数学建模典型例题Word文档下载推荐.docx
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W(t)=5429/69-(5429-69W0)/5429e(-69t/41686)
当t趋于无穷时,w=81;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。
5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本aij(购入价减去折旧加上运营和维修成本)。
以千元计数aij的由下面的表给出:
aij
年2
年3
年4
年5
年6
年1
4
6
9
12
20
5
7
11
16
8
13
10
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、问题分析
本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题。
因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略。
3、条件假设
除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用;
4、模型建立
二
5
117三6
4
16
6138四
一9
12811
20
五
10
六
运用Dijikstra算法
123456
04691220
691220
91220
1220
20
可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现
即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮的最优策略
1、问题重述:
红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。
其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1。
那么双方各采取什么策略?
2、问题分析
该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题。
1、对策参与者为两方(红蓝两方)
2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。
蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮(记为1-1-1-1)、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个(记为2-1-1-0)、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有(记为2-2-0-0)。
显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。
三、问题假设:
(1)红蓝双方均不知道对方的策略。
(2)蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取。
(3)红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
(4)假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策。
行动及其产生的结果
红方
蓝方
2架一起
两架分开
1-1-1-1
1.0
0.00
2-1-1
0.75
0.50
2-2-0-0
0.83
由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为B
A=10
0.750.50
0.500.83
B=00.250.5
10.50.17
没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动i的概率为xi(i=1,2,3),红方采取行动j的概率为yj(j=1,2),则蓝方与红方策略集分别为:
S1={x=(x1,x2,x3)0<
xi<
1,∑xi=1},
S2={y=(y1,y2)0<
yi<
1,∑yi=1}。
5、模型求解
下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*
Maxv1
0*x1+0.25*x2+0.5*x3>
v1
x1+0.5*x2+0.17*x3>
x1+x2+x3=1
xi<
=1
下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*
Minv2
y2<
v2
0.25*y1+0.5*y2<
0.5*y1+0.17*y2<
y1+y2=1
yi<
四、雷达计量保障人员分配
开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。
所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。
现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情况如表所示:
区域
部署雷达
计量保障任务划分
计量保障任务数量
区域1(雷达一营)
区域2(雷达二营)
区域3(雷达三营)
A、A、B、C、D、E
C、F、G、H、I
D、F、J、K、L
A、B1、B2、C、D、E、
C、F、G、H1、H2、I
D、F、J、K、L1、L2
说明:
1.保障任务分区域进行保障;
2.B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务;
3.同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务;
4.不同区域的相同雷达看作不同保障任务;
5.每个保障人员只能保障一个任务;
6.每个保障任务只由一个保障人员完成。
雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。
各雷达的重要性如下表所示(表中下标表示雷达所在保障区域):
雷达
A1
B1
C1
D1
E1
C2
F2
G2
H2
I2
D3
F3
J3
K3
L3
重要性
0.8
0.9
0.7
0.6
该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示:
人员
A
B2
C
D
E
F
G
H1
I
J
K
L1
L2
Mw1
0.3
0.4
Mw2
0.5
Mw3
Mw4
0.2
Mw5
Mw6
0.1
Mw7
Mw8
Mw9
Mw10
问题:
如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益?
一、问题分析:
该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益。
根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵。
2、模型假设
2.B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务;
三、模型建立
根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵:
根据题目,设保障任务的重要性向量
,bi表示第i个任务的重要性。
列出保障任务重要性向量:
我们用二者的乘积表示效益矩阵:
。
我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务,如果是,其值为1,否则为0。
利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程:
m<
=n
model:
sets:
M/1..10/;
N/1..18/:
a;
allowed(M,N):
b,r,x;
endsets
data:
a=0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.60.70.7;
b=0.80.300.70.40.80.70.60.70.90.30.40.40.6000.70.8
0.90.500.5000.50.50.90.50.50.500.50.50.50.50.5
00.9000000.40.60.40.70.400.40.40.30.40.5
0.4000.50.500.50.200.20.60.80.50.20.20.70.20.2
0.70.80.70.60.70.30.60.300.30.50.70.70.30.30.30.30.7
0.500.80.60.80.70.60.800.80.80.60.80.80.80.80.10.2
0.50.90.4000.200.30.40.30.3000.30.60.30.30.5
0.80.20.40.600.10.60.20.20.20.1000.20.20.10.20.2
0.40.70.50.50.30.60.50.70.80.70.60.40.30.70.30.70.60.2
0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700;
enddata
max=@sum(allowed(i,j):
x(i,j)*r(i,j));
@for(M(i):
@for(N(j):
r(i,j)=a(j)*b(i,j)));
@sum(N(j):
x(i,j))=1);
@sum(M(i):
x(i,j))<
=1);
@bin(x(i,j))));
End
解得最大效益为6.63,
分配方案为:
第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A型,5、7号承担B1,B2型;
第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型;
第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型。
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