安徽工业大学信号与系统期末复习材料精docWord下载.docx
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对于给定的任意有界序列(nf,使上式收敛的所有z值的集合称为z变化的收敛域。
根据
级数理论,上式收敛的充分必要条件F(z绝对可和,即∞<
∑∞
=-0
|(|nn
z
nf。
14.信号的频谱包括:
①幅度谱②相位谱15.三角形式的傅里叶级数表示为:
=++
=1
110]sin(cos([(nnn
tnbtna
atfωω
当为奇函数时,其傅里叶级数展开式中只有sinΩnt分量,而无直流分量和cos分量。
16.离散线性时不变系统的单位序列响应是(nδ。
17.看到这张图,直流分量就是4!
18.周期信号的频谱具有的特点:
①频谱图由频率离散的谱线组成,每根谱线代表一个谐波分量。
这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。
②频谱图中的谱线只能在基波频率1ω的整数倍频率上出现。
③频谱图中各谱线的高度,一般而言随谐波次数的增高而逐渐减小。
当谐波次数无限增高时,谐波分量的振幅趋于无穷小。
19.信号频谱的知识点:
①非周期信号的频谱为连续谱。
②若信号在时域持续时间有限,则其频域在频域延续到无限。
20.根据波形,写出函数表达式(tf(用(tε表示:
t
-3-
21.(tδ为冲激函数①定义:
⎩⎨⎧≠=∞=
0(0
0((tttδ
②特性:
1(=⎰
∞
-dttδ
③与阶跃函数的关系:
dt
tdt
((εδ=④采样(筛选性。
若函数(tf在t=0连续,由于(tδ只在t=0存在,故有:
(0(((tfttfδδ=若(tf在0tt=连续,则有((((000tttftttf-=-δδ
上述说明,(tδ函数可以把信号(tf在某时刻的值采样(筛选出来。
⑤重要积分公式:
0(((fdtttf=⎰
∞-δ(((00tfdttttf=-⎰
-δ
例题:
计算下列各式:
①1(-ttδ②dttt⎰
--1(δ
③
dttt⎰
-
0(3
cos(δπ
ω④dttet⎰+
--003(δ
二、卷积1.定义:
⎰
--=τττdtffty(((21
2.代数性质:
①交换律:
(((*(1221tftftftf=
②结合律:
(*](([](*([*(321321tftftftftftf=③分配律:
(*((*((*](([3231321tftftftftftftf+=+
-4-
2.微分和积分特性
①微分特性:
(*((*(2121tftftftf'
='
②积分特性:
(*((*(12
12
1(1
tftftftf
(--=
③微积分特性:
(*((*((*(2
1(2
121tftftftftftf'
=--
*任意信号与(tδ卷积又是(tf即((*(tfttf=δ由微分特性则:
((*(tfttf'
δ
3.延时特性:
((((*((2121222111ttttttyttttfttttf----=----εεε4.重要卷积公式:
①((*(tfttf=δ②((*(ttttεεε=
③(21(*(2
tttttεεε=④(1(1(*(tea
tteat
atεεε---=
⑤(((1
(*(211
2212
1aateeaatete
tatatat
a≠--=
----εεε
求下列卷积
①5(*3(-+ttεε②2*(tδ③(*(tttet
δε'
三、傅里叶变换
1.周期信号的三角级数表示
=++=110cos((nnntnAatfϕω【2
2nnnbaA+=arct(n
nnab-=ϕ】其中:
=
T
dttfT
a0
0(1
;
⎰=
TndttntfTa01cos((2ω;
⎰=T
ndttntfT
b01sin((2ω
-5-
2.周期信号的指数级数表示
-=
tjnndtetfT
1(1Fω
3.非周期信号的傅里叶变换
⎰∞
--=dtetftjωω(F(
反变换:
ωωπ
ωdeFttj(21
f(
4.常用非周期信号的频谱①门函数
2(
2|(|02
|(|1(ωτττττSatttG↔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>
②冲激信号(tδ1(↔tδ③直流信号(2,(1(ωπδ↔∞-∞=tf
④指数信号0,0((>
=-taetfat
ω
εjateat+↔
-1
(
⑤单位阶跃信号⎩
⎨⎧<
=0(0
0(1(tttε
ωπδεjt1
((+
↔5.傅里叶变换的性质与应用①线性性质
②信号的延时与相位移动
③脉冲展缩与频带的变化
(||1(a
Faatfω↔
表明:
信号时域波形的压缩,对应其频谱图形的扩展;
时域波形的扩展对应其频域图形的压
((((22112211ωωFaFatfatfa+↔+0e((0tjFttfωω±
↔±
缩,且两域内展缩的倍数是一致的。
④信号的调制与频谱搬移(2
1(21cos((000ωωωωω++-↔FFttf⑤周期信号的频谱函数
](([cos(000ωωδωωδπω-++↔t
](([sin(000ωωδωωδπω--+↔jt
-∞=-=nnnFF(2(1ωωδπ
ω⑥时域微分特性
(((ωωFjtfdt
dnnn
↔
⑦时域积分特性
(1(0((111ωω
ωδπττFjFdft
+↔⎰∞-
6.卷积定理及其应用
若((11ωFtf↔;
((22ωFtf↔
则(((*(2121ωωFFtftf↔
例题1:
试利用卷积定理求下列信号的频谱函数
①(*cos((0ttAtfεω=
②(*sin((0ttAtfεω=
(e(00ωωω-↔Ftftj
例题2:
若已知((ωFtf↔;
求3(tf,3(+tf。
例题3:
如图所示已知tjetf2(-=,ttx20cos(=,求(,(,(FωωωYX
例题4:
如图所示周期锯齿波信号f(t,试求三角形式的傅里叶级数。
例题5:
设信号4cos((1ttfπ=,⎩⎨
⎧>
1|(|01|(|1(2tttf;
试求((21tftf的频谱函数。
例题6:
求0(
(sin((0>
=-attetfatεω的频谱函数
例题7:
已知||2(tetf-=,用傅里叶性质,求(tf一阶微分以及(tf的积分。
四、拉普拉斯变换
1.单边拉普拉斯的定义:
F(s=
⎰∞--0(dtetfst2.常用拉普拉斯变换
①aseat-↔1;
2
(1asteat-↔②1(↔tδ;
st↔'
(δ
③st1(↔ε⇒s11↔⇒s
AA↔④22sin(ω
ω+↔st⑤22cos(ω
ω+↔sst⑥21(stt↔ε⇒322(s
tt↔ε⑦
(1assaeat+↔--⑧22(sin(ωω
ω++↔-asteat
⑨2
2(cos(ωω+++↔-asasteat
3.拉普拉斯变换的基本性质
①线性
②时移性
③比例性(尺度变换
④幅频移特性
⑤时域微分特性
⑥时域积分特性
4.求拉普拉斯反变换
①D(s=0的根(不含重根n
SSnnsFSS=-=((K②D(s=0仅含重根
1](([!
1(1K11
1SSmnnnnsFSSds
dn=---⨯-=(n=1,2,3„„m5.微分方程的拉普拉斯变换解法
例1((3(3(=+'
+'
'
tytytyty则
S
sYysSYySysYSyySySsYS1(0(((30(0(((30(0(0((223=
+-+'
--+'
-'
--6.电路S域模型
①电阻R上的时域电压-电流关系为一代数方程((tRitu=
((((2211221
1sFasFatfatfa+↔+0e(((00stsFttttf-↔--ε⎪⎭
⎫⎝⎛↔asFaatf1((e(00ssFtfts↔±
0((d(d--↔fssFttf0(0(0((d(d1(21--------'
--↔nnnnnnffsfssFsttfs
sFft(d(0↔⎰
-ττ0(0((d(d222--'
--↔fsfsFst
tf
两边取拉氏变换,就得到复频域(S域中的电压-电流象函数关系为((UsRIs=
②电容C上的时域电压-电流关系为
tduCtic((=两边取拉氏变换,利用微分性质得0≥t时的代数关系
0(((I--=cCussCUcs或s
usIsCsc0((1(Uc-+=
③电感L上的时域电压-电流关系为dt
tdiLtuL((=两边取拉氏变换,就可得出S域内的电压-电流关系为
0(((U--=LLLissLIs或s
isUsLsL0((1(IL-+=
④KCL和KVL0(=∑ti;
0(=∑tu
分别取拉氏变换,可得基尔霍夫定律的S域形式
0(=∑sI;
0(=∑sU
7.卷积定理
时域卷积变换到S域的特性
((((2121sFsFtftf=*
8.重要的函数
(Hs为系统函数;
(S(sts↔阶跃响应;
(F(stf↔输入信号(Y(ZSsLTItyZS↔系统的零状态响应
(((Y(*(ZSsHsFsthtfyZS=↔=
(1(S((0sHSsdhtst==⎰-
积分定理ττ阶跃响应](1[(1sHS
Lts-=,则((tsth'
=例题1:
若已知((sFtf↔;
求下列函数的单边拉氏变换
①te--2②tet3(-+δ③te
tcos2-
求下列象函数的拉氏反变换①651(F2+++=ssss②
1(22(F22+++=sssss
③231(F2++=
sss④2
2(4(F+=sss
已知LTI的微分方程(3(6(5(tftytyty=+'
试求其阶跃响应s(t和冲激响应h(t。
已知((nnfε=,零输入响应为(5.01(2(nnynε-=,
若输入(5.0(nnfnε=,求系统响应(ny。
如下图所示,已知H1=24+-s;
H2=
3(21+s;
H3=11-s,求冲激响应h(t。
已知1f的全响应为(2cos2(ttetε+-;
2f的全响应为(2cos2(ttetε+-,求冲激响应h(t。
例题8:
设系统微分方程为((2(3(4(tftftytyty+'
=+'
已知10(=-y,10(='
-y,((2tetftε-=,试用拉氏变换法求零输入响应和零状态响应。
五、Z变换
1.单边Z变换的定义:
=-=0
((nnznfzF
F(z的反变换:
-=cndz
zzFjnf1(21
(π
2.典型序列的Z变换
①单位序列
⎩⎨⎧≠==0(0
0(1(nnnδ
所以1]([=nZδ
②阶跃序列
⎩⎨⎧<
≥=0(0
0(1(nnnε所以111]([1-=-=-zz
znZε
③指数序列(nanε所以azz
aznaZn-=-=-(11]([1ε
3.常用序列的Z变换
①1(↔nδ②1(-↔
zznε③2
1(-↔zzn④321(1(-+↔zzzn⑤azzan
-↔⑥2(azaznan-↔⑦aanezze-↔⑧1
cos2sinsin(0200+-↔ωωωzzzn⑨1cos2cos(cos(0200+--↔
ωωωzzzzn4.求Z反变换
①F(z仅含有一阶极点
i
zziizzzzF=-=((K∑=+=⇒n
iniinzkn1
0(((kf(nεδ
②F(z仅含有重极点
zzminnnzzFzzdzdn=---⨯-=](([!
1(1K111(n=1,2,3„„m5.Z变换的主要性质
⑴线性
⑵移位特性
①对于双边序列:
例如:
2(1((2(12-+-+↔---ffzzFznf
②对于单边序列:
例如:
mzmn-↔-(δ;
1(-↔--zzzmnm
ε⑶比例性(尺度变换
6.卷积定理
((((22112211zFazFanfanfa+↔+]
(([z(1m-∑=-+
↔-mkkzkfzFmnf⎪⎭
⎫⎝⎛↔azFnfan(1((z1(-1-+↔-fzFnf
(z((-mzFmnmnf↔--ε
设((11zFnf↔;
((22zFnf↔
则(((*(2121zFzFnfnf↔
求下列离散信号的z变换
①2(-nδ②(nanε-③1(
21(1--nnε
求下列F(z的反变换f(n①2(1(2(--=
zzzzF②21(2((--=zzzzF
用单边z变换解差分方程11(;
(05.01(9.0(=-=--ynnynyε
六、系统函数
1.系统框图:
①当系统由两个子系统级联构成时,如下图所示,系统函数H(s等于两个子系统函数的乘积。
②当系统由两个子系统并联构成时,如下图所示,系统函数H(s等于两个子系统函数的和。
③当两个子系统反馈连接时,如下图所示。
2.系统函数的零、极点:
零点:
让系统函数分子的值为0,所解出的点,在图中用“o”表示。
极点:
让系统函数分母的值为0,所解出的点,在图中用“×
”表示。
若为n重零点或极点,可在其旁注以“(n”。
3.系统稳定的判断方法:
①稳定:
若H(s的全部极点位于s的左半平面,则系统是稳定的。
②临界稳定:
H(s的虚轴上有s=0的单极点或一对共轭单极点,若其余极点全在s左半平面,则系统是临界稳定的。
③不稳定:
H(s只要有一个极点位于s右半平面,或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点,则系统是不稳定的。
例题1:
已知p1=-2+j3;
p2=-2-j3;
z1=1;
z2=-2,求系统函数H(s,并判断其稳定性。
例题2:
根据图,判断系统是否稳定。
-16-
例题3:
已知H(s=其稳定性。
s+3s+2,求系统的冲激响应,阶跃响应,并画出零极点分布图,并判断例题4:
已知H(s=ss2+3s+2,f(t=12e-2te(t,求其零状态响应yZS(t,并画出它的零点和极点,并判断其稳定性。
例题5:
已知连续系统由两个子系统级联而成,如图所示,若描述两个子系统的微分方程分别为y1(t+y1(t=x¢
(t-2x(t;
y(t+2y(t=y1(t。
求每个子系统的系统函数H1(s,H2(s及整个系统的单位冲激响应h(t;
画出系统的零极点图,判断系统的稳定性。
¢
七、离散系统的稳定性1.既是离散系统,又是因果系统,其稳定性的判断方法:
H(z的所有极点全部位于单位圆内,则系统稳定。
H(s的一阶极点(实极点或共轭复极点)位于单位圆上,单位圆外无极点,则系统为临界稳定。
H(s只要有一个极点位于单位圆外,或在单位圆上有重极点,则系统不稳定。
设有差分方程表示的系统y(n+0.1y(n-1-0.2y(n-2=f(n+f(n-1试求系统函数H(z,并讨论系统的稳定性。
-17-
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