最新《不等式选讲》历年高考真题专项突破Word格式文档下载.docx

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命题角度3.不等式的证明与最值

9.设函数f（x）=|x+—|+|x-a|（a>

0）.a

（I）证明：

f（x）>

2;

（H）若f（3）<

5,求a的取值范围.

10.若a>

0,b>

0,H—+^=>

^ab.ab

（I）求a3+b3的最小值；

（H）是否存在a,b,使得2a+3b=6?

并说明理由.

11.设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明：

（1）若ab>

cd,贝1］爪+企>

也+^;

（2）也+M>

<

+y是|a-b|<

|c-d|的充要条件.

12.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明：

（I）,J

2i22

（n）^-+—+^->

1.bca

13.已知函数f（x）=|x-l|+|x+1|,M为不等式f（x）<

2的解集.22

（I）求M;

（H）证明：

当a,bCM时，|a+b|<

|1+ab|.

14.设a>

0,|x-1|<

a,|y-2|<

-,求证：

|2x+y-4|<

a.33

15.若函数f（x）=x+1|+2|x—a的最小值为5,则实数a=.

16.已知a>

0,c>

0,函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.

（1）求a+b+c的值；

（2）求^a2+1b2+c2的最小值.（柯西不等式）

17.已知关于x的不等式x+a<

b的解集为{x2<

x<

4}.

（I）求实数a,b的值；

（II）求Jat求2+Vbi的最大值.（柯西不等式）

2017年03月30日小毛的高中数学组卷

参考答案与试题解析

.解答题（共13小题）

1.（2013渐课标I）（选修4-5:

不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x—1|+|2x+a|,g（x）=x+3.

-1,且当代[吟.时，f（x）<

【解答】解：

（I）当a=-2时，求不等式f（x）<

g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<

fc-

-5x,

设y=|2x—1|+|2x—2|—x—3,则y="

—篁―2,，它的图象如图所示：

初-6,x〉l

结合图象可得，y<

0的解集为（0,2）,故原不等式的解集为（0,2）.

（H）设a>

-1,且当犬E时，f（x）=1+a,不等式化为1+awx+3,

1,净.

J

故x》a—2对xE[）都成立.

故-W》a-2,解得a0殳,故a的取值范围为（-23

2.（2012渐课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|

|x-4|的解集包含［1,2］,求a的取值范围.

（1）当a=-3时，f（x）>

3即|x-3|+|x—2|>

3,即①］工42,

l3-x+2-x>

3

或②

笥-武工-2〉3

或③卜）3

冀-3+工-2>

解①可得x<

1,解②可得xC?

解③可得x>

4.

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x&

1或x}4}.

（2）原命题即f（x）<

|x-4|在［1,2］上恒成立，等价于|x+a|+2-x<

4-x在［1,2］上恒成立，

等价于|x+a|<

2,等价于-2<

x+a<

2,-2-x<

a<

2-xft［1,2］上恒成立.故当1&

x02时，-2-x的最大值为-2-1=-3,2-x的最小值为0,故a的取值范围为［-3,0］.

3.（2011渐课标）设函数f（x）=|x-a|+3x,其中a>

（I）当a=1时，f（x）》3x+2可化为

|x-1|>

2.

由此可得x>

3m£

-1.

故不等式f（x）》3x+2的解集为

{x|x>

3或x<

—1}.

（H）由f（x）&

0得

|x-a|+3x<

0

此不等式化为不等式组

因为a>

0,所以不等式组的解集为{x|x（4}

由题设可得-A=-1,故a=2

2

4.（2016渐课标出）已知函数f（x）=|2x-a|+a.

（1）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2,

vf（x）<

6,a|2x-2|+2<

6,

|2x-2|<

4,|x-1|<

2,

.•-2<

x-1<

解得-1&

x&

3,

・•.不等式f（x）06的解集为{x|-1<

3}.

（2）vg（x）=|2x-1|,

•・f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a>

3,2|x-||+2|x-||+a>

3,|x--|+|x-—|

1222

当a》3时，成立,

当a<

3时，|x—!

|+|x-Jl|>

l|a-1|>

±

Z1>

0,2222

、2，一、2

・•.（a—1）>

（3—a）,

解得2<

一.a的取值范围是［2,+oo）.

5.（2011TH宁）选修4-5:

不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.

3,x=C2

（1）f（x）=|x-2|-|x-5|=2x-7,2<

i<

5,3fx>

5

当2Vx<

5时，—3<

2x-7<

3.

所以-3<

（2）由

（1）可知，

当x02时，f（x）》x2-8x+15的解集为空集；

5时，f（x）》x2—8x+15的解集为{x|5—的0x<

5};

当x》5时，f（x）》x2-8x+15的解集为{x|5<

6}.

综上，不等式f（x）》x2-8x+15的解集为{x|5-V5<

6.（2015渐课标I）已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|,a>

（I）当a=1时，不等式f（x）>

1,即|x+1|-2|x-1|>

1,

fx<

-lGT

[-X-1^2（1-K）〉l

产+1-2&

-1）〉F.

解①求得x€?

解②求得2Vx<

1,解③求得1<

综上可得，原不等式的解集为

（2）.

B（2a+1,0）,

故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a,a+1）,

由△AB。

勺面积大于6,

可得工[2a+1-纭L]?

（a+1）>

6,求得a>

23

故要求的a的范围为（2,+8）.

（II）若不等式f（x）wax的解集非空，求a的取值范围.

函数y=f（x）的图象如图所示.

（H）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2,1）当且仅当a<

-2或a>

^j■时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点.故不等式f（x）Wax的解集非空时，

a的取值范围为（-巴—2）U[^,+8）.

8.（2014渐课标H）设函数f（x）=|x+—|+|x-a|（a>

0）.

a

（I）证明：

丁a>

0,f（x）=|x+—|+|x-a|>

|（x+—）—（x—a）aa

|=|a+l|=a+l>

2CZ=2,aaVa

故不等式f（x）>

2成立.

（n）Vf（3）=|3+工|+|3-a|<

5,a

・•・当a>

3时，不等式即a+l<

5,即a2—5a+1<

0,解得3Va<

生区.

a2

当0<

a03时，不等式即6-a+l<

5,即a2-a-1>

0,求得上Wt<

a03.

综上可得，a的取值范围（上巫，竺送I）.

9.（2014渐课标I）若a>

0,且!

J=v后.ab

（I）a>

0,且上+工=/^,

ab

4让=^~+^12J1,••ab2,abVab

当且仅当a=b=R时取等号.

.a3+b3。

2/m）A2护=4&

当且仅当a=b=m时取等号，

；

a3+b3的最小值为4-/2.

（H）v2a+3b>

2修・3b=2%益,当且仅当2a=3b时，取等号.

而由

（1）可知，2&

嬴>

2叱=4丘>

故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.

10.（2015渐课标H）设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明:

cd,则曰+加>

证+>

T^；

（2）立+立>

+立是|a-b|<

|c-d|的充要条件.

【解答】证明：

（1）由于（Va+Vb）2=a+b+2/ab,

（Vc+Vl）2=c+d+277^,

由a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,ab>

cd,

则

即有（Va+Vb）2>

（Vc+Vd）2,

则Va+Vb>

Vc+Vd；

（2）①若在+加>

+1，则（mt）之〉（Vc+Vd）2,即为a+b+2Vab>

c+d+2Vcd,

由a+b=c+d,ab>

于是（a-b）2=（a+b）2-4ab,

（c-d）2=（c+d）2-4cd,

即有（a-b）2<

（c-d）2,即为|a—b|<

|c—d|；

②若|a—b|<

|c—d|,则（a—b）2<

（c—d）2,

即有（a+b）2-4ab<

（c+d）2-4cd,

则有（Va+Vb）2>

（Vc+Vd）2.

综上可得，丘+企>

爪+爪是忸-b|<

11.（2013渐课标H）

【选修4--5;

不等式选讲】

设a,b,c均为正数，且a+b+c=1,证明：

（I）_

【解答】证明：

（I）由a2+b2>

2ab,b2+c2>

2bc,c2+a2>

2ca得:

a2+b2+c2>

ab+bc+ca,

由题设得（a+b+c）2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以3（ab+bc+ca）&

1,即ab+bc+ca<

—.

2.22

（H）因为\+b>

2a,—+c>

2b,—+a>

2c,bca

2k222k22

故：

1必产+（a+b+c）>

2（a+b+c）,BP-7—1^ic>

a+b+c.bcabca

2k22

所以二十—+D1bca

12.（2016渐课标H）已知函数f（x）=|x-l|+|x+1|,M为不等式f（x）<

222

的解集.

（I）求M

（n）证明：

当a,b£

M时，|a+b|<

（I）当XV」时，不等式f（x）<

2可化为：

-l-x-x-l<

2,222

解得：

x>

-1,

-1<

」，

当」&

X&

L时，不等式f（x）<

—-x+x-^=1<

2222

此时不等式恒成立，

当x>

工时，不等式f（x）<

-L+x+xA<

1,

••工<

X<

1,

2，

综上可得：

M=（-1,1）;

证明：

（R）当a,bCM时，

（a2-1）（b2-1）>

0,

ab+1>

a+b,

即a2b2+1+2ab>

a2+b2+2ab,

即（ab+1）2>

（a+b）2,

即|a+b|<

13.（2015?

S建）已知a>

0,函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最

小值为4.

（1）求a+b+c的值;

（2）求的最小值.

49

（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c>

|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c,当且仅当-awxwb时，等号成立，

又a>

0,所以|a+b|=a+b,

所以f（x）的最小值为a+b+c,

所以a+b+c=4；

（2）由

（1）知a+b+c=4,由柯西不等式得,

（la2+lb2+c2）（4+9+1）>

（A?

2+k?

3-H：

?

1）2=（a+b+c）2=16,

4923

即工a2+Lb2+c2>

旦

497

11t

—ab

当且仅当^———=—,即c=2时，等号成立.

231777

所以N2+42+c2的最小值为之

X-4,K4一13x-2,

由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：

（E）由|f（x）|>

1,可得

当x0一1时，|x—4|>

1,解得x>

5或x<

3,即有x<

-1;

当T<

却，|3x—2|>

1,解得x>

1或xv1,

即有―1<

X<

L或1<

a；

32当x>

之时，|4-x|>

1,解得x>

5或x<

3,即有x>

5或上&

综上可得，乂<

［或1<

乂<

3或x>

5.

则|f（x）|>

1的解集为（—8,1）U（1,3）U（5,+oo）.