高等数学基础形成性考核册答案附题目重点Word文档下载推荐.docx
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A.yx1B.
C.yx'
2D.
六种基本初等函数
(C)
1,x0
1,
(1)
y
c(常值)
――常值函数
(2)
x,为常数
-幂函数
(3)
aa0,a1
――指数函数
(4)
logaxa0,a1
对数函数
(5)
sinx,ycosx,y
tanx,ycotx二角函数
arcsinx,1,1,
(6)
arccosx,1,1,
――反三角函数
arctanx,yarccotx
分段函数不是基本初等函数,故D选项不对对照比较选C
5.下列极限存计算不正确的是(D).
2
A.lim21
xx22
limln(1
x0
x)0
C.limsinx0
limxsin
10
x
分析:
A、已知lim丄
0n0
lim2xx
lim-
xX_2
lim—1—
x1Jx2
B、limln(1x)ln(10)0
初等函数在期定义域内是连续的
sinx1
limlim-sinx0
xxxx
x时,丄是无穷小量,sinx是有界函数,
无穷小量X有界函数仍是无穷小量
.1
1sin—1
Dlimxsin—limx,令t一0,x,则原式
xxx—x
故选D
Imo
.Ht
lnt
s
&
当x0时,变量(C)是无穷小量.
sinx
1
.1xsin
ln(x2)
分析;
limfx
xa
0,则称fx为x
a时的无穷小量
A00乎1,重要极限
B、阮,无穷大量
0,无穷小量xX有界函数sin丄仍为无穷小量
D1见1门(x2)=1n0+2In2
7.若函数f(x)在点xo满足(A),
则f(x)在点xo连续。
A.limf(x)f(x0)B.
f(x)在点xo的某个邻域内有定义
limf(x)limf(x)
xx0xx0
C.limf(x)f(x0)D.
连续的定义:
极限存在且等于此点的函数值,则在此点连续即
limfxfx^
连续的充分必要条件limfxfx0limfxlimfxfx0
Xxxx)xx0
故选A
(2)填空题
1•函数f(x)—9ln(1x)的定义域是—x|x3.
x3
求定义域一般遵循的原则
偶次根号下的量
分母的值不等于
对数符号下量(
真值)为正
(5)正切符号内的量不能取k-k0,1,2川
然后求满足上述条件的集合的交集,即为定义域
f(x)—9ln(1x)要求
x290x3或x3
x30得x3求父集丄(
仇一3r
\一1
1x0x—1
定义域为x|x3
2.已知I
函数f(X1)x
2x
则
f(x)x-X
法,令tx
1得x
t
则f(t)t
12t
t2t则fX
法二,f(x1)
x(x
1)
x11x1
因此f(t)t11
3.lim(1
丄)x
2x
重要极限lim1
1x
e,
等价式lim
1xxe
推广limfx则lim(11—)fxe
xaxa
limfx0则lim(1fx)fxe
11
1x12x37
lim
(1)xlim
(1)2e2
x2xx2x
4.若函数f(x)(1x)J
X0,在
x0处连续,
则ke
xk,
分段函数在分段点
X。
处连续
limfxf
xx0
x&
limfxlimxk
0kk
x0x0
因此ke
limfxlim1x
e
5.函数yx1,x0的间断点是x0
sinx,x0
间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性(利用连续的充分必要条件)
limx10
不等,
因此x
0为其间断点
limsinx0
若limf(x)
A,则当x
X°
时,f(x)
A称为
XX0时的无穷小量
XX。
lim(f(x)A)limf(x)limAAA0
xxoxx0xx
因此f(x)A为xx°
时的无穷小量
(3)计算题
1.设函数
f(x)
求:
f
(2),f(0),f
(1).
解:
f22,f00,f1e
2.求函数ylg2X^的定义域.
则定义域为x|x。
或x2
底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.
C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形,设高为h,即0E二h,下底C[>
2R直角三角形AOE中,利用勾股定理得
AE.OA2OE2•-R2h2
则上底=2AE2R2h2
故S-l2R2戸亓hR
4.求
lim沁
x0sin2x
sin3xlimx0sin2x
sin3x小3xlim2^—x0sin2x
0sin2x
sin3xlim3x-
x0sin2x
5.求
x2
lim
x1sin(x1)
x1lim
x1sin(x
lim(x
1)(x
sin(x1)
求
tan3xlim
x0x
00
sin3x
cos3x
sin3xlimx03x
7.求
lim丄三
x0sinx
lim丄亠
C1x21)(.1x21)
0(;
x21)sin
lim0
1)sinx
8.求lim(J)x.
xx3
lim—
x0(厂
八sinx
1)-
3
X-3
1-X-3
3e
9.求limx26x8
x4x5x4
limx26x8
x4x2lim
x4x4x1
lim口—
x4x141
10.设函数
(x2)2,
x,
x1,
讨论f(x)的连续性,并写出其连续区间.
分别对分段点
1,x1处讨论连续性
(1)
(2)
【高等数学基础】形考作业2答案:
第3章导数与微分
(1)单项选择题
1.设f(0)0且极限lim存在,则limf(x)(C)
x0X
A.f(0)
f(0)
C.f(x)
0cvx
2.设f(x)在x0
可导,
则lim
h0
f(X0
2h)
2h
f(Xo)(D)
A.2f(x。
)
f(X0)
C.2f(X。
3.设f(x)ex,
f(1
X)f
(1)
(A).
X
A.e
2e
C1C.e
1e
4
4.设f(x)x(x
2)(x
99),
f(0)(D).
A.99
99
C.99!
99!
5.下列结论中正确的是(C)
A.若f(x)在点X0有极限,则在点X0可导.
B.若f(x)在点X0连续,则在点X0可导.
C.若f(x)在点
可导,则在点X。
有极限.
D.若f(x)在点
有极限,则在点X。
连续.
(二)填空题
1.设函数f(x)
0,
2设f(ex)e2x
5ex,
则df(Inx)
、dx
3.曲线
x1在(1,2)处的切线斜率是
4•曲线
sinx在(n,1)处的切线方程是
^(1-)
224
5.设
x2x
则y2x2x(1
lnx)
设
xlnx,则y
计算题
1.求下列函数的导数
(X一x
3)ex
(x2
2J
x2e
cotx
xInx
cscx
x2xlnx
Inx
2xInx
ln2x
cosx2
Inxx2
x4sinxlnx
.2
sinxx
3x
4x
sinxj
2x)(Inx
x)cosx
・2sinx
3sinx,
4xcosxIn
3x(cosx
2x)(sinx
2x.
x)3In3
32x
x(sinx2In2)3(cosx2)
etanx
xe
etanx2
cosxx
2.求下列函数的导数
Jix2
ye
Jix2e
yIn
cosx3
.3
sinx小23xcosx
3x2tanx3
⑶yXXx
7
yx8
⑷y3xx
121
yx2)T(i、三)
32
⑸ycos2ex
yexsin(2ex)
⑹ycosex
2xeXsinex
⑺ysinnxcosnx
nsinxcosxcosnxnsinxsin(nx)
sinx2
5
2xln5cosx25sinx
.2—Sinxe
.2
sin2xe
⑽yx
(li)yxeee
(1)ycosxe2y
2y
ycosxysinx2eyysinx
y石
cosx2e
(2)ycosyInx
siny.yInxcosy.—xcosy
x(1sinyInx)
2xcosy.y
2siny
2yxx2y
x、
y(2xcosy7)
2yx
2xy2ysinyy2xy2cosyx?
⑷yxIny
y_
⑸Inxeyy2
-ey2yyx
x(2yey)
⑹y21exsiny
esiny
2yexcosy
⑺ey
yx2
eye3yy
e门2y73ye
5x2y
5xln5y2yIn2
5xIn5
12yIn2
4•求下列函数的微分
dy:
⑴ycotxcscx
dy
(—^
cosx
cosx、,
2)dxsinx
⑵
1.sinx
Inxcosx
2dx
sin
.1arcsin
F)2
(1x)(1
(1x)2
x)dx
■1x
两边对数得
Inyln(1x)ln(1x)
111
()
31x1x
131x(丄
3■1x1x
.2xsine
2sinexexexdxsin(2ex)exdx
tane
2x32
sece3xdx
3x2ex3
sec2xdx
5.求下列函数的二阶导数
(1)yxlnx
y1Inx
(2)yxsinx
yxcosxsinxyxsinx2cosx
⑶yarctanx
1x2
(1x)
⑷y3x
2ln33x
x22x22
y2x3xIn3y4x23xIn23
(4)证明题
设f(x)是可导的奇函数,试证f(x)是偶函数.
证:
因为f(x)是奇函数因此f(x)f(x)
两边导数得:
f(x)
(1)f(x)f(x)f(x)
因此f(x)是偶函数。
【高等数学基础】形考作业3答案:
第4章导数的应用
1.若函数f(x)满足条件(D),贝卩存在(a,b),使得f()f(b)f(a).
ba
A.在(a,b)内连续B.在(a,b)内可导
C.在(a,b)内连续且可导D.在[a,b]内连续,在(a,b)内可导
2.函数
x24x1的单调增加区间是(D).
(
2)
B.(1,1)
(2,
D.(2,)
3.函数
yx
4x5在区间(6,6)内满足(A).
先单调下降再单调上升
单调下降
先单调上升再单调下降
单调上升
4.
函数f(x)满足f(x)0的点,
一定是
f(x)的(C).
间断点B.
极值点
驻点D.
拐点
5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,xo(a,b),若f(x)满足(C),则
f(x)在X。
取到极小值.
内是(A)
填空题
2.若函数f(X)在点X0可导,且X0是f(X)的极值点,则f(X0)
3.函数yln(1x2)的单调减少区间是(,0).
4.函数f(x)e"
的单调增加区间是(0,)
5.若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0,则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a).
函数f(x)25x3x3的拐点是X=0
1求函数y(x1)(x5)2的单调区间和极值.
令y(x1)2(x5)22(x5)(x2)
f(0)3f(3)6f
(1)2
最大值f(3)6
最小值f
(1)2
(1,10),且x2是驻点,x1是拐点.
448b4b2xd
10abcd
012a4bc
06a2b
4•求曲线y22x上的点,使其到点A(2,0)的距离最短.
设p(x,y)是y22x上的点,d为p到A点的距离,则:
d.(x2)2y2
■(x2)22x
令d
y2
2(x2)2x1
时,圆柱体的体积最大?
设园柱体半径为R,高为h,则体积
2,(x2)22x(x2)22x2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短
7.欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
设底连长为x,高为h。
则:
62.5x2hh%5
侧面积为:
Sx24xhx2
令S2X2500X3125x5
答:
当底连长为5米,高为2.5米时用料最省
1.当x0时,证明不等式xln(1x).
!
^匕一1xln(1x)(当x0时)
2.当x0时,证明不等式exx1.
设f(x)ex(x1)
f(x)ex10(当x0时)当x0时f(x)单调上升且f(0)0
f(x)0,即ex(x1)证毕
【高等数学基础】形考作业4答案:
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
1.若f(x)的一个原函数是丄,则f(x)(D
df(x)f(x)C.df(x)dxf(x)D.—f(x)dxdx
2.下列等式成立的是(D)
所围成的平面区域的面积是
b
[g(x)f(x)]dx
a
(二)填空题
2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数,则F(x)与G(x)之间有关系式
F(x)G(x)c(常数).
3.dexdxex
5.
9cos(3x)
若f(x)ckcos3xc,贝卩f(x)
6.(sin5x】)dx
1.
2.
3.
6.
7.
8.
7.若无穷积分
丄dx收敛,
xp
三)计算题
cos-
Adx
Lx
xd.x2ex
-dxxlnx
P(lnx)
In(Inx)
xsin2xdx
」xcos2x
cos2xdx
1xcos2x
e3Inxdx
J3
Inx)d(3
Inx)
Inx)1
xe
dx
2xx
2xdx
xInxdx
xI
In
xdx
elnx」
pdx
丄Inx
fdx
四)证明题
1.证明:
若f(x)在[a,a]上可积并为奇函数
aaaa
令xtf(x)dxf(t)dtf(t)dtf(t)dt
2.证明:
若f(x)在[a,a]上可积并为偶函数,贝S:
f(x)dx2:
f(x)dx.
令xt,则
f(x)dx
af(t)dt
0f(t)dt
f(x)是偶函数
aa
f(x)dx
f(x)dxa
0f(x)dx20f(x)dx
3.证明:
af(x)dx
0[f(x)f(
x)]dx
证毕
aaa
=0f(x)dx0f(x)dx0[f(x)f(x)]dx证毕
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