现代信号处理教程胡广书清华Word文档格式.docx
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1
jtuxu2xu2g,eddud
,,则上式变为
jtu
xu2xu2g,eddud
显然,如要求
t,Cxt,,必有g,g,Cx
3、时移:
P2:
若
stxtt0,则Cst,Cxtt0,
111
Q2:
g,不决定于t
因为g4、频移:
,处于,域,和t无关,所以它不影响分布的时移性质;
若s
P3:
txtejt,则Cst,Cxt,0
Q3:
g,与无关
性质P2与P3称为Cohen类时-频分布的“移不变”性质,它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件,即
12
Ct,dxtP4:
x
Q4:
g,01
将(4.1.1)式两边对积分,有
Cxt,d
jtu
xu2xu2g,eduddd
xu2xu2g,ejtududd xug,0ejtudud
2
欲使上式的积分等于
xt
,必有
欲使该式成立,必有
j(tu)
g(,0)ed2(tu)
01,也就是说,为保证Ct,具有WVD的边界性质,g,
g,在轴上始终为1。
6、频率边缘条件,即
P5:
Q5:
Cxt,dtX
g0,1
其证明请读者自己完成。
112
前已述及,为了有限的抑制AF中远离
,0, 0的互项,希望g,应为
,平面上的2-D低通函数。
但Q4和Q5要求g,在和轴上应为1。
这样,
如果AF中的互项正好落在轴或轴上,将得不到抑制。
7、瞬时频率与Cx
t,的关系,即
P6:
Ct,dt
Ct,d
i
Q6:
g,0Q4及
0
8、群延迟与Cx
P7:
g
tCt,dtCt,dt
Q7:
g,0 Q5及
我们已在3.2节证明了WVD和瞬时频率与群延迟的关系,此处的证明从略。
有关瞬时频率
定义的解释及瞬时频率的估计可参看文献[27,28]。
这是两篇详细讨论瞬时频率的论文。
9、时域支撑范围,即
P8:
Q8:
P9:
Q9:
ttc时,xt0,希望Cxt,0,对ttc
jt
g,ed02t
10、频域支撑范围,即
c时,X0,希望Cxt,0c
jg,ed02
现对P9和Q9作一简单的解释。
给定一个信号x
t,记其时-频分布为TFxt,。
假定xt在tt1和tt2的范围
113
内为零,若TFx
t,在tt1和tt2的范围内也为零,则称TFxt,具有弱有限时间
在1,2之外为零,若TFxt,在1,2也为零,
支撑性质。
同理,假定X则称TFx
t,具有弱有限频率支撑性质。
P8和P9指的是弱有限支撑。
t分段为零,TFxt,在xt为零的区间内也为零,则称TFxt,具有
t为零,在所对应的时间段内TFxt,
若信号x
强有限时间支撑性质。
强有限支撑的含义是:
只要x恒为零。
同理可定义强有限频率支撑。
由(4.3.7)式,Q8的要求是:
式中g
jt
g,edtgt,0,
对
2t
。
t,是时间域的核函数。
当该核函数在t,平面上在2t这一范围内为零
时,Cx
t,即具有弱有限时间支撑性质。
有关2t的由来见下一节的讨论。
Q10:
g,是,平面上的2-D低通函数。
10、P10:
减少交叉项干扰
减少交叉项干扰分布(ReducedInterferenceDistribution,RID)又称RID分布。
其核
函数有着其它的特殊性质,我们将在下一节进一步讨论。
4.5核函数对时-频分布中交叉项的抑制
我们在1.5节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。
其区别是在任意固定的时刻,该信号的瞬时频率i
t是单值的还是多值的。
一个多分量信号又可表为单分量的和,即:
xtxkt
k1n
式中xi
(4.5.1)
t, k1,2,,n都是单分量信号,因此
xt2xt2
114
xkt2xt2xit2xjt2(4.5.2)
k1
i1j1
nnn
相应的时-频分布
Ct,Ct,(4.5.3)
xk,xk
xi,xj
同样也由自项和互项所组成。
互项即是交叉项,它是对真正时-频分布的干扰,应设法将其去除或尽量减轻。
减轻Cxt,中交叉项的一个有效途径是通过xt的模糊函数来实现。
由4.2节的讨论,xt的广义模糊函数:
Mx,式中
ju
Mxk,xk,g,xku2xku2edu(4.5.5)
M
n
,Mx,x,
j
nn
(4.5.4)
Mxi,xj,g,xiu2xju2edu(4.5.6)
分别是AF的自项和互项。
我们在本章第二节的讨论中已指出,模糊函数的自项通过,平面的原点,互项远离,平面的原点,而AF中的互项又对应了时-频分布中的交叉项,这就为我们去除或抑制时-频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。
即令核函数g,取,平面上的2-D低通函数。
由上节的讨论可知,为保证Cxt,具有时间及频率边缘条件性质,核函数g,应满足Q4和Q5,即在和轴上应恒为1,这也是设计核函数时必须考虑的要求。
当然,除了Q0难于满足外,Q1~Q10应尽量满足。
现举例说明核函数g,对交叉项的效果。
Choi-Willarms于文献[37]提出了一个指数核,即g,e
22
(4.5.7)
115
其相应的T-F分布称为指数分布(ED),由表4.3.1,它属于Cohen类。
显然,g0,01,
g0,g,01,且当和同时不为零时g,1。
式中为常数。
越大,自
项的分辨率越高,越小,对交叉项的抑制越大。
因此,的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中,并视信号的特点而定。
若信号的幅度和频率变化得快,那应取较大的,反之取较小的。
的取值推荐在0.1~10之间。
当时,g,1,ED变成WVD,在这种情况下ED(即WVD)具有最好的分辨率,但交叉项也变得很大。
ED可以有效地抑制交叉项,但不能保证性质P8和P9。
ED对应的时域的核为
[13]
gt,g
,e
d
t4(4.5.8)相应的时-频分布是CWxt,
t2
exp2xu2xu2ejdud(4.5.9)2
44
例4.5.1令xt由三个时-频“原子”组成,x1t和x2t具有相同的归一化频率(0.4),但具有不同的时间位置(分别是32和96)。
令x3t和x2t具有相同的时间位置,但归一化频率为0.1。
xt的时域波形如图4.5.1a所示,其理想的时-频分布如图4.5.1b所示。
其WVD如图4.5.1c所示。
可以看到,图c中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。
图4.5.1d是xt的模糊函数。
由该图可以看出,AF的自项位于中心,在轴和轴上各有两个互项,在第二和第四象限也各有一个互项,因此,该信号的AF共有6个互项。
图4.5.1e是指数核g,exp
2的等高线图,它在原点最大,在轴和轴上恒为1。
改
变,可调节坐标轴两边两个等高线的距离。
越大,距离越大,反之距离越小。
g,的作用是抑制AF中的互项。
将图(d)和图(e)对应相乘,即g,Ax,,其结果示于图(f)。
显然,在第二和第四两个象限的互项已被去除,在轴和轴上的四个
互项在图中体现出来,但实际上也被抑制。
图4.5.1g是用ED求出的xt的时-频分布。
可以看出,这时的交叉项较之图4.5.1b的WVD,已大大减轻。
116
117
图4.5.1核函数g,对交叉项抑制的说明,该图由上及下分别为a~gCohen类分布的其它成员,所用g,对交叉项抑制的原理和上述过程大致相同。
4.6减少交叉项干扰的核的设计
除了我们在前面几节提到的Cohen类的各种时-频分布外,人们还希望能设计出其它更好的时-频分布。
为此,文献[76]给出了一个核设计的方法,现给以简单地介绍。
如果g,可以写成变量,的积的函数,即g,g
那么该核函数称为“积核”,在表4.3.1中,cos2,e核。
如果g,可以写成,各自函数的积,即g,g1g2()
那么g,称为可分离的核。
对这一类核,其计步骤如下:
j2
,sinca及ED核都是积
118
步骤1设计一个基本函数ht,使之满足下述条件:
(a)ht有单位面积,即htdt1;
(b)ht为偶对称,即htht;
(c)ht是时限的,即当t2时ht0。
(d)ht以t=0为中心向边际平滑减少,以保证ht含有较少的高频分量。
步骤2取ht的傅立叶变换,即Hhte
dt
步骤3用代替H()中的,得到积核函数
g,H(4.6.1)按照这种原则设计出的核g,,所对应的分布称为减少干扰分布,即RID。
RID主要强调如何抑制交叉项干扰,但同时也兼顾时-频分布的其它性质。
现考察一下这类核对表4.4.1的Q0~Q10的满足情况。
这类核对Q0无法保证满足,但对Q2,Q3是满足的。
这是因为由于(4.6.1)的g,中的和以乘积的形式出现,所以Q4g,同样和t,无关。
和Q5满足,因此条件(a)对应Q4和Q5。
由于由H得到的g,是实函数(ht偶对称),所以Q1满足,即条件(b)保证了Q1。
此外,若dHd存在,条件(b)也保证了Q6和Q7。
现在考察条件(c)。
现将(4.6.1)两边相对作傅立叶变换,即
g,e
dgt,
He
d
(4.6.2)
式中gt,即是(4.3.7)式的时域核。
按(4.6.2)式,H的傅立叶反变换对应的是
2ht。
按傅立叶变换的变量加权性质,有
119
Hed
2t2thh(4.6.3)
t
2时,(4.6.2)式恒为零,也即2t时
条件(c)要求t2时ht0,即是当
g,ed0。
这正是Q8,同理,条件(c)意味着Q9满足。
条件(d)的目的是用以减少交叉项干扰,即令g,是,平面的2-D低通函数,因此条件(d)满足Q10。
文献[74]考察了不同ht所对应的T-F分布形式,如果:
(1)若htt,那么g,1,对应的分布是WVD。
ht满足条件(a)、(b)和(c),但不满足(d),因此WVD不具备性质P10及相应的制约Q10
(2)若htt2t22,则g,cos2,对应Re[Rihaczek]分布,ht也只满足条件(a)~(c),不满足(d),所以该分布也和WVD一样,满足P1~P9,不满足P10及相应的制约Q10。
(3)若htt2,则g,e
j,此为复数核形式的Rihaczek分布,ht
满足条件(a)和(c),不满足条件(b)和(d),因此该分布只满足性质P2~P5和P8~P9。
(4)若ht1对t2,则g,g
2sin2
,对应Born-Jordn分布,
,所以该分布满足性质Pht满足条件(a)~(d)1~P10。
(5)若ht
2expt222,此ht对应Choi-Willams分布,ht满足
条件(a),(b)和(d),所以相应的T-F分布有性质P1~P7和P10。
由于(4)和(5)的ht对应的分布满足性质P10,所以它们属于减少干扰类(RID)分布。
现以Born-Jodan分布为例,说明这一设计方法的思路及所得到的核在四个域内的形状。
120
Born-Jodan(BJ)分布对应的ht1,对t2。
该ht满足上述(a)~(d)的四个条件。
由
Hhtejtdtsin22
sin2(4.6.4)2用代替,得BJ分布的核,即g,H
这是模糊域,的核函数。
其形状如图4.6.1(a)所示。
对应t,域,有
gt,g,ejtdHejtd
令,,则,利用傅立叶变换的定标性质,有
sin2jt12tedh2gt,
因为ht的存在区间是(2~2),所以上式中的取值范围是2t,考虑到ht是偶函数,有
2thtgt,(4.6.5)
02t
同理可得gt,在,域的表示形式,即
42
hG,(4.6.1)
02
gt,和G,的形状如图4.6.1(c)和(d)所示。
在各自的平面上它们的存在范围有着“蝴蝶结”似的形状。
由于(4.6.5)和(4.6.6)式的对称性。
二者的形状几乎相同。
由上面的导出过程可知,给定的ht只要满足条件(c)的时限性质,其在t,和121
,域的核的自变量的取值范围必然要受到(4.6.5)和(4.6.6)式的制约。
这也就是表
4.4.1中的制约Q8和Q9。
最后,g,在t,域的表示形式应是g,的2-D傅立叶变换,即
Gt,g,ejtdd
21
htejd(4.6.7)
其形状如图4.6.1(b)所示。
由于BJ分布使用的ht是在(2~12)内的矩形窗,所以g,是,平面的2-Dsinc函数,但在轴和轴上始终为1,因此可有效地抑制除、轴以外的交叉项。
对于其它属于RID的分布,其核函数在四个域内有着类似的形状。
122
图4.6.1BJ分布核函数在四个域内的形状
(a),域,(b)t,域,(c)t,域,(d),域
上面的讨论揭示了不同形式时-频分布的内在联系,给我们指出了一个设计较好的时-频分布的总的原则。
有关核的分析与设计还可参考文献[121],有关时-频分布应用的例子请参考文献[2]。
前已述及,对性质P0,即时-频分布的恒正性,除谱图以外,目前对能否构造出既具有时频分布的意义(如性质P,同时又是恒正的分布,目前尚不知道,这一问题仍有待1~P10)
研究。
123
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