概率第一章教材习题解Word文档格式.docx
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又因为
PBPA,则A
B不合题意
故,当
BA时,
BP
PA0.6
最大;
当
1AB
时,P
最大,
0.3最小.
3.已知
A,B是二事件,且PA
0.5,
0.7,
0.8.
试求
PBA与
B.
因为PAB
PAP
'
A1
B0.4,
所以P
AB0.3,
BPA
0.1.
4.已知
B1,
PC
BC
PCA
0.
试求A,B,C
4
2,
8,
中有一个发生的概率
PABCPAPBPCPABPBCPACPABC
PAC
故,P
CPA
PC
ABPBCPACPABC
BC
CP
AB
7
8
CA0,而ACABC,所以PACPABC0,即
因为PABCPCAPB
5.书架上有一部五卷册的文集,求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率解:
设A表示“一部五卷册的文集,各册自左至右或自右至左排成自然顺序”,则
60.
45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有一件次品的概率.
7.n个朋友随机地围绕圆桌就座,求其中两人一定坐在一起(即座位相邻)的概率解:
首先必须搞清楚,这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的,而我们所熟悉的
是线状排列问题•环状排列一种,相当于线状排列n种.
设A表示“n个朋友随机地围绕圆桌就座,其中甲,乙两人一定坐在一起”,则按线状
排列时,首先考虑将甲,乙两人排在一起,有2!
种排法,然后把这两人视为一个元素,再
与其它的n1的元素作全排列,共有2!
n1!
种,而对应的环状排列有2』5-!
种,于
n1
2!
n1!
n!
n
中所有的标签脱落,交货人随机地将这些油漆发给顾客,问一个订货为4桶白油漆,3桶黑
油漆和2桶红油漆的顾客,能按所订颜色如数得到订货的概率是多少?
次品的概率;
(2)求其中至少有两件次品的概率.
(1)设A为“从N件产品中任取n件,其中恰有kkminM,n件次品”,则
knk
CMCNM
CN
,贝y考虑逆事件的概率有:
(2)设B为“从N件产品中任取n件,其中至少有两件次品”
PB1PB,其中:
B表示“从N件产品中任取n件,其中次品件数不多于两件”
设Ak“n次投掷中恰有k次掷出5点,且其他各次小于5点”,则所求概率为:
点评:
本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的,但利用减法公式是简洁的
设A“最大点数为5”,B“最大点数不超过5”,C“最大点数不超过4”,则CB,且
ABC,于是PAPBCPBPC
11•甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.
晚两小时到达x2y.
42acos//
丽SD211
P-2drdr-
S半圆a002
此题求面积时可用定积分或二重积分
习题1-3
1•已知PA0.3,PB0.4,PAB0.5,求条件概率PBAB.
加-PABBBPABPBBPAB
PBAB===
PABPAPBPABPA1PBPAB
因为PABPABPAPAB0.5,所以PABPAPAB
故,PBAB
PAPAB
PA1PBPAB
2.已知PA0.5,PB
0.6,PBA0.8,求PAB及PAB.
PABPAPBA0.4;
PAB1PAB
1PAPBPAB
0.3.
3.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为20岁,再活到25岁的概率是多少?
设A“这种动物由出生活到20岁”,B
0.4,这种动物已经活到
“这种动物由出生活到
25岁”则BA,
故所求概率为:
PBA
PABPB
PAPA
0.41
0.82
4•掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为
概率的定义计算和条件概率的含义(即用缩减后的样本空间)计算)解法
(一):
设A表示“两颗骰子的点数之和为7”,B表示“其中有一颗为1点”,则所求
2
61_6
62
7,求其中有一颗为
1点的概率(分别用条件
概率为:
PBA
解法
(二):
考虑缩减后的样本空间
(即两颗骰子的点数之和为
6,1,5,2,4,3,1,6,2,5,
7):
3,4,A6,1,1,6,故PA-.
3
缩减后的样本空间只含有6个基本事件,而原样本空间含有36个基本事件.
5•某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项同时都投
资的概率为0.19,
(1)已知他已经投入基金,再购买股票的概率是多少?
(2)已知他已购
买股票,再投入基金的概率是多少?
设A“投入基金”,B“购买股票”,则PA
0.58,P
B0.28,PAB0.19,
于是,已知他已经投入基金,再购买股票的概率是:
PBA鸣吐匹
PA0.5858
已知他已购买股票,再投入基金的概率是:
PAB0.1919
PB0.2828
6.袋中有r只红球,t只白球,每次从袋中任取一只球,观察颜色后放回,并再放入
与取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率(此题为波利亚模型,它是一个包含了许多重要的随机现象的模型,请
读者思考一下,什么样的现象可以归结于这一模型)
设Aii1,2,3,4表示“第i次取到红球”,则所求概率为:
PAA人A4
papa2Apa3a1a2pa1a2a3
C;
a
Ct1
c;
t
CltaC;
t2a
rt3a
rtrata
rtrtart2art3a
7•已知10只产品中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样•求下列事
件的概率:
(1)两只都是正品;
(2)两只都是次品;
(3)—只正品,一只次品
设A;
A2分别表示“第1,2次取的是正品”,则
盒子中任取2只球放入第二个盒子中去,然后从第二个盒子中任取一球,求取到白球的概率.
设B;
“从第一只盒子中取得2只红球”,B2“从第一只盒子中取得2只白球”,B3“从
第一只盒子中取得一只红球,一只白球”,A“从第二只盒子中取到一只白球”
10•某产品主要由三个厂家供货.甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%,80%,
A表示“从这批产
5%.其次品率分别为0.02,0.0;
0.03.试计算:
(;
)从这批产品中任取一件是合格品的概率;
(2)已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品,问这件产品由哪家生产的可能性大?
解:
B2,B3分别表示“任取一件产品是甲,乙,丙厂生产的”
品中任取一件是合格品”则
PBiPA
Bi0.150.020.80.010.050.030.0125.
11.将两信息分别编码为X和Y后传送出去,接收站接收时,X被误收作Y的概率为0.02,而Y被误收作X的概率为0.01.信息X与信息Y传送的频繁程度之比为2:
1.若接收站收
B1,B2分别表示“取到第一箱,第二箱
设A1,A2分别表示“第一,二次取得一等品”
中的零件”
Bi®
18
1门’
PA1
hPA1
-0.4
i1
50
30
(1)由全概率公式得:
(2)由全概率公式得:
因为PABPAPBA0.56,而PAPB0.56,即PABPAPB,
所以事件A与B是相互独立的.
2•设A,B,C是三个互相独立的随机事件,且0PC1,问AC与C是否相互独立?
因为PACCPCACPACCPC1PC0,
__A,B,C独立
PACPC1PACPC1PAPCPC,所以当PA0时,
PACCPACPCPC,故AC与C是相互独立的.否则,AC与C是不相互独
立的•
(2)PAB;
(3)PAB.
P(A)P(B)P(A)P(B)
PAPB,从而有PAPB
PAPB1,PAPB-.
33
111
6•三个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为_,—,_,问三人中至少
534
有一人能将此密码译出的概率为多少?
7.对同一目标进行三次独立射击,第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是0.4,0.5,0.7,
(2)在这三次射击中,至少有
求:
(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率;
次命中目标的概率•
设A,B,C分别表示"
第一,二,三次射击时命中目标”
(1)PAB
CAB
C
PAPB
PAPBPCPAPBPC
0.40.5
0.30.6
0.5
0.3
0.50.7
0.36
(2)PA
BC1
1PA
1PAPBPC
10.60.50.30.91.
&
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性,设4个独立工作
的元件1,2,3,4,它们的可靠性分别为p1,p2,P3,P4,按如图所示方式联接成所谓并串联系
统,
求这一系统的可靠性.
C=H
~~12|—
解:
设Ai表示“第i个兀件可靠”
[
(i1,2,3,4),则所求概率为:
PA1A2A3A4PA1A2A3A1A4
PA1A2A3PA1A4PA1A2A3A4P1P2P3P1P4P1P2P3P4.
9.设第一只盒子中装有3只兰球,2只绿球,2只白球;
第二个盒子中装有2只兰球,3只绿球,4只白球,独立地分别在两个盒子中各取一只球.
(1)求至少有一只兰球的概率;
求有一只兰球,一只白球的概率;
(3)已知至少有一只兰球,求有一只兰球一只白球的概
率.
设A1,B1,C1分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰,绿,白色的”,设A2,B2,C2分
别表示“从第二只盒子中取出的球为兰,绿,白色的”
5
(1)
PA1a21
PAa2
1PA1A2
1PA1PA21-
9
PA]C2C1A2
PA-|C2
PC1A2p
APC2PC1PA2
342216
797963
C1A2A1
A2
PA[C2C1A2A1A2
PA1A2
因为
A1C2
C1A2A1
,所以PA1C2C1A2A1
A2PA1C2
C1A2
故,
PA1C2
PA1C2C1A2A]A2
PA1C2C1A2
PAA2
3.
10.(先下手为强)甲、乙两人射击水平相当,于是约定比赛规则:
双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止•命中一方为该轮的获胜者你以为先射击者是否一定沾光?
为什么?
设A表示“第i次射击时命中目标”i1,2,,B表示“甲获胜”,假设由甲先发第
一枪,又设甲,乙两人每次射击时的命中率为p,未命中的概率为q,则pq1.
24
PBPAA人AA2A3AA2A3A4p1qq
匕—,于是乙获胜的概率为:
PB1PB—J.因为0q1,故
q
1q
p
即,先下手为强.
第
早总
!
、习题
1•填空题
假设
代B是两个随机事件,且AB
则
AB;
ABABABA
BABAB
AA
BBABAB
ABBABBAB
代B是任意两个事件,则PA
ABABABP
PABBABBP0.
2•选择题
(1)设P(A)0.8,P(B)0.7,PAB0.8,则下列结论正确的是
(A)事件A与事件B相互独立;
(B)事件A与事件B互逆;
(C)BA;
(D)PABP(A)P(B).
3•从五双不同的鞋子中任取四只,求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率解:
此题考虑逆事件求解比较方便,即取得的四只鞋子中不能配成一双.
设A表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”,则P(A)1PA1
13
21.
4•(找次品问题)盒中有4只次品晶体管,6只正品晶体管,随机地抽取一只进行测试,直到4只次品晶体管都找到为止,求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.
设Ai表示“第i次找到次品晶体管”i123,4,5,则所求概率为:
PA1A2A3A4A5A1A2A3A4A5A1A2A3A4A5A1A2A3A4A5
PAPA2宀PA3AA2PAt|Aia2a3pa5aa2a3A
5.(讨论奖金分配的公平性问题)在一次羽毛球比赛中,设立奖金1000元•比赛规定:
谁先胜三盘,谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当,现已打了三盘,甲2胜1负•由于特殊原因必须中止比赛•问这1000元应如何分配才算公平?
应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金,于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即
可•
比赛采取的应是五局三胜制,比赛已打三盘,甲胜两盘,甲若再胜一盘即可获胜•
1113
甲获胜的预期概率为:
PA,A.A5PA,PA4PA5.
2224
于是,甲应分得1000元奖金中的1000750元,乙分得250元•
6.4张卡片标着1到4,面朝下放在桌子上,一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能
力说出卡片上的号码•如果他是冒者而只能随机地猜一下,他至少猜中一个的概率p是多
少?
由古典概型下概率的定义可知:
4!
7•甲从2,4,6,8,10中任取一个数,乙从1,3,5,7,9中任取一个数,求甲取得的数大于乙取得的数的概率•
设A表示“甲取的数为ii2,4,6,8,10”,Bk表示“乙取的数为kk1,3,5,7,9则所求概率为:
PA2B1
PA4B1
B3PAB1B3
B5PA8B1B3B5
B7
PA10B1
B3B5
B7B9
PA-iB1
PA4B3
Pz
PA6B3
PA6B5P
A8B1PA8B3
PA8B5
PA8B7
PA10B3
PA10B5
PA10B7
PA10B9
PAiBkPAiPBk,且
由于甲、乙取数是相互独立的,则由独立性的性质可知:
11
PA-,PBk-,i2,4,6,8,10;
k1,3,5,7,9
55
13
以上概率为:
15•
255
从数字1,2,3,,,9中可重复地任取n次,每次取一个数,求n次所取数的乘积能被10整
5n4n
9―
的概率.
cic2i
设Ai表示“取出的两件产品中有i件合格品”,贝yPAMm2mi0,1,2.
cM
设Ai表示“第i次取得红球i1,2,3”,则所求概率为:
IC18C17C2
PA1A2A3PA1PA2APA3IAA2—18-17—0.089.
C2oG9C
13.12个乒乓球全是新的,每次比赛时取出3个用完后放回去•
(1)求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率;
(2)问在第三次取到的三个球都是新
球的条件下,第二次取到几个新球的概率最大?
设事件Ai,Bi,Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球io,1,2,3.
(1)由全概率公式,PC3PBiPC3Bi
io
其中:
qiQ3iq3
PBiCL“2"
,PC3BC?
心
故在第三次取到的三个球都是新球的条件下,第二次取到两个新球的概率最大
.假设有三种不同经
14.(有关经济的忠告)美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议济理论的顾问A,B,C,总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策,并关注这项
政策对失业率的影响,每位顾问就这种影响给总统一个个人预测,预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的,见下表
失业率下降
失业率不变
失业率上升
0.1
0.8
0.2
用字母A,B,C分别表示顾问A,B,C的经济理论是正确的事件,根据以往总统与这些顾问
一起工作的经验,总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计,分别为:
PA-,PB-,PC—•假设总统采取了所提出的新政策,一年后,失业率上
632
升了,总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计?
-0.8-0.2-0.20.3.
由Bayes公式得:
PAI
PAPI
A6
PI
PBPI
B-0.2
B3
-,PC
PCPI
I
9,
总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为:
PAI
I?
15.设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为-,击伤的概率为,击不中的概率为,
326
并设击伤两次会导致潜水艇下沉,求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.(提示:
先求
出击不沉的概率.)
,则
设A表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”
43
1311
PA1PA1—C:
662
PA2A3A4A54PA1A2A3A4A5PA!
A>
A3A4A52p22p35p42p5.
17.(下赌注问题)17世纪未,法国的DeMere爵士与人打赌,在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱,可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱,从概率论的角度解释这是为什么?
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- 概率 第一章 教材 习题
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