秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 专题训练五三种特殊的等腰三角形的运用练习 新版华东师Word格式.docx
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图5-ZT-2
3.如图5-ZT-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AC=2AB,D是AC的中点.将一块锐角为45°
的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连结BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
图5-ZT-3
► 类型二 等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
(1)三边都相等;
(2)三个角都是60°
(1)定义;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
图5-ZT-4
4.如图5-ZT-4,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,∠1=20°
,则∠2的度数为( )
A.60°
B.45°
C.40°
D.30°
5.如图5-ZT-5,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°
.若BE=6cm,DE=2cm,求BC的长.
图5-ZT-5
6.如图5-ZT-6,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形,求证:
AC=BE.
图5-ZT-6
7.如图5-ZT-7,△ABC是等边三角形,E是BC边上任意一点,∠AEF=60°
,EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
求证:
AE=EF.
图5-ZT-7
► 类型三 有一角是36°
的等腰三角形
有一角是36°
的等腰三角形包括两种情况:
(1)顶角是36°
的等腰三角形,此时底角是72°
;
(2)底角是36°
的等腰三角形,此时顶角是108°
.这两类等腰三角形具有一些共性.
8.如图5-ZT-8,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE,则∠1的度数为( )
A.30°
B.36°
C.38°
D.45°
图5-ZT-8
图5-ZT-9
.如图5-ZT-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD⊥AC于点D,则∠CBD=________°
10.如图5-ZT-10,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°
,则∠BDC的度数为________.
图5-ZT-10
图5-ZT-11
11.如图5-ZT-11所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠BAC=________°
12.如图5-ZT-12,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)
(1)在图①中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度;
(2)在图②中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:
在图③中画n条线段,使图中有2n个等腰三角形,其中有________个黄金等腰三角形.
图5-ZT-12
详解详析
1.证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AD=AE,AB=AC.
∵∠EAC=90°
+∠CAD,∠DAB=90°
+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC.
在△ADB和△AEC中,
∵AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(S.A.S.),
∴BD=CE.
2.解:
△DBF是等腰直角三角形.
证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC.
∵BF平分∠ABE,AC⊥BE,
∴∠DFB=∠DAB+∠ABF=
(∠BAE+∠ABE)=
(180°
-∠AEB)=45°
,
∴∠DBF=90°
-∠DFB=45°
∴DB=DF,
∴△DBF是等腰直角三角形.
3.解:
数量关系:
BE=EC,位置关系:
BE⊥EC.
∵△AED是等腰直角三角形,
∴∠AED=90°
,∠EAD=∠EDA=45°
,AE=DE.
∵∠BAC=90°
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°
+90°
=135°
,∠EDC=180°
-∠EDA=180°
-45°
∴∠EAB=∠EDC.
∵D是AC的中点,
∴AC=2CD.
又∵AC=2AB,
∴AB=CD,
∴△EAB≌△EDC,
∴EB=EC,且∠AEB=∠DEC,
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°
,即BE⊥EC.
4.C
5.解:
延长AD交BC于点M,由AB=AC,AD平分∠BAC可得AM⊥BC,BM=MC=
BC.
延长ED交BC于点N,则△EBN是等边三角形,
故EN=BN=BE=6,∴DN=6-2=4.
过点D作DF∥BE,则∠DFN=∠EBC=60°
,∠FDN=∠E=60°
∴△DFN为等边三角形,
∴MN=
FN=
DN=2,
∴BM=6-2=4,
∴BC=2BM=8.
6.证明:
∵△ABD和△DCE都是等边三角形,
∴∠ADB=∠CDE=60°
,AD=BD,CD=DE,
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠CDE,
即∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△BDE,
∴AC=BE.
7.证明:
如图,在AB上截取AG=CE,连结EG.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°
,则BG=BE.
∴△BEG是等边三角形,
∴∠BGE=60°
∴∠AGE=120°
∵CF平分∠ACD,
∴∠ACF=
-∠ACB)=60°
∴∠ECF=120°
∴∠AGE=∠ECF.
∵∠AEC=∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,且∠AEF=∠B=60°
∴∠GAE=∠CEF.
又∵AG=EC,
∴△AGE≌△ECF(A.S.A.),
∴AE=EF.
8.B
9.18
10.72°
11.108
12.解:
(1)如图①所示(画图不唯一).空格处分别填108,36.
提示:
当AE=BE时,∠A=∠ABE=36°
,则∠AEB=108°
,∠EBC=36°
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°
和36°
.故填108和36.
(2)答案不唯一,如图②所示:
(3)空格处填n.
画1条线段可得到2个等腰三角形;
画2条线段可得到4个等腰三角形;
画3条线段可得到6个等腰三角形……
∴在△ABC中画n条线段,使图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形.
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