高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文Word文档下载推荐.docx
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全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U,且x∉A}
∁UA
4.集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集,即A⊆A;
(2)子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;
(3)运算性质
①A∩B=B∩A,A∩B=A⇔A⊆B.
②A∪B=B∪A,A∪B=B⇔A⊆B.
③∁S(∁SA)=A,(∁SA)∪(∁SB)=∁S(A∩B),(∁SA)∩(∁SB)=∁S(A∪B).
[小题体验]
1.(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________.
①{0}=∅;
②0∈{0};
③∅{0};
④{0,1}⊆{(0,1)};
⑤{(a,b)}={(b,a)}.
解析:
由集合的有关概念易知②③正确.
答案:
②③
2.(教材习题改编)集合
,用列举法表示为________.
用列举法可知x可取0,1,2.
{0,1,2}
3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=________.
{2,4}
4.集合{a,b}的所有子集为________.
{a},{b},{a,b},∅
1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件.
2.要注意区分元素与集合的从属关系;
以及集合与集合的包含关系.
3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
[小题纠偏]
1.若集合A={a+1,a-1,a2-3}满足1∈A,则实数a的值为________.
若a+1=1,则a=0,A={1,-1,-3},满足;
若a-1=1,则a=2,此时a2-3=1,与集合的互异性矛盾,舍去;
若a2-3=1,则a=±
2,a=2舍去,当a=-2时,A={-1,-3,1},满足.
0或-2
2.已知集合M={x|y=x2+2x+4},N={y|y=2x2+2x+3},则M∩N=________.
因为M=R,N=
,所以M∩N=
.
3.集合A={x|x=-y2+6,x∈N,y∈N}的真子集的个数为________.
当y=0时,x=6;
当y=1时,x=5;
当y=2时,x=2;
当y≥3时,x∉N,故集合A={2,5,6},共含有3个元素,故其真子集的个数为23-1=7.
7
[题组练透]
1.(易错题)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为________.
集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
9
2.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
∵A=∅,∴方程ax2-3x+2=0无实根,当a=0时,
x=
不合题意,当a≠0时,Δ=9-8a<
0,∴a>
3.(易错题)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-
,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
-
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.如“题组练透”第1题.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.如“题组练透”第3题易忽视.
(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
x<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<
m≤4.
综上,实数m的取值范围为(-∞,4].
(-∞,4]
2.(2016·
苏州四市调研)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.
由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
4
3.集合A={0,1,x},B={x2,y,-1},若A=B,则y=________.
因为A={0,1,x},B={x2,y,-1},且A=B,所以x=-1,此时集合A={0,1,-1},B={1,y,-1},所以y=0.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1.已知集合A={x|2a-2<
a},B={x|1<
2},且A∁RB,则实数a的取值范围为________.
∁RB={x|x≤1或x≥2}.
(1)当A=∅时,2a-2≥a,解得a≥2;
(2)当A≠∅时,由A∁RB,得
或
解得a≤1.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).
(-∞,1]∪[2,+∞)
2.已知集合A={x|x2-2x+a=0},B={1,2},且A⊆B,求实数a的取值范围.
解:
若A=∅,则Δ=4-4a<
0,解得a>
1;
若A≠∅,则A={1}或{2}或{1,2};
若A中只有一个元素,则Δ=4-4a=0,解得a=1.当a=1时,A={1},满足;
若A中有两个元素,则A={1,2},则
无解.
综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞).
(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;
有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有:
(1)求交集或并集;
(2)交、并、补的混合运算;
(3)新定义集合问题.
[题点全练]
角度一:
求交集或并集
1.(2014·
江苏高考)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=________.
A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}.
{-1,3}
兰州诊断)已知集合A={x||x|<
1},B={x|2x>
1},则A∩B=________,A∪B=________.
由|x|<
1,得-1<
1,所以A={x|-1<
1}.
又由2x>
1,解得x>
0,所以B={x|x>
0}.
所以A∩B={x|0<
1},A∪B={x|x>
-1}.
{x|0<
1} {x|x>
-1}
角度二:
交、并、补的混合运算
3.设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}.
(1)求实数a的值以及集合A,B;
(2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB).
(1)由题意可知,2∈A,2∈B,将x=2代入集合A中得,8+2a+2=0,解得a=-5.则A={x|2x2-5x+2=0}=
,B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)U=A∪B=
,∁UA={-5},∁UB=
,所以(∁UA)∪(∁UB)=
角度三:
新定义集合问题
4.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为________.
要使x-y∈A,当x=5时,y可取1,2,3,4;
当x=4时,y可取1,2,3;
当x=3时,y可取1,2;
当x=2时,y可取1.综上共有10个.
10
5.(2015·
启东模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A=
,B={x|x<
0,x∈R},则A⊕B=___________.
依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=
,故A⊕B=
∪[0,+∞).
∪[0,+∞)
[方法归纳]
解集合运算问题4个注意点
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.设集合M={x|x+1>
0},N={x|x-2<
0},则M∩N=________.
因为M={x|x+1>
0}={x|x>
-1},N={x|x-2<
0}={x|x<
2},所以M∩N=(-1,2).
(-1,2)
2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)=________.
∵M={2,3,4},N={4,5},
∴M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}.
{1,6}
3.(2015·
陕西高考改编)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=________.
M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1].
[0,1]
4.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=|x|,x∈R},则A∩B中的元素个数为________.
由题意联立方程组
消去y得x2=|x|,两边平方,解得x=0或x=-1或x=1,相应的y值分别为0,1,1,故A∩B中的元素个数为3.
3
5.(2016·
海安实验中学检测)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<
0},则A∪(∁RB)=________.
∵A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<
0}={x|0<
2},∴A∪(∁RB)=(-∞,1]∪[2,+∞).
二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知集合A=
,则集合A中的元素个数为________.
∵
∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,
又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1,
故集合A中的元素个数为4.
南通中学月考)已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为________.
由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个.
3.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=______________.
由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},
∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5}.
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}.
{x|-3<x≤-1}
4.已知集合A={x|x2<
3x+4,x∈R},则A∩Z中元素的个数为________.
由x2<
3x+4,得-1<
4.所以A={x|-1<
4},故A∩Z={0,1,2,3}.
5.设全集U=R,A={x|2x(x-2)<
1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为________.
由2x(x-2)<
1得x(x-2)<
0,解得0<
2,由1-x>
0,得x<
1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB.因为∁UB=[1,+∞),画出数轴,如图所示,所以A∩∁UB=[1,2).
[1,2)
6.已知集合M={(x,y)|y=x2+2x+4},N={(x,y)|y=2x2+2x+3},则M∩N=________.
由题可知,
解得
所以M∩N={(1,7),(-1,3)}.
{(1,7),(-1,3)}
7.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为________.
由题意A={1,2},当B≠∅时,
∵B⊆A,∴B={1}或{2},
当B={1}时,a·
1-2=0,解得a=2;
当B={2}时,a·
2-2=0,解得a=1.
当B=∅时,a=0.故a的值为0或1或2.
0或1或2
8.(2016·
贵阳监测)已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件:
①若a1∈A,则a2∈A;
②若a3∉A,则a2∉A;
③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=________.(用列举法表示)
若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,假设不成立;
若a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,a1∉A,假设不成立,故集合A={a2,a3}.
{a2,a3}
9.已知集合A=
,B={x|x2+3x-a2-3a>
(1)当a=4时,求A∩B;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
(1)由题意可知A=[-8,-4],
当a=4时,B=(-∞,-7)∪(4,+∞),
由数轴图得:
A∩B=[-8,-7).
(2)方程x2+3x-a2-3a=0的两根分别为a,-a-3,
①当a=-a-3,即a=-
时,B=
∪
,满足A⊆B;
②当a<
时,a<
-a-3,B=(-∞,a)∪(-a-3,+∞),则a>
-4或-a-3<
-8,得-4<
a<
;
③当a>
时,a>
-a-3,B=(-∞,-a-3)∪(a,+∞),则a<
-8或-a-3>
-4得-
<
1.
综上所述,实数a的取值范围是(-4,1).
10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)因为A∩B=[0,3],所以
所以m=2.
(2)∁RB={x|x<
m-2或x>
m+2},
因为A⊆∁RB,所以m-2>
3或m+2<
-1,
即m>
5或m<
-3.
因此实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.已知集合A={x|x2-2015x+2014<
0},B={x|log2x<
m},若A⊆B,则整数m的最小值是________.
由x2-2015x+2014<
0,解得1<
2014,故A={x|1<
2014}.
由log2x<
m,解得0<
2m,故B={x|0<
2m}.由A⊆B,可得2m≥2014,因为210=1024,211=2048,所以整数m的最小值为11.
11
无锡一中月考)设集合M={x|-2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a-1},若N⊆M,则实数a的取值范围是________.
当N=∅时,a+1>
2a-1,解得a<
2;
当N≠∅时,由N⊆M得,
解得2≤a≤3.
综上,实数a的取值范围是(-∞,3].
(-∞,3]
3.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围;
(3)若全集U=R,A∩(∁UB)=A,求实数a的取值范围.
由题意知A={1,2}.
(1)因为A∩B={2},所以2∈B,所以4+4(a+1)+(a2-5)=0,整理得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3.
经检验,均符合题意,所以a=-1或a=-3.
(2)由A∪B=A知,B⊆A.
若集合B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<
0.
即2a+6<
0,解得a<
-3;
若集合B中只有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=0,整理得2a+6=0,解得a=-3.此时B={x|x2-4x+4=0}={2}.满足;
若集合B中有两个元素,则B={1,2}.
所以a>
-3,且
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3].
(3)由A∩(∁UB)=A可知,A∩B=∅.
所以
解得a≠-1,a≠-3,a≠-1+
,a≠-1-
综上,实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-1-
)∪(-1-
,-1)∪(-1,-1+
)∪(-1+
,+∞).
第二节四种命题和充要条件
1.命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句
特点
(1)能判断真假;
(2)陈述句
分类
真命题、假命题
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系:
(2)四种命题中真假性的等价关系:
原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3.充要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
A是B的真子集
集合与
充要条件
p是q的必要不充分条件
P
q且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p
q且q
A,B互不包含
[小题体验]
1.(教材习题改编)条件p:
x>
2,条件q:
x≥2,则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).
充分不必要
2.(教材习题改编)已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=
”是“A∩B={4}”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).
A∩B={4}⇒m2+1=4⇒m=±
,故“m=
”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
3.已知命题:
若m>
0,则方程x2+x-m=0有实数根.则其逆否命题为________________________________________________________________________.
若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0
1.易混淆否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同.
1.命题“当a<
0时,函数y=ax+b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________.
本题的条件是“x的值增大”,结论是函数“y=ax+b的值减小”,故其否命题是“当a<
0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小”.
当a<
0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小
2.命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________.
由原命题与逆否命题的关系,得逆否命题是“若两个三角形不相似,则它们不全等”.
若两个三角形不相似,则它们不全等
3.若|x|<
a(a>
0)的充分条件是|x|<
b(b>
0),则a,b的大小关系是________.
由题意,得|x|<
b⇒|x|<
a.因为|x|<
a的解集是(-a,a),|x|<
b的解集是(-b,b),所以(-b,b)⊆(-a,a).所以a≥b.
a≥b
4.已知p:
x≠2或y≠1,q:
x+y≠3,则p是q的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).
若p⇒q,即“x≠2或y≠1”⇒“x+y≠3”,
得其逆否命题为“x+y=3⇒x=2且y=1”,
显然不正确,
所以p⇒/q.
同理可得q⇒p.
所以p是q的必要不充分条件.
必要不充分
1.命题“若a2>
b2,则a>
b”的否命题是________________.
根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>
b2,q为a>
b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为:
若a2≤b2,则a≤b.
若a2≤b2,则a≤b
2.已知命题p:
正数a的平方不等于0,命题q:
若a不是正数,则它的平方等于0,则p是q的________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”).
因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定,故两者之间互否.
否命题
3.(易错题)给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;
②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;
③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;
④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.
①③
1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.命题真假的2种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.
(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.
[
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