名师点睛天津市和平区九年级数学期末专题复习二次函数及答案文档格式.docx
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)
A.0
B.-1
C.1
D.2
第4题图第5题图
5.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,当水面下降1m时,水面的宽度为( )
A.3
B.2
C.3
D.2
6.同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()
7.已知二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<
x1<
2,与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论:
①4a﹣2b+c=0;
②a﹣b+c<
0;
③2a+c>
④2a﹣b+1>
0.其中正确结论个数是( )个.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
8.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为(
A.5元
B.10元
C.0元
D.3600元
9.平时我们在跳绳时,绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线,如
图所示.正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4m,距地高均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m,2.5m处.绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(
A.1.5m
B.1.625m
C.1.66m
D.1.67m
10.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中利润最高的月份是(
A.5月
B.6月
C.7月
D.8月
11.设二次函数y1=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1,0),若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点,则(
A.a(x1-x2)=d
B.a(x2-x1)=dC.a(x1-x2)2=d
D.a(x1+x2)2=d
12.矩形ABCD的边BC在直线l上,AB=2,BC=4,P是AD边上一动点且不与点D重合,连结CP,过点P作∠APE=∠CPD,交直线l于点E,若PD的长为x,△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()
二填空题:
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣1交y轴于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,点P在抛物线上,连结PA、PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上,则△ABP的面积是 .
第13题图第15题图第16题图
14.已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a﹣2的图象的顶点在坐标轴上,则a= .
15.已知二次函数y=-x2+4x+c的部分图象如图所示,则关于x的一元
二次方程-x2+4x+=0的解为
16.如图,P是抛物线y=-x2+x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为
.
17.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°
,点B在抛物线y=ax2(a<
0)的图象上,则a的值为 .
第17题图第18题图第20题图
18.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1,且过点(
0).有下列结论:
①abc>
②a﹣2b+4c=0;
③25a-10b+4c=0;
④3b+2c>0;
⑤a﹣b≥m(am﹣b).其中所有正确的结论是 .(填写正确序号)
19.若直线y=m(m为常数)与函数
的图象有三个不同的交点,则常数m的取值范围 .
20.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为.
21.如图,抛物线y=a(x-1)2+
(a≠0)经过y轴正半轴上的点A,点B,C分别是此抛物线和x轴上的动点,点D在OB上,且AD平分△ABO的面积,过D作DF∥BC交x轴于F点,则DF的最小值为 .
22.如图,一段抛物线:
y=﹣x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°
得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°
得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m= .
三简答题:
23.如图,过点A(-1,0)、B(3,0)的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E.
(1)求抛物线解析式;
(2)求抛物线顶点D的坐标;
(3)若抛物线的对称轴上存在点P使
,求此时DP的长.
24.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),其表达式是y=ax2+c的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
请说说你的理由.
25.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发.沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为ts.
(1)点A的坐标是,点C的坐标是;
(2)当t=时,MN=
AC;
(3)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;
(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值?
若有,求出最大值;
若没有,请说明理由.
26.某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.
销售结束后,得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系:
P=-2x+80(1≤x≤30,且x为整数);
又知前20天的销售价格Q1(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:
Q1=
x+30(1≤x≤20,且x为整数),后10天的销售价格Q2(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:
Q2=45(21≤x≤30,且x为整数).
(1)试写出该商店前20天的日销售利润R1(元)和后10天的日销售利润R2(元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式;
(2)请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?
并求出这个最大利润.注:
销售利润=销售收入﹣购进成本.
27.已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(ɑ,0),B(β,0),且
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?
若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;
若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
参考答案
1、C2、A.3、D4、A5、B6、D7、B8、A9、B10、C
11、B12、A
13、 2 .14、 0 .15、x1=-2,x2=4;
16、6.17、 ﹣
.18、①③⑤ .19、 0<m<4 .
20、121、
.22、2 .
23、解:
(1)y=-x2+2x+3;
(2)D(1,4);
(3)1或7.
24、【解答】解:
(1)根据题目条件,A、B、C的坐标分别是(﹣10,0)、(10,0)、(0,6).
将B、C的坐标代入y=ax2+c,解得a=-
c=6.所以抛物线的表达式是y=-
x2+6;
(2)可设N(5,yN),于是yN=4.5.从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米;
(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,则G点坐标是(7,0),(7=2÷
2+2×
3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH=﹣
×
72+6=3+
>3.
根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
25、解:
(1)A(4,0),C(0,3);
图①
(2)t=2或6;
(3)当0<
t≤4时,S=
OM∙ON=
.当4<
t<
8时,如图①,S=
(4)有最大值.
图②,当0<
t≤4时,当t=4时,S可取到最大值=6.
当4<
8时,抛物线S=
.的开口向下,
所以S<
6,综上,t=4时,S有最大值为6.
26、【解答】解:
(1)根据题意,得R1=P(Q1﹣20)=(﹣2x+80)[(
x+30)﹣20],
=﹣x2+20x+800(1≤x≤20,且x为整数),
R2=P(Q2﹣20)=(﹣2x+80)(45﹣20),=﹣50x+2000(21≤x≤30,且x为整数);
(2)在1≤x≤20,且x为整数时,
∵R1=﹣(x﹣10)2+900,∴当x=10时,R1的最大值为900,在21≤x≤30,且x为整数时,
∵R2=﹣50x+2000,﹣50<0,R2随x的增大而减小,∴当x=21时,R2的最大值为950,
∵950>900,∴当x=21即在第21天时,日销售利润最大,最大值为950元.
27、【解答】解:
(1)由题意可得:
α,β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根,由根与系数的关系可得,
α+β=
,αβ=﹣2,∵
,∴
=﹣2,即解得:
m=1,故抛物线解析式为:
y=﹣x2+4x+2;
(2)存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,
∵y=﹣x2+4x+2=﹣(x﹣2)2+6,∴抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为:
(2,6),
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为:
(0,2),点E与点C关于l对称,∴E点坐标为:
(4,2),
作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,
则D′的坐标为;
(﹣2,6),E′坐标为:
(4,﹣2),
连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,
此时,四边形DNME的周长最小为:
D′E′+DE,如图1所示:
延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F=6,E′F=8,则D′E′=10,
设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG=4,EG=2,∴DE=2
,
∴四边形DNME的周长最小值为:
10+2
;
(3)如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH=DG=4,∴|y|=4,
∴当y=4时,﹣x2+4x+2=4,解得:
x1=2+
,x2=2﹣
当y=﹣4时,﹣x2+4x+2=﹣4,解得:
x3=2+
,x4=2﹣
故P点的坐标为;
(2﹣
,4),(2+
,4),(2﹣
,﹣4),(2+
,﹣4).
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