出此时cos∠BPC的值;
若不存在,请说明理由.
第6题图
7.(2017湖州10分)问题背景
已知在△ABC中,AB边上的动点D由A向B运动(与A、B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试
如图①,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等.
求证:
HF=AH+CF.
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:
思路一:
过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;
思路二:
过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分);
(2)类比探究
如图②,若在△ABC中,∠ABC=90°
,∠ADH=∠BAC=30°
,且点D,E的运动速度之比是
∶1.求
的值;
(3)延伸拓展
如图③,若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°
,记
=m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示
(直接写出结果,不必写解答过程).
第7题图
8.(2017成都10分)已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°
.
(1)如图①,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.
①求证:
△CAE∽△CBF;
②若BE=1,AE=2,求CE的长;
(2)如图②,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且
=k时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值;
(3)如图③,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°
时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)
第8题图
9.(2014漳州12分)阅读材料:
如图①,在△AOB中,∠O=90°
,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)
(1)
【理解与应用】
如图②,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为________;
(2)
【类比与推理】
如图③,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值;
(3)
【拓展与延伸】
如图④,⊙O的半径为4,A,B,C,D是⊙O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD交BD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°
时,PE+PF是否为定值?
若是,请求出这个定值;
若不是,请说明理由.
第9题图
10.(2016原创9分)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°
,AC=1,固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:
(1)如图①,将△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连接DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,它的面积是否变化?
如果不变,请求出其面积;
如果变化,说明理由;
(2)如图②,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由;
(3)如图③,△DEF的点D固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连接BE,请你求出sin∠DEA的值.
第10题图
11.(2017河南10分)如图①,在Rt△ABC中,∠B=90°
,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°
时,
=________;
②当α=180°
(2)拓展探究
试判断:
当0°
≤α<
360°
的大小有无变化?
请仅就图②的情形给出证明;
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
第11题图
12.(2014重庆A卷12分)已知:
如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=
,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度),当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°
<α<180°
),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?
若存在,求出此时DQ的长;
第12题图
13.(2017济南9分)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,∠EAC=90°
,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°
得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.
(1)直接写出∠NDE的度数;
(2)如图②、图③,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,
(1)中的结论是否发生变化?
如果不变,选取其中一种情况加以证明;
如果变化,请说明理由;
(3)如图④,若∠EAC=15°
,∠ACM=60°
,直线CM与AB交于G,BD=
,其他条件不变,求线段AM的长.
第13题图
14.(2017连云港12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2
的正方形AEFG按图①位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
第14题图①
(2)如图②,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长;
第14题图②
(3)如图③,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
第14题图③
15.(2017怀化8分)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8,BC=6,点P以每秒1个单位的速度从A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都停止运动,设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)在运动过程中,求P,Q两点间距离的最大值;
(2)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式;
(3)P,Q两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC为等腰三角形.若存在,求出此时的t值.若不存在,请说明理由.(
≈2.24,结果保留一位小数)
第15题图
16.(2017长春10分)如图,在等边△ABC中,AB=6,AD⊥BC于点D,点P在边AB上运动,过点P作PE∥BC,与边AC交于点E,连接ED.以PE、ED为邻边作□PEDF,设□PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<
x<
6).
(1)求线段PE的长;
(用含x的代数式表示)
(2)当四边形PEDF为菱形时,求x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式;
(4)设点A关于直线PE的对称点为点A′,当线段A′B的垂直平分线与直线AD相交时,设其交点为Q.当点P与点Q位于直线BC同侧(不包括点Q在直线BC上)时,直接写出x的取值范围.
第16题图
17.(2017青岛12分)已知:
如图①,在□ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;
同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为1cm/s;
当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图②.设移动时间为t(s)(0<t<4).连接PQ,MQ,MC.解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥MN?
(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4?
若存在,求出t的值;
若不存在,请说明理由;
(4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?
第17题图
18.(2017衢州12分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=9,S△ABC=
,动点P从A点出发,沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q从C点出发,以相同的速度在线段AC上由C向A运动,当Q点运动到A点时,P、Q两点同时停止运动.以PQ为边作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆时针排序),以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.
(1)求tanA的值;
(2)设点P运动时间为t,正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;
(3)当t为何值时,正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方形QCGH的边上,请直接写出t的值.
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