高中数学经典例题错题详解21018Word格式文档下载.docx
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映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;
(3)映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求
B中的每一个元素都有原象;
(4)唯一性:
映射中集合A中的任一元素在集合B中的
象都是唯一的;
(5)一一映射是一种特殊的映射
方向性
上题答案应选C
【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”,所以A、B、D都错误;
只有C完全满足
映射与函数(特殊对应)的全部5个特点。
本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。
【例2】已知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:
→(x+1、x2),
(1)求2在B中的对应元素;
(
2)(2、1)在A中的对应元素
【分析】
(1)将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(
+1、1);
(2)由题意得:
x+1=2,x2=1得出x=1,即(2、1)在A中的对应元素为
【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求:
(1)可建立从A到B的映射个数(
);
(2)可建立从B到A的映射个数(
)
如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合
A到集合B
的映射共有
nm个;
集合B到集合A的映射共有mn个,所以答案为23=9;
32=8
【例4】若函数f(x)为奇函数,且当x﹥0时,f(x)=x-1,则当x﹤0时,有()
A、f(x)﹥0B、f(x)﹤0C、f(x)f(·
-x)≤0D、f(x)-f(-x)﹥0
奇函数性质:
1、图象关于原点对称;
2、满足f(-x)=-f(x);
3、关于原点对称的区间上单调性一致;
4、
如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0;
5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
偶函数性质:
1、图象关于y轴对称;
2、满足f(-x)=f(x);
3、关于原点对称的区间上单调性相反;
如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0;
5、定义域关于原点对称(奇偶函
数共有的)
基本性质:
唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x,f(x)=0)。
通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;
如x+x2。
两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数
【分析】f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
当X﹤0时,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)–1]=-x+1>
0,所以A正确,B错误;
f(x)f(·
-x)=(x-1)(-x+1)﹤0,故C错误;
f(x)-f(-x)=(x-1)-(-x+1)﹤0,故D错误
【例5】已知函数f(x)是偶函数,且x≤0时,f(x)=1x,求:
(1)f(5)的值;
1x
(2)f(x)=0时x的值;
(3)当x>0时,f(x)的解析式
【考点】函数奇偶性的性质
【专题】计算题,函数的性质及应用
【分析及解答】
(1)根据题意,由偶函数的性质
f(x)=f(-x),可得f(5)=f(-5)=1
-5=—
1-
-5
(2)当x≤0时,f(x)=0
可求x,然后结合f(x)=f(-x),即可求解满足条件的
x,
即当x≤0时,1
x=0
可得x=—1;
又f
(1)=f(-1)
,所以当f(x)=0时,x=±
1
x
(3)当x>0时,根据偶函数性质
f(x)=f(-x)=1
x)=
x)
【例6】若f(x)=e
-x
为偶函数,则f(x-1)
<
e2
的解集为(
+ae
A.(2,+∞)
B.(0,2)
C.(-∞,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
【考点】
函数奇偶性的性质
【专题】转化思想;
综合法;
函数的性质及应用
根据函数奇偶性的性质先求出
a值,结合函数单调性的性质求解即可
∵f(x)=e
为偶函数,∴f(-x)=e
,∴a=1,
+ae=f(x)=e+ae
∴f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,在(
-∞,0)上单调递减,
则由f(x-1)<e2
=e+
1,∴-1
<x-1<1,
求得
<x<2
故B正确
【点评】
本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出
a值是解题关键
【例7】函数f(x)=
ax
b是定义在(-1,1)上的奇函数,且
f(
21)=
2,
(1)确定函数f(x)
x2
5
的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上为增函数;
(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0
函数奇偶性与单调性的综合
【专题】函数的性质及应用
(1)
因为f(x)为(-1,1)上的奇函数,所以
f(0)=0,可得b=0,
2,所以
1a
2,得出a=1,所以f(x)=
由f(21)=
=
(2)
根据函数单调性的定义即可证明
任取-1
<x1<x2<1,f(x1)—f(x2)=
x1
—
(x1
x2)(1
x1x2)
(1
x1)(1
x2)
因为-1
<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1—x1x2>0,所以f(x1)—f(x2)
<0,
得出f(x1)
<f(x2),即f(x)在(-1,1)上为增函数
(3)
根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号
“f”,再考虑到定义域可得一
不等式组,解出即可:
f(2x-1)+f(x)=
<0,f(2x-1)
<—f(x),由于f(x)为奇函数,
所以f(2x-1)
<f(—x),因为f(x)在(-1,1)上为增函数,所以
2x-1<—x○,因为
-1
<2x-1<1○2
,-1
<x<1○3,联立○1
○2○3得
<x<
1,所以解不等式
1)
f(2x-1)+f(x)
<0的解集为(0,
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。
【例8】定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则不等式
xf(x)<0的解集为()
【考点】函数单调性的性质【专题】综合题;
【分析及解答】易判断f(x)在(-∞,0)上的单调性及f(x)图像所过特殊点,作出f(x)
4
草图,根据图像可解不等式。
解:
∵f(x)在R上是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上
也是增函数,由f(-3)=0,可得-f(3)=0,即f(3)=0,由f(-0)=-f(0),得f(0)=0
作出f(x)的草图,如图所示:
y
-303x
由图像得:
xf(x)
<0
x0
或
0﹤x﹤3或-3﹤x﹤0,
f(x)0
f(x)0
∴xf(x)<0的解集为:
(-3,0)∪(0,3),故答案为:
(-3,0)∪(0,3)
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键。
【例9】已知f(x+1)的定义域为[-2,3],则f(2x+1)的定义域为()
抽象函数定义域求法总结:
(1)函数y=f[g(x)]的定义域是(a,b),求f(x)的定义域:
利用a<x<b,求得g(x)的范围就是f(x)的定义域;
(2)函数y=f(x)的定义域是
(a,b),求y=f[g(x)]的定义域:
利用a<g(x)<b,求得x的范围就是y=f[g(x)]的定义域。
【考点】函数定义域极其求法
由f(x+1)的定义域为[-2,3],求出f(x)的定义域,再由
2x+1在函
数f(x)的定义域内求解
x的取值集合,得到函数
f(2x+1)的定义域。
由f(x+1)的定义域是[-2,3],得-1≤x+1≤4
;
再由-1≤2x+1≤4
0≤x≤5
∴f(2x+1)的定义域是[0,
],故选A
【点评】本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数
f[g(x)]的定义域是(a,b),求
函数f(x)的定义域,就是求
x∈(a,b)内的g(x)的值域;
给出函数
f(x)的定义域
是(a,b),只需由a<g(x)<b,求解x的取值集合即可。
7
,则f(3)=(
【例10】已知函数f(x)=x+ax+bx-5,且f(-3)=5
A.-15
B.15
C.10
D.-10
【考点】函数的值;
奇函数
令g(x)=x7+ax5+bx,则g(-3)=
解法1:
f(-3)=(-3)7+a(-3)5+b(-3)-5=-(37+a35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,∴f(3)=-15解法2:
设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5
∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15
丹东市第一中学高一十六班
数学
【例11】已知二次函数
f(x)=x2
+x+a(a﹥0),若f(m)﹤0,则f(m+1)的值为(
A.正数
B.负数
C.零
D.符号与a有关
因为f(m)<
0所以m2+m+a<
0,因为a>
0.所以m2+m<
0,所以-1<
m<
f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+
)2-
+a.
因为-1<
0所以(m+3
)2>
1,
所以f(m+1)>
答案为A
解法2:
f(x)=x2+x+a=x(x+1)+a
∵f(m)=m(m+1)+a<0∴m(m+1)<-a,∵a>0,且m<m+1∴m<0,m+1>0
∵(m+1)2≥0即:
f(m+1)=(m+1)2+(m+1)+a>0∴f(m+1)>0选A
【例12】函数f(x)=︱x2-2x︱—m有两个零点,m的取值范围()
令f(x)=︱x2-2x︱—m=0,则︱x2-2x︱=m,作y=︱x2-2x︱和y=m的图像要使f(x)=︱x2-2x︱—m有两个零点,则图像y=︱x2-2x︱和y=m有两个交点
【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有
最大值5,那么F(x)在区间(-∞,0)上的最小值为()
根据题意,得a·
f(x)+b·
g(x)在(0,+∞)上有最大值3,所以,a·
g(x)
在(-∞,0)上有最小值-3,故F(x)=a·
f(x)+b·
g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.
F(x)=af(x)+bg(x)+2是由G(x)=af(x)+bg(x)向上平移2个单位得到,由题意G(x)=af(x)+bg(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是奇函数,在(0,+∞)上有最大值3,那么在(-
∞,0)上有最小值-3,那么F(x)=a·
g(x)+2在(-
∞,0)上有最小值-1.
【例14】对于每个实数x,设f(x)取y=x+1,y=2x+1,y=-
x三个函数中的最大值,用
分段函数的形式写出f(x)的解析式,求出f(x)的最小值为(
【例15】已知函数f(x)=x+ax+3,
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
解
(2)函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a/2,依题意得①当-a/2≤-2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:
f(-2)=4-2a+3≥a,无解②当-2<-a/2<2,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:
f(-a/2)≥a,得-4<a≤2
6
③当-a/2≥2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:
f
(2)=4+2a+3≥a,得-7≤a≤-4
综上所述得:
-7≤a≤2
【例16】下列各组函数表示相等函数的是(
A.
y=x2
9与y=x+3
B.
y=x2
1与y=x-1
C.
y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)D.
y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)
A.y=
x2
9=x+3(x≠3)与y=x+3定义域不同,不是相等的函数;
B.y=
-1=|x|-1与
y=x-1
对应关系不同,不是相等的函数;
C.y=x0=1(x≠0)与y=1(x≠0)是相等函数;
正确
D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z对应关系不同,不是相等函数.
【例17】函数y=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上时增函数,在区间(
-∞,2]上是减函数,
则f
(1)=(
A.-7B.1C.17D.25
由已知中函数的单调区间,可得函数
y=4x2
-mx+5的图像关于直线x=-2
对称,因为
函数y=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上时增函数,在区间(
-∞,2]上是减函数,故函数
y=4x2-mx+5的图像关于直线
x=-2对称,故m
2,m=-16,y=4x2+16x+5,f
(1)=25
8
【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为:
_________
(1)、f(x)
(x
3)(x
5)
x5
(2)、f(x)
x1x1
,g(x)
(3)、f(x)
x,g(x)
(4)、f(x)
3x4
x3
x3x
(5)、f(x)(2x
5)2,g(x)2x5
【例19】函数f(x)
ax2
4(a
1)x
3在区间[-2,+∞)上递增,则a的取值范围______
【例20】函数
f
2(
a
1)
在区间(-∞,4]上是减函数,则实数
a的取值
范围是(
A.a≤3B.a≥3
C.a≥-3
D.a≤5
E.a≤-3
【例21】已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且
f(m
f(12m)>
0,求实
数m的取值范围
【例22】若集合A
xx2
1,x
R
,B
yy2
x2,xR
,则A∩B=(
A.{x∣-1≤x≤1}
B.
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