线性代数课件--同济大学.ppt

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线性代数线性代数（第五版）（第五版）2015.10.14修改人：

修改人：

XFSU第一章行列式1二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组当时，方程组有唯一解用消元法得记则有于是二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。

行标列标（1,2）元素对角线法则:

主对角线副对角线例.解方程组解：

2.三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组为三阶行列式,记作称对角线法则：

例：

2全全排列与逆序数定义1：

把n个不同的元素排成的一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列。

把n个不同的元素排成一列,共有Pn个排列。

P3=321=6例如：

1,2,3的全排列123，231，312，132，213，321共有321=6种，即一般地，Pn=n（n-1）321=n!

P3=321=6标准次序：

标号由小到大的排列。

定义2：

在n个元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。

一个排列的逆序数的计算方法：

设p1p2pn是1，2，n的一个排列，用ti表示元素pi的逆序数，即排在pi前面并比t=t1+t2+tnpi大的元素有ti个，则排列的逆序数为例4：

求排列32514的逆序数。

解：

逆序数为奇数的排列称为奇排列。

逆序数为偶数的排列称为偶排列。

例如：

123t=0为偶排列，312t=2为偶排列。

321t=3为奇排列，3n阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：

1.每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。

2.n阶行列式是n！

项的代数和。

3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性所确定。

定义1：

n!

项的和称为n阶行列式（n1），记作例1：

写出四阶行列式中含有因子的项。

例2：

计算四阶行列式D=acfh+bdegadehbcfg重要结论：

（1）上三角形行列式

（2）下三角形行列式（3）对角行列式（4）副对角行列式行列式的等价定义5行列式的性质称DT为D的转置行列式。

设则D经过“行列互换”变为DT性质1：

行列式与它的转置行列式相等。

证明：

设则由行列式定义性质2：

互换行列式的两行（列），行列式变号。

互换s、t两行：

互换s、t两列：

“运算性质”推论：

若行列式有两行（列）相同，则行列式为0。

性质3：

用非零数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。

“运算性质”用k乘第i行：

用k乘第i列：

推论：

行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。

性质4：

若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。

性质5：

若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。

性质6：

行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。

用数k乘第t行加到第s行上：

用数k乘第t列加到第s列上：

“运算性质”利用行列式性质计算：

（化为三角形行列式）例1：

计算例2：

计算“行等和”行列式例10：

设证明：

0证明：

利用行的运算性质r把化成下三角形，再利用列的运算性质c把化成下三角形，对D的前k行作运算r，后n列作运算c,则有例6行列式按行（列）展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式.一、引言结论结论三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？

任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？

例如例如把把称为元素称为元素的的代数余子式代数余子式在在n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第行和第行和第列划后，留列划后，留下来的下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的余子式余子式，记作，记作.结论结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理引理一个一个n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第行所有元素除行所有元素除外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即例如例如即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析当当位于第位于第11行第行第11列时列时,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.思考题：

思考题：

能否以能否以代替上述两次行变换？

代替上述两次行变换？

思考题：

思考题：

能否以能否以代替上述两次行变换？

代替上述两次行变换？

答：

答：

不能不能.被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列二、行列式按行（列）展开法则定理定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.12例例7续）续）证明证明用数学归纳法用数学归纳法例例证明范德蒙德证明范德蒙德（Vandermonde）行列式行列式所以所以n=2时时

（1）式成立式成立.假设假设

（1）对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的倍：

倍：

按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子，就有，就有n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则定理定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例计算行列式计算行列式解解例例设设,的的元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作和和，求，求分析分析利用利用及及解解7Cramer法则Cramer法则：

如果线性方程组的系数行列式不等于零，即则线性方程组（11）有唯一解，其中证明：

再把n个方程依次相加，得当D0时,方程组

（1）也即（11）有唯一的解于是例1：

用Cramer法则解线性方程组。

解：

定理4：

定理4：

如果线性方程组如果线性方程组（1（11）1）的系数行列式的系数行列式DD00则则（1（11）1）一定有解一定有解,且解是唯一的。

且解是唯一的。

如果线性方程组如果线性方程组（1（11）1）无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

解，则它的系数行列式必为零。

Cramer法则也可以叙述为定理4的逆否命题是线性方程组非齐次与齐次线性方程组的概念:

不全为零，则称此方程若常数项组为非齐次线性方程组；若全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。

齐次线性方程组易知，是（13）的解，称为零解。

若有一组不全为零的数是（13）的解，称为非零解。

定理5：

定理5：

如果齐次线性方程组的系数行列式D0则齐次线性方程组没有非零解。

对于齐次线性方程组有如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。

例：

问l取何值时，齐次线性方程组有非零解？

解：

因齐次方程组有非零解，则D=0故l=0,2,3时齐次方程组可能有非零解。

例:

求平面上两两不重合的三条直线相交于一点的条件。

解：

首先,由三条直线相交于一点，故线性方程组有唯一解。

不妨设（x,y,1）是方程组

（1）的解,则它是方程组的非零解。

于是有其次,由三条直线相交于一点，故其中任意二条直线相交于一点,故非齐次线性方程组都有惟一解。

于是第二章第二章矩阵及其运算矩阵及其运算1矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地ABCD例例某航空公司在某航空公司在A、B、C、D四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:

一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：

就得到一个数表：

ABCDABCD这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中其中aij表示工厂向第表示工厂向第i家商店家商店发送第发送第j种货物的数量种货物的数量例例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：

用数表表示为：

这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

其中其中bi1表示第表示第i种货物的单价，种货物的单价，bi2表示第表示第i种货物的单件重量种货物的单件重量由由mn个数个数排成的排成的m行行n列的数表列的数表称为称为m行行n列矩阵列矩阵，简称，简称mn矩阵矩阵记作记作二、矩阵的定义二、矩阵的定义简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.这这mn个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元.n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式1.行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵，称为的矩阵，称为n阶方阵阶方阵可记作可记作.2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵（或或行向量行向量）.只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵（或或列向量列向量）.3.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作O.例如：

例如：

三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵4.形如形如的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵称为称为单位阵单位阵记作记作记作记作同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵.例如例如为同型矩阵为同型矩阵.2.两个矩阵两个矩阵与与为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵A与与B相等相等，记作，记作A=B.注意：

不同型的零矩阵是不相等的注意：

不同型的零矩阵是不相等的.例如例如表示一个从变量表示一个从变量到变量到变量线性变换，线性变换，其中其中为常数为常数.四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换n个变量个变量与与m个变量个变量之间的之间的关系式关系式系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例例线性变换线性变换称为称为恒等变换恒等变换.对应对应单位阵单位阵En对应对应投影变换投影变换例例2阶方阵阶方阵对应对应以原点为中心逆时