拉格朗日插值法docxWord文档下载推荐.docx
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拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算,易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差
定理5.1记A)为以(λ⅛Jo)6Ji)为插值点的插值函数,心则日久孙州XJlo
2∣(KIXE)(才—画)€日么切
(5.3)
Λ(⅛^∕fr)-4W
证明令TE:
工「丄3,因「:
」一_-1是二门的根,所以可设
Λ(x)=t(x)(χ-⅞)(χ-¾
)
对任何一个固定的点,弓I进辅助函数71:
旳叮©
仏炉⑹(r)(r)
则0—r∙1。
由定义可得器;
门一、「,这样T1至少有3个零点,不失一般性,假定1J〔,分别在〔心习和【忌和上应用洛尔定理,可知¥
©
在每个区间至少存在一个零点,不妨记为5和5,即平'
(G=°
和平'
(6)=°
对屮'
®
在佐即上应用洛尔定理,得到严飞)在上至少有一个零点"
o
现在对求二次导数,其中的线性函数),故有
πf)≡rω-2∣⅛)
代入二得
m2Itw=O
所以
⅛ω=∕w2∣
即
A(X)=匚字(X1心)(LXl)疋CS丄
522二次插值
的二次的(抛物线)插值多项式?
平面上的三个点能确定一条次曲线,如图5.2所示。
图5.2三个插值点的二次插值
仿造线性插值的拉格朗日插值,即用插值基函数的方法构造插值多项式。
设
AM=⅛H∕(⅞)+⅛M∕⅛)+⅛M∕⅛)≡
⅛W=4j^¾
)(χ'
¾
LiI--TLt,得
4(⅞)=A⅞^⅞)⅛-¾
)∕(⅞)
.-.A=J
(⅞-x1)(λ0-x3)
⅛W=j4(x"
)(x^⅞)
⅛(jr-xa)
⅛-z1)(z0-χ2)
同理将HIU代入匕八)得到J和」的值,以及A!
'
J和L!
J1的表达式。
(x1-⅞X∑l-x3)
1
(⅞"
⅞)(⅞-⅞)
1(χι-⅞χ¾
-⅞)
(X-J⅞)(x-X])
(x1-λ0)(x3-χ1)
丄B一咼)G-阳)“八
(¾
-⅞)⅛-⅞)LI
X(X⅛-χ0)⅛-χ1/
=Σ⅛(^)∕⅛)3)
Z-O
也容易验证:
⅛(⅞)=θ
4(⅞)=°
⅛t⅞)≡1
⅛(⅞)=λ⅛(¾
)=0,
A(⅞)=O-
⅛(⅞)-θ-
插值基函数仍然满足:
二次插值函数误差:
闰⑴=气OA闻)Uf)Sp)∙
ξE[mifl(x0jxll¾
1x}lmaκ(⅞,⅞jxafx}]
上式证明完全类似于线性插值误差的证明,故省略。
插值作为函数逼近方法,常用来作函数的近似计算。
当计算点落在插值点区间之内时叫做内插,否则叫做外插。
内插的效果一般优于外插。
例5.1给定丄「『-一一u:
:
ir-ιι■1-。
构造线性插值函数并用插值函数
计算SirLlr3i∣和SirLIO'
30
解:
构造线性插值函数:
厶(X)=上空0.190809+上1卫11207912
II-1212-11
分别将TlLhI1.1.?
代入上式,得
(IjiA叩禹,准确值SiIliI'
300.199368
JlHilL比刊,准确值m山i丸叮必死
-SIn(ξ)Z、#、
∙T⅛-ιι)k⑵
<
j∣fll5-ll)(Γl.5-12)∣∣
=0.1Ξ5
例5.2给定Ml…m:
;
H构造二次插值函数并计算SiILlr3i∣O
解:
0.190809
(Jr-12)(Jr-13)
(II-12)(11j13)
0.207912
0.224951
(X-Il)fx-12)
(13-∏)(13-12)
例5.3要制做三角函数的函数二二值表,已知表值有四位小数,要求用线性插值引起
的截断误差不超过表值的舍入误差,试决定其最大允许步长。
解:
设最大允许步长
h=hi=Xi-
IW)I■晋k7bn)
=字(X-舌-J(XLXJ
(V1
Vι+」
I2"
-1J
[2J
1珅1
=ξ∣(V1^zJ(λ⅛^VI)I=^-<
210^
⅛<
0.02
5.2.3t次拉格朗日插值多项式
冋题5.3给定平面上两个互不相同的插值点(λ⅛J⅛)1j-O,l
有且仅有一条通过这
两点的直线;
给定平面上三个互不相同的插值点⅛√(⅞))J=(ll,2
有且仅有一条通过
这三个点的二次曲线;
给定平面上,.,1个互不相同的插值点---1,
互不相同是指•!
互不相等,是否有且仅有一条不高于1次的插值多项式曲线,如果曲线存
在,那么如何简单地作出这条j.次插值多项式曲线?
分析:
‘:
次多项式2^-L--Lr-二」,它完全由〔‘1个系数WT决定。
若曲线通过给定平面上1、I个互不相同的插值点j"
1"
^'
l'
则
应满足E(Xi)=ΛΦ=g2厂
l,事实上一个插值点就是一个插值条件。
将;
,••:
•、"
」一_」依次代入-1中得到线性方程组:
%+aΛ+^f2⅛+,,,÷
3b⅛-∕c¾
轴+αl¾
÷
o3⅛++«
BAl=/(λ1)
向十购兀÷
ΛaXHi∙
方程组的系数行列式是范德蒙(
∏⅛-勾)
D<
j<
i<
W
所以方程组(5.4)的解存在且惟一。
即问题5.3
的解存在而且惟一。
通过求解(5.4)得到插值多项式'
,因其计算量太大而不可取,仿照线性以及二
次插值多项式的拉格朗日形式,我们可构造’:
次拉格朗日插值多项式。
对于〔、1个互不相同的插值节点:
…一—■,,由'
次插值多项式的惟一性,可
对每个插值节点•!
作出相应的1次插值基函数:
■^——…弋。
要求i'
?
■/:
■•―是•:
二,的零点,因此可设
Ii(HFA⅞)U-舟)…A兀I)(XVJ(X-召)
由―鳥一…将•〔代入;
得到
⅞(z)=^(χ-⅞)(χ-χ1)÷
√χ-χM)(X-¾
41)-√χ-⅞)=l
O=(X—咼).(X_J⅞j)(x_冯痕)…(X—耳)
J(Λ-⅞),∙∙(禹—Xij(X:
一
(5.5)
Aw=⅛W∕⅛)
I-O
(5.6)
作其组合:
少)}称为关于节
那么L'
J不高于[次且满足L…:
一,……一…Y,故「就是关于插值点Jr的插值多项式,这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。
点的拉格朗日基函数。
If(Xi)17.001.00
拉格朗日插值基函数为:
=匕-孟Ja-XJS-勺)
0(⅞-jfιX⅞-^X⅞-¾
(λ-0)(λ-1OO)(X-2.00)
2.00
17.00
(-200-0)(-200-IoO)(-2.00-2.00)
[λ-0)(λ-100)(χ-2.00)
[-200-0)(-200-100)(-2.00-200)
=(χ∙j⅛)W-χ⅛)S∙j⅛)
1(ZI-XO)(XL-¾
)(¾
-¾
=l(x÷
2)(z-l)(χ-2)
1r>
=b-J⅛)("
珂)"
-巧)
2(¾
-⅞)⅛-χ1)t^^¾
)一扣怜(T
=bn)bn)wn)
S(⅞-⅞)(⅞-¾
)(⅞⅞)
-扣怜Al)
三次拉格朗日插值多项式:
…17
f2A
2、“―--(τ+2)x(λ-2)+y(x+2)x(x-l)
171..
∑3(x)=-石讼T)(X-2)蔦(x+2)X-I)(X-岑
17;
-;
:
8ZV)
一(0.6)。
例5.4给出下列插值节点数据,做三次拉格朗日插值多项式,并计算
/(0,6)*4W=0.2560
n次插值多项式的误差
定理5.2设厶⑴是[錨切上过的"
次插值多项式,
是即)的根,于是可设
⅛(λ)=⅛)(χ-¾
Xχ-Λ1)√Z-¾
]”I--.-
间至少有一个零点,即珂)
至少有舟+1个零点。
同理再对屮©
应用洛尔定理,即屮⑴
ψtj,+l)(AM
至少有1个零点,反复应用洛尔定理得到--1至少有一个零点二。
另一方面,对「•求I;
阶导数,有
ψM>
C迪①—疋⑴"
+I)!
(«
+1)!
O耶阿C)叮伽D(f)-K(jφ+1)!
得到
M=~~(λ-χ0Xχ-¾
)-(λ-λκ)pf∈⅛i]
(5.9)
(w+1)!
由于.J的零点丄与^,的零点'
(J有关,因而丄为;
的函数。
(5.10)
必那顽CIkP
由(5.9)式可以看到,当;
二是不高于、次的多项式时,
是其本身,故拉格朗日基函数满足
Aω=⅛ω¾
=⅛=oλ-^
2-0
给出[「一个插值节点⅞^ι∕,Λι,任选其中的;
个插值节点,不妨取
个插值点,不妨取■■:
-t^1^,构造一个1次插值多项式,记为1O由定理2可
「—1(5,12)
(5.14)
⅞-⅞+ι
拉格朗日插值多项式的算法下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。
1:
输入:
插值节点控制数
■,插值点序列
要计算的函数点j.,
及变量「。
n//i控制拉格朗日基函数序列
2:
FoRi:
=0,1,∙∙∙{tmp:
=1;
i-1,i+1,••
2.1FORj:
=0,1,…,
{//对于给定:
,计算拉格朗日基函数
饬PU卿心-号)/(;
Tj-Xj);
}//tmp
表示拉格朗日基函数
}
3:
输出的计算结果一」。
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