高中数学数列知识点总结Word下载.docx
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n可得Sn达到最小值时的n值.
0(6)项数为偶数2n的等差数列?
,有
S2n?
n(a1?
a2n)?
n(a2?
1)?
n(an?
1)(an,an?
1为中间两项)
S偶?
S奇?
nd,
S奇S偶
an
.an?
(7)项数为奇数2n?
1的等差数列?
1
(2n?
1)an(an为中间项),S奇?
SS奇偶?
an,
S?
nn?
.偶
2.等比数列的定义与性质
an?
q(q为常数,q?
0),an?
1an?
a1qn
.等比中项:
x、G、y成等比数列?
G2?
xy,或G?
na1(q?
1)前n项和:
S?
a1?
qn?
(要注意!
)
q
(q?
1)性质:
是等比数列
q,则am·
ap·
aq
(2)Sn,S2n?
S2n……仍为等比数列,公比为qn.注意:
由Sn求an时应注意什么?
1时,a1?
S1;
2时,an?
1.
3.求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:
数列?
a12?
11
,a122a2?
……?
2
nan?
2n?
5,求an
解n?
1时,1
2a1?
2?
5,∴a1?
14n?
2时,12a?
122a2?
5①—②得:
1n?
14(n?
1)2nan?
2,∴an?
2n?
1(n?
2)[练习]数列?
a5
满足Sn?
3
1,a1?
4,求an
注意到aSn?
Sn,代入得
4又S1?
4,∴?
是等比数列,n
;
①
②
Sn?
4n
3·
4n?
(2)叠乘法
an如:
中,a1?
3n?
,求an
ann?
解
3aa1a2a312n?
,∴n?
又a1?
3,∴an?
……n?
……
n.a1na1a2an?
123n
(3)等差型递推公式
由an?
f(n),a1?
a0,求an,用迭加法
a3?
a2?
f(3)?
2时,?
两边相加得an?
f
(2)?
f(n)
…………?
f(n)?
a2?
f
(2)
∴an?
a0?
f(n)[练习]数列?
1,an?
3(4)等比型递推公式
,求an(
1n
3?
2)
can?
d(c、d为常数,c?
0,c?
1,d?
0)
可转化为等比数列,设an?
c?
x令(c?
1)x?
d,∴x?
ddd?
,c为公比的等比数列,∴?
是首项为a1?
c?
1c?
dd?
1d?
,∴?
·
ca?
(5)倒数法如:
2an
,求anan?
由已知得:
2111111?
,∴?
12an2anan?
1an2
11111
·
为等差数列,?
1,公差为,∴?
2a1an22?
3
(附:
公式法、利用
S1(n?
1)
2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
pan?
q或an?
f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.如:
是公差为d的等差数列,求?
k?
1akak?
n
解:
由
111?
11?
d?
ak·
ak?
dd?
akak?
111?
∴?
ak?
a1a2?
a2a3?
k?
1k?
anan?
a1an?
[练习]求和:
21?
31?
3?
n
……,Sn?
(2)错位相减法
若?
bn?
为等比数列,求数列?
anbn?
(差比数列)前n项和,可由
qSn,求Sn,其中q为?
的公比.
2x?
3x2?
4x3?
nxn?
x·
2x2?
3x3?
4x4?
xn?
nxn①—②?
x2?
nxn
4
x?
1时,Sn
nx?
x
,x?
1时,Sn?
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加2Sn?
…?
…
x2
[练习]已知f(x)?
,则2
f
(1)?
f?
f?
f(4)?
4?
x2x21x?
由f(x)?
12222
x1?
x1?
∴原式?
f
(1)?
2?
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·
bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
*篇二:
五、数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的第二个数,有第三个数,……,于是数列中的每一个数都对应一个序号;
反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。
因此,数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,?
n})上的函数f(n),当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列函数值为通常用an代替f(n),于是数列的一般形式常记为a1,a2,?
或简记为{an},f
(1),f
(2),?
;
其中an表示数列{an}的通项。
注意:
(1){an}与an是不同的概念,{an}表示数列a1,a2,?
,而an表示的是数列的第n项;
(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,
它是一个函数值;
而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。
S1(n?
(3)anSnan?
S(n?
2)n?
*
已知{an}的Sn满足lg(Sn?
n(n?
N),求an。
二、等差数列、等比数列的性质:
(1)在等差数列{an}中Sn?
10,S2n?
30,则S3n?
(2)在等比数列{an}中Sn?
另外,等差数列中还有以下性质须注意:
(1)等差数列{an}中,若an?
m,am?
n(m?
n),则am?
(2)等差数列{an}中,若Sn?
m,Sm?
n),则Sm?
(3)等差数列{an}中,若Sn?
Sm(m?
am?
Sm?
(4)若SP?
Sq,则n?
时,Sn最大。
(5)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,
则
ambm
S______T______
ambn
S______T______
(6)项数为偶数2n的等差数列{an},有S2n?
间的两项)
a2n)
n2
(an?
1)(an与an?
1为中
项数为奇数2n?
1的等差数列{an},有S2n?
1)an(an为中间项)
S奇?
S偶?
S奇S偶
等比数列中还有以下性质须注意:
(1)若{an}是等比数列,则{?
an}(?
0),{|an|}也是等比数列,公比分别
(2)若{an}是等比数列,则{三、判定方法:
(1)等差数列的判定方法:
1an
,{an}也是等比数列,公比分别;
①定义法:
d或an?
d(n?
2)(d为常数)?
{an}是等差数列②中项公式法:
2an?
{an}是等差数列
③通项公式法:
pn?
q(p,q为常数)?
{an}是等差数列④前n项和公式法:
An2?
Bn(A,B为常数)?
{an}是等差数列注意:
①②是用来证明{an}
(2)等比数列的判定方法:
1an
q或
anan?
2)(q是不为零的常数)?
{an}是等比数列
②中项公式法:
2(anan?
0)?
cq(c,q是不为零常数)?
④前n项和公式法:
kq?
k(k?
a1q?
是常数)?
①②是用来证明{an}四、数列的通项求法:
(1)观察法:
如:
(1)0.2,0.22,0.222,……
(2)21,203,2005,20007,……
(2)化归法:
通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an?
d及an?
qan(d,q为常数):
直接运用等差(比)数列。
②递推式为an?
f(n):
迭加法如:
已知{an}中a1?
12
,an?
14n?
,求an
③递推式为an?
f(n)an:
迭乘法如:
2,an?
1n
an,求an
④递推式为an?
q(p,q为常数):
构造法:
Ⅰ、由?
相减得(an?
p(an?
an),则
pa?
{an?
an}为等比数列。
Ⅱ、设(an?
t)?
t),得到pt?
t?
q,t?
为等比数列。
已知a1?
1,an?
5,求an⑤递推式为an?
qn(p,q为常数):
两边同时除去qn?
1得再用④法解决。
已知{an}中,a1?
56
qp?
,则{an?
1q
pq
anq
1q
,令bn?
,转化为bn?
bn?
,
1n?
(),求an32
⑥递推式为an?
qan(p,q为常数):
将an?
qan变形为an?
tan?
s(an?
tan),可得出?
s,t,于是{an?
tan}是公比为s的等比数列。
s?
st?
解出
1,a2?
S1,n?
(3)公式法:
运用an?
1,n?
23
13
①已知Sn?
5n?
1,求an;
②已知{an}中,Sn?
2an,求an;
③已知{an}中,a1?
五、数列的求和法:
2Sn
2Sn?
(n?
2),求an
(1)公式法:
①等差(比)数列前n项和公式:
②1?
③1?
(2)倒序相加(乘)法:
012n
①求和:
Cn?
2Cn?
3Cn?
(n?
1)Cn;
2222
n(n?
1)(2n?
6
④1?
[
3333
]
*篇三:
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法:
(1)观察与归纳法:
先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变:
分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系,初步归纳公式。
(2)公式法:
等差数列与等比数列。
S1,(n?
1)(3)利用Sn与an的关系求an:
S,(n?
2.等差数列的定义与性质
d(d为常数),通项:
m)d
等差中项:
y
前n项和Sna1?
na2n?
d1?
仍为等差数列,
Sn,S2n?
d
中的正、负分界项,
0即:
可得Sn达到最大值时的n值.?
0当a1?
可得Sn达到最小值时的n值.a?
.
(3){kan}也成等差数列;
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)a1?
am,am?
a2m,a2m?
a2m?
a3m?
仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;
3.等比数列的定义与性质
a1qn?
amqn?
m.an
等比中项:
前n项和:
anqa1(1?
qn)?
a1n(要注意!
)a1?
q?
(q?
q1?
S2n……仍为等比数列,公比为qn.
(3){|an|}、{kan}成等比数列;
{an}、{bn}成等比数列?
{anbn}成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
am,ak?
m?
1,?
成等比数列.
(6)数列?
仍为等比数列,
(7)p?
bp?
bq?
bm?
bn;
2m?
bm2?
bqSm?
qmSn?
qnSm.
(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
.(9)等差数列与等比数列的联系:
各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
n111?
ak·
aadaadaaaaaak?
1kk?
1an?
(差比数列)前n项和,可由Sn?
①x·
①—②?
1时,Sn②?
nn
x,x?
…Sn?
《高中数学数列知识点总结》
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