立体几何空间直线解答题Word下载.docx
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内的射影长分别为12cm和2cm.若AC=6cm,BD=8cm,AB,CD与平面
所成的角的差是45o.求异面直线AC和BD间的距离和它们所成角的度数.翰林汇
6、已知:
矩形ABCD中,AB=45,直线EF//BC,交AB于E,交CD于F,且EB=28,将矩形AEFD沿直线EF折起,使AD和平面EBCF间的距离为15,求此时AD与BC间的距离.翰林汇
7、a、b是异面直线,它们所成角是60°
.AB是a、b的公垂线,A
a,B
b,AB=1,另有C、D两点,C
a,D
b,且DB=AC=10,求C、D两点间距离.
8、平行四边形ABCD的内角C=60°
CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;
求AC、BD所成的角.翰林汇
9、在边长a为的正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图所示),
(1)异面直线AB与CC1间的距离为;
(2)异面直线A1D1与BC1所成角的度数为;
(3)若E,F分别为AA1,AB的中点,则异面直线EF与BC1所成角的大小
为;
(4)把两两都为异面直线的三条直线称为一组,在正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在直线中,满足条件的直线有组.
10、已知空间四边形ABCD.
(1)求证:
对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB=BC=CD=DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇
11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)A1B与B1D1所成角;
(2)AC与BD1所成角.翰林汇
12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求AC1与B1D1所成的角。
13、已知AB,BC,CD为不在同一平面内的三条线段,AB,BC,CD的中点,P,Q,R满足PQ=2,
,PR=3,求AC与BD所成的角。
14、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=BC=3,A1A=4,求A1B和B1C所成角的余弦值。
15、若E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,求A1C与DE所成角的余弦值。
16、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=a,BC=BB1=b,求AC1与B1C所成的角。
17、已知E,F,G,H顺次是空间四边形ABCD各边的中点。
EFGH为平行四边形;
(2)如果AC=BD,那么EFGH是什么四边形?
(3)如果AC⊥BD,那么EFGH是什么四边形?
(4)如果AC=BD,且AC⊥BD,那么EFGH是什么四边形?
(5)若对角线BD=2,AC=4,求EG2+HF2的值。
18、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E为棱CD的中点,求AE和B1C所成角的余弦值。
19、在空间四边形ABCD中,已知AD=1,
,且AD⊥BC,对角线
,
,求AC和BD所成的角。
20、在正四面体ABCD中,若E,F分别为棱AB,CD的中点,求AF与CE所成的角的正切值。
21、完成下列证明,已知直线a、b、c不共面,它们相交于点P,Aa,Da,Bb,Ec求证:
BD和AE是异面直线。
证明:
假设__共面于,则点A、E、B、D都在平面__内。
Aa,Da,∴__γ.Pa,∴P__.Pb,Bb,Pc,Ec
∴__,__,这与____矛盾。
∴BD、AE__________。
22、在长方体ABCD-A′B′C′D′中,已知AB=a,BC=b,AA′=c(a>b),求异面直线D′B与AC所成角的余弦值。
23、已知a、b为异面直线,A、B
a.AA1⊥b,BB1⊥b,A1、B1为垂足,若AB=2,A1B1=1,求异面直线a、b所成的角.翰林汇
24、已知异面直线a,b互相垂直,它们的公垂线段PQ=h,一条长为定值m(m>h)的线段AB两端分别在a,b上滑动,求AB中点M的轨迹。
25、已知两个全等的正方形ABCD和CDEF所在平面互相垂直。
(1)求BD与EC所成的角;
(2)若P,Q分别为两个正方形的中心,求BQ与EP所成角的余弦值。
26、已知ABCD为矩形,E为半圆CED上一点,且平面ABCD⊥平面CDE.
DE是AD与BE的公垂线;
(2)若AD=DE=
,求AD和BE所成角的大小。
27、完成下列证明:
已知a∥b∥c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C,求证:
a、b、c、d共面。
∵a//b,∴___确定一个平面,∵Aa,Bb.
∴A__,B__,又∵Ad,Bd,∴___.同理d(b、c确定的平面).
∵b、d___,且b、d__,bd=B,∴__与__重合,∴____共面。
说明:
立几中证n条直线共面,一般可根据条件先确定一个平面(根据公理三及三推论),然后再证其它直线也在这个平面内;
也可先确定n个平面,再证这些平面重合。
28、在底半径为r的圆柱中,O、O′分别为上下底面圆的圆心,OM和O′N′分别为上下底面圆的两条半径,若异面直线OM和O′N′的成角为60o.求:
异面直线MN′和OO′的距离。
空间直线解答题(参考答案)
1、arccos
2、
(1)60o;
(2)
.翰林汇
3、提示:
在面ABCD中作BP∥CE交DC的延长线于P,连D1P,在
BD1P中用余弦定理求得D1BP=arccos
4、如图,H是垂心,PH是垂线,AH⊥BC,由三垂线定理得AP⊥BC,又AP⊥PB,故AP⊥平面PBC,从而AP⊥PC,△APC是直角三角形,同理△BPC也是直角三角形.由分析过程知PA⊥BC与否,与∠APB的大小无关,即PA⊥BC成立
5、90o,4或6.翰林汇
6、25或39翰林汇
7、提示:
利用异面直线上两点间距离公式分类讨论:
当∠DBE=60°
时,CD=
.
当∠DBE=120°
8、如图,
折起前,∠A=∠C=60°
AD=BC=a,AB=DC=2a.
由余弦定理得BD2=a2+4a2-a·
2a=3a2,∴BD=
∵AD2+BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形.
即∠ADB=90°
.同理∠DBC=90°
.折起后∠ADB=∠CBD=90°
如图,
过A作AE
BD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.
∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.
∴∠CBE=90°
EC2=2a2.∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.
∵AE⊥EC,AC2=AE2+EC2=5a2,
由AE‖BD得∠CAE即为AC与BD所成的角.
在Rt△AEC中,cos∠CAE=
于是AC与BD所成角为arccos
9、
(1)a
(2)45o(3)60o(4)8翰林汇
10、
(1)∵ABCD是空间四边形,
∴A点不在平面BCD上,而C
平面BCD,∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,又∵BD
平面BCD,且C
BD.∴AC与BD是异面直线.
(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=
AC.同理HG//AC,且HG=
AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
11、
解
(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1中点E,连EO,EA,EC.
∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.
12、90°
13、90°
14、
15、
16、90°
17、
(2)菱形;
(3)矩形;
(4)正方形;
(5)10翰林汇
18、
19、90°
20、
21、假设BD、AE共面于,则点A、E、B、D都在平面内。
∵Aa,Da,∴a.∵Pa,P.∵Pb,Bb,Pc,Ec.∴b,c,这与a、b、c不共面矛盾。
∴BD、AE是异面直线。
22、
解:
在长方体的一旁,补上一个全等的长方体,则BE≠AC,∠D′BE(或其补角)即D′B和CD所的角。
∵
∴
=
∴D′B与AC所成角的余弦值为
23、
解(如图)
过A作直线b′‖b,在b′上取一点C,使AC=A1B1,则AA1B1C为平行四边形,∵A1B1⊥AA1,∴AA1B1C为矩形,∴AC⊥B1C,又∵AC⊥A1B1,A1B1⊥BB1,∴AC⊥BB1,∴AC⊥平面BB1C,∴AC⊥BC.∴cos∠CAB=
∴∠CAB=60°
即a、b成60°
角.翰林汇
24、M点的轨迹是以PQ为中点T为圆心、半径为
,并位于PQ的垂直平分面上的圆。
25、
(1)60°
;
26、
(1)∵BC⊥面DEC,CE是BE在面DEC上的射影,而CE⊥DE,
∴BE⊥DE.又AD⊥面DEC,∴AD⊥DE,
故DE是AD与BE的公垂线;
(2)60°
27、
∵ab,∴a、b确定一个平面,∵Aa,Bb.∴A,B.
又∵Ad,Bd,∴d.同理d(b、c确定的平面).
∵b、d,且b、d,b∩d=B,∴与重合,∴a、b、c、d共面。
28、d=
r翰林汇
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