高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案Word文件下载.docx
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设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么①____叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
②____叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
③________叫做α的正切,记作tanα,即tanα=yx(x≠0).
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(2)三角函数线
下图中有向线段MP,OM,AT分别表示__________,__________________和____________.
自我检测
1.“α=π6”是“cos2α=12”的
(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2011•济宁模拟)点P(tan2009°
,cos2009°
)位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(2010•山东青岛高三教学质量检测)已知sinα<
0且tanα>
0,则角α是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
4.已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3,cos2π3,则角α的最小正值为
( )
A.5π6
B.2π3
C.5π3
D.11π6
探究点一 角的概念
例1
(1)如果角α是第三象限角,那么-α,π-α,π+α角的终边落在第几象限;
(2)写出终边落在直线y=3x上的角的集合;
(3)若θ=168°
+k•360°
(k∈Z),求在[0°
,360°
)内终边与θ3角的终边相同的角.
变式迁移1 若α是第二象限的角,试分别确定2α,α2的终边所在位置.
探究点二 弧长与扇形面积
例2 (2011•金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α,0<
α<
2π,其所在圆的半径是R.
(1)若α=60°
,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>
0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
变式迁移2
(1)已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形中心角的弧度数;
(2)已知扇形的周长为40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?
最大面积是多少?
探究点三 三角函数的定义
例3 已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.
变式迁移3 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.
1.角的度量由原来的角度制改换为弧度制,要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断,终边相同的角的表示,弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础.
2.三角函数都是以角为自变量(用弧度表示),以比值为函数值的函数,是从实数集到实数集的映射,注意两种定义法,即坐标法和单位圆法.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011•宣城模拟)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q,则Q的坐标为
A.(-12,32)
B.(-32,-12)
C.(-12,-32)
D.(-32,12)
2.若0<
x<
π,则使sinx>
12和cosx<
12同时成立的x的取值范围是
A.π3<
π2
B.π3<
56π
C.π6<
56π
D.π3<
23π
3.已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
4.若1弧度的圆心角所对弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于
A.sin12
B.π6
C.1sin12
D.2sin12
5.已知θ∈-π2,π2且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则关于tanθ的值,以下四个答案中,可能正确的是
A.-3
B.3或13
C.-13
D.-3或-13
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,且α∈[0,2π],则α的取值范围是________________.
7.(2011•龙岩模拟)已知点Psin3π4,cos3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
8.阅读下列命题:
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sinα=255;
②同时满足sinα=12,cosα=32的角有且只有一个;
③设tanα=12且π<
3π2,则sinα=-55;
④设cos(sinθ)•tan(cosθ)>
0(θ为象限角),则θ在第一象限.其中正确命题为________.(将正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°
,半径长为6,
(1)求AB的弧长;
(2)求弓形OAB的面积.
10.(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sinα≥32;
(2)cosα≤-12.
11.(14分)(2011•舟山月考)已知角α终边经过点P(x,-2)(x≠0),且cosα=36x.求sinα+1tanα的值.
答案
自主梳理
1.始边 顶点 终边 逆 顺 零
(1)第几象限
(2){α|α=kπ,k∈Z} α|α=kπ+π2,k∈Z α|α=kπ2,k∈Z (3){β|β=α+k•360°
,k∈Z} {β|β=α+2kπ,k∈Z} (4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2π π π180 180π°
(6)|α|•r 弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 12lr 12|α|r2 2.①y ②x ③yx
(2)α的正弦线 α的余弦线 α的正切线
1.A 2.D 3.C 4.D
课堂活动区
例1 解题导引
(1)一般地,角α与-α终边关于x轴对称;
角α与π-α终边关于y轴对称;
角α与π+α终边关于原点对称.
(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍,然后判断角α的象限.
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合参数k赋值来求得所需角.
解
(1)π+2kπ<
3π2+2kπ(k∈Z),
∴-3π2-2kπ<
-α<
-π-2kπ(k∈Z),
即π2+2kπ<
π+2kπ(k∈Z).①
∴-α角终边在第二象限.
又由①各边都加上π,得3π2+2kπ<
π-α<
2π+2kπ(k∈Z).
∴π-α是第四象限角.
同理可知,π+α是第一象限角.
(2)在(0,π)内终边在直线y=3x上的角是π3,
∴终边在直线y=3x上的角的集合为
α|α=π3+kπ,k∈Z.
(3)∵θ=168°
(k∈Z),
∴θ3=56°
+k•120°
(k∈Z).
∵0°
≤56°
<
,
∴k=0,1,2时,θ3∈[0°
).
故在[0°
)内终边与θ3角的终边相同的角是56°
,176°
,296°
变式迁移1 解 ∵α是第二象限的角,
∴k•360°
+90°
k•360°
+180°
(1)∵2k•360°
2α<
2k•360°
+360°
∴2α的终边在第三或第四象限,或角的终边在y轴的非正半轴上.
(2)∵k•180°
+45°
α2<
k•180°
当k=2n(n∈Z)时,
n•360°
;
当k=2n+1(n∈Z)时,
+225°
+270°
∴α2是第一或第三象限的角.
∴α2的终边在第一或第三象限.
例2 解题导引 本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式,并与最值问题联系在一起.确定一个扇形需要两个基本条件,因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个,然后再进行求解.
解
(1)设扇形的弧长为l,该弧所在弓形的面积为S,如图所示,
当α=60°
=π3,
R=10cm时,
可知l=αR=10π3cm.
而S=S扇-S△OAB=12lR-12R2sinπ3
=12×
10π3×
10-12×
100×
32
=50π3-253cm2.
(2)已知2R+l=C,即2R+αR=C,
S扇=12αR2=12•αR•R=14•αR•2R
≤14•αR+2R22=14•C22=C216.
当且仅当αR=2R,即α=2时,等号成立,即当α为2弧度时,该扇形有最大面积116C2.
变式迁移2 解 设扇形半径为R,圆心角为θ,所对的弧长为l.
(1)依题意,得12θR2=4,θR+2R=10,
∴2θ2-17θ+8=0.∴θ=8或12.
∵8>
2π,舍去,∴θ=12.
(2)扇形的周长为40,即θR+2R=40,
S=12lR=12θR2=14θR•2R≤14θR+2R22=100.
当且仅当θR=2R,即R=10,θ=2时扇形面积取得最大值,最大值为100.
例3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关,当终边确定时三角函数值就相应确定了.但若终边落在某条直线上时,这时终边实际上有两个,因此对应的函数值有两组,要分别求解.
解 ∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),
则x=4t,y=-3t,
r=x2+y2=4t2+-3t2=5|t|,
当t>
0时,r=5t,
sinα=yr=-3t5t=-35,
cosα=xr=4t5t=45,
tanα=yx=-3t4t=-34;
当t<
0时,r=-5t,
sinα=yr=-3t-5t=35,
cosα=xr=4t-5t=-45,
tanα=yx=-3t4t=-34.
综上可知,t>
0时,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34;
t<
0时,sinα=35,cosα=-45,tanα=-34.
变式迁移3 解 r=-4a2+3a2=5|a|.
若a>
0,则r=5a,α角在第二象限,
sinα=yr=3a5a=35,
cosα=xr=-4a5a=-45,
tanα=yx=3a-4a=-34.
若a<
0,则r=-5a,α角在第四象限,
sinα=yr=3a-5a=-35,cosα=xr=-4a-5a=45,
课后练习区
1.A 2.B 3.D 4.C 5.C
6.π4,π2∪π,5π4
解析 由已知得sinα>
cosα,tanα>
0,
∴π4+2kπ<
π2+2kπ或π+2kπ<
5π4+2kπ,k∈Z.
∵0≤α≤2π,∴当k=0时,π4<
π2或π<
5π4.
7.74π
解析 由三角函数的定义,tanθ=yx=cos3π4sin3π4=-1.
又∵sin3π4>
0,cos3π4<
0,∴P在第四象限,∴θ=7π4.
8.③
解析 ①中,当α在第三象限时,
sinα=-255,故①错.
②中,同时满足sinα=12,cosα=32的角为α=2kπ+π6(k∈Z),不只有一个,故②错.③正确.④θ可能在第一象限或第四象限,故④错.综上选③.
9.解
(1)∵α=120°
=2π3,r=6,
∴AB的弧长为l=αr=2π3×
6=4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB=12lr=12×
4π×
6=12π,……………………………………………………(7分)
S△ABO=12r2•sin2π3=12×
62×
=93,……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12π-93.………………………………………………(12分)
10.解
(1)
作直线y=32交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域即为角α的集合为α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3,k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
作直线x=-12交单位圆于C、D两点,连结OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为
α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3,k∈Z.……………………………………………………(12分)
11.解 ∵P(x,-2)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=x2+2.…………………………………………………………(2分)
又cosα=36x,
∴cosα=xx2+2=36x.∵x≠0,∴x=±
10,
∴r=23.…………………………………………………………………………………(6分)
当x=10时,P点坐标为(10,-2),
由三角函数的定义,
有sinα=-66,1tanα=-5,
∴sinα+1tanα=-66-5=-65+66;
……………………………………………(10分)
当x=-10时,
同样可求得sinα+1tanα=65-66.………………………………………………(14分)
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- 高考 数学 理科 一轮 复习 任意 三角函数
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