椭圆的手工画法与锥坡问题Word文档下载推荐.docx
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n,沿桥台的纵向坡度为1:
m。
椭圆锥坡其一端聚于一个公共极点,而另一端(底脚)则与椭圆周上相对的点相连[1]。
由于两个坡度方向的投影不相等,因此锥坡底面为一椭圆。
图1椭圆锥坡
椭圆锥坡有其重要的研究价值,以下将介绍椭圆锥坡在公路铁路建设中的特殊意义。
桥台处设置锥坡能够使水流通畅、流量均布,保护桥台免受水流侵蚀,而且能够加固桥台、简化桥台构造从而降低桥梁造价。
如图2所示为一U型桥台[1],由于在桥台双侧布置了椭圆锥坡就可以够平衡来自U型糟内填充物的侧向压力,从而使桥台受力更合理。
锥坡的存在还能够使U型桥台沿路堤前进方向减窄,从而节省了桥台的大量圬工体积。
在其他类型的桥台处布设椭圆锥坡能收到一样的力学和经济效果。
图2U型桥台处的锥坡(1-椭圆锥坡、2-U型桥台、3-路堤)
涵洞的进出口位置放椭圆锥坡能够起到良好的导流作用。
如图3所示的八字流线型涵洞[1],进水口的椭圆锥坡能够促使水流的良好收缩,引导水流均匀平顺地流进涵洞,而在出水口设椭圆锥坡能够引导水流均匀扩散流向下游。
椭圆锥坡在进水口能够保护水流对岸坡地冲洗,在出水口能够避免水流的回旋、回流和横流。
图3涵洞口处的椭圆锥坡(1—椭圆锥坡、P-P1锥坡切线、d-涵洞洞口直径)
在路基设计中也常常出现布置椭圆锥坡的情形,如图4所示,为一段路基。
当填方路堤向设有路肩挡土墙的一边过渡时一般就要设置如图所示的椭圆锥坡,如此的椭圆锥坡起到过渡作用,专门好的处置了路堤边坡向路肩挡土墙的连接,既美观又经济实用。
3.椭圆锥坡的设计及运算机程序
3.1正椭圆锥坡与斜椭圆锥坡
由于椭圆锥坡由一系例曲线组成,因此对椭圆锥坡的设计是个复杂的进程,对椭圆锥坡的设计应该从平面图、侧面图及正面图三个方面进行设计。
在对椭圆锥坡设计之前咱们应该将其分为两类即正椭圆锥坡和斜椭圆锥坡(如图5所示)。
正椭圆锥坡的两个边界坡线在平面上的投影正好是底面椭圆的长半轴和短半轴,而斜椭圆锥坡的两个边界坡的投影在正好是底面椭圆的两个共轭半径。
这种分法主如果由于桥梁与路基的连接方式不同造成的,当桥梁与路基平直的连接时,所设的锥坡即为正椭圆锥坡,但往往桥梁与路基不是平直的连接而有必然的斜交角,因此所组成的斜交椭圆锥随斜交角的不同而不同。
所以在桥梁中斜锥坡运用比较普遍,而由于涵洞一般都与路基正交,涵洞进出口的锥坡大多数都采用正椭圆锥坡,路基的连接部位一般都会选择在平直的部位因此在路基工程中一般会选择正椭圆锥坡作为连接物。
3.2椭圆锥坡的平面设计
对椭圆锥坡的平面设计其实就是对底面椭圆的肯定,即肯定底面椭圆与两临界边坡投影的关系。
两临界边坡必需知足以下三条原则[2]:
①设计最小坡度的要求(一般为1:
1)②锥坡与路基相连一侧的坡度必需与路基一致③锥坡底面要别离与路基边坡底线和桥台前缘平切。
因此只要咱们明白设计最小稳固坡度、路基边坡、坡高及斜交角(正椭圆锥坡为90°
)就可以够肯定底面椭圆的具体布置。
3.2.1正椭圆锥坡设计原理与运算机程序编写
正椭圆锥坡与路基连接的坡线在底面的投影就是椭圆的长半轴,而短半轴显然必需是最小坡度线的投影,如图6所示为一填方路基向设有路肩挡土墙的路基过渡其连接处为正椭圆锥坡。
椭圆的长半轴a=h×
m,短半轴b=h×
n,其中路基的坡度为1:
m,设计最小坡度为1:
n。
所以底面椭圆的方程为:
x2/m2+y2/n2=h2,与路基的的交壤坡度线在水平面的投影即为椭圆的长半轴a,沿路肩挡土墙方向的坡线在水平面的投影即为短半轴b。
图6正椭圆锥坡的平面图
运算机程序代码如下:
PrivateSubCommand1_Click()
'
概念未知参数
DimmAsDouble,nAsDouble
DimhAsDouble
概念所求的参数
DimaAsDouble,bAsDouble
输入已知参数给文本框
m=Val(Text1.Text)
n=Val(Text2.Text)
h=Val(Text3.Text)
计算椭圆长半轴和短半轴
a=m*h:
b=n*h
将计算结果以文本框形式输出
Text4.Text=Str(a)
Text5.Text=Str(b)
EndSub
运行结果:
(输入路基边坡坡率m=1.5,最小设计坡率n=1.0,坡高h=8后运算结果如上图椭圆长半轴a=12短半轴b=8。
)
3.2.2斜椭圆锥坡设计原理与运算机程序编写
由于斜椭圆锥坡的两个临界半径在平面的投影正好是椭圆的一对共轭半径,所以在讨论斜椭圆锥坡的平面设计之前咱们先来讨论一下椭圆共轭半径的性质。
利用平面解析几何的知识咱们能够将图7中的椭圆x2/a2+y2/b2=1看成圆x2+y2=a2通过X->
x,Y->
(a/b)y变换而来即在圆上x坐标不变y坐标向x轴紧缩,紧缩后椭圆上y轴坐标为先前圆上Y坐标的b/a。
如图所示通过变换Q点变成,P变到,又在圆上OP与OQ是两彼此垂直的半径即OP⊥OQ,按照椭圆共轭半径的概念可知与为椭圆x2/a2+y2/b2=1的一对共轭半径[3]。
又椭圆共轭半径有×
×
sinφ=a×
b,2+2=a2+b2。
图7椭圆的共轭半径
斜椭圆锥坡与正椭圆锥坡的平面设计主要不同在于,底面的椭圆投影位置不同。
如图8所示的斜椭圆锥坡为一斜交桥台处的椭圆锥坡。
为了知足椭圆锥坡设计的三条原则,底面的椭圆必将是如图8所示的斜交椭圆。
椭圆的中心就是桥台的一个角点与路基路肩的交点在平面的投影,即点O,过O点做路基边坡底线的垂线OM⊥PQ,垂足为M。
又过点O,作ON的垂线OP⊥ON,OP与PQ交于点P。
再在直线PQ上,作P点关于M点的对称点Q,连接OQ,则Q点即为椭圆与路基边坡的切点。
因此在⊿OPQ中∠P=∠OQP=φ;
又设路基边坡坡度为1:
m,最小设
计坡度为1:
n,坡高为h,则OM=mh,b=nh。
①
在RT⊿OQM中②
又OQ与ON共轭,所以=ab③;
2+2=a2+b2④。
将①、②式别离代入③式,消掉b和可得a与的关系式:
⑤
将⑤式代入④式解得:
⑥
将⑥式代入⑤式解得:
⑦
以上推导已求出了平面上椭圆的长半轴a、短半轴b、与路基相连的坡度线投影、与桥台边缘连接坡度线投影,以下求解与a的夹角(即求OQ相对于椭圆长轴的偏角)
在图9中设Q点坐标为Q(x,y)则⑧;
⑨
又因为Q点在椭圆上将⑧式和⑨式代入椭圆方程得:
,化简得:
⑩所以
图9
综上:
通过已知参数路基边坡坡度系数(m),最小设计坡度系数(n),坡高(h)及斜交角(φ)可得斜椭圆锥坡的平面设计要素,即底面椭圆的各未知参数。
归纳如下:
椭圆的长半轴
椭圆的短半轴b=nh
两共轭半径
与路基相连坡度线投影与长轴的夹角
运算机程序代码:
PrivateSubCommand1_Click()
DimpiAsDouble
pi=3.14159265
DimmAsDouble,nAsDouble
DimhAsDouble,uAsDouble
DimrAsDouble,tAsDouble
DimvAsDouble,pAsDouble
‘输入已知参数
m=Val(Text6.Text)
n=Val(Text7.Text)
h=Val(Text8.Text)
r=Val(Text9.Text)
u=r/180*pi
‘判断输入的参数是不是越界
Ifm<
0Orn<
0Orh<
0Orr<
=0Then
p=MsgBox("
输入椭圆的各参数有误"
vbOKCancel)
EndIf
DimaAsDouble,bAsDouble
Dima1AsDouble,b1AsDouble
‘计算未知参数
a1=m*h/Sin(u)
b1=h*Sqr(n^2/(m^2-n^2)*(m^2/Sin(u)^2-n^2))
a=m/n*b1
b=n*h
t=Atn(b/a*Sqr((a^2-a1^2)/(a1^2-b^2)))
v=t/pi*180
‘输出计算结果
Text1.Text=Str(a)
Text2.Text=Str(b)
Text3.Text=Str(a1)
Text4.Text=Str(b1)
Text5.Text=Str(v)
EndSub
运行结果如下:
(输入m=1.5,n=1.0,H=10,路桥偏角φ=45°
各未知参数的值见上图)
3.3椭圆锥坡的横断面设计
3.3.1横断面设计原理
椭圆锥坡横断面设计主要运用在路基设计中,在路基中通过对椭圆锥坡的横断面分析才能肯定坡角处挡土墙的高度,如图10所示的一段路基正面图示。
由于锥体坡沿线路方向在转变,要肯定坡底的路堤挡土墙高度就必需肯定锥体的横断面。
很明显在图10路基中的椭圆锥坡为正椭圆锥坡,那么在一个椭圆锥中沿图示虚线方向剖切以后,在椭圆锥坡横断面上将留下一条什么样的曲线呢?
如图11所示,咱们称如此的曲线为锥体曲线。
以下将对该曲线的数学涵义进行解释,即推导该曲线的数学解析方程。
图11锥体曲线的数学涵义
成立图11所示的坐标设底面椭圆的方程为:
,
设椭圆上存在一点,椭圆锥体高度为h
则椭圆锥体极点坐标,从而可得空间直线PM的方程:
(参数),即Ⅰ
又因为在椭圆上有:
Ⅱ
消掉Ⅰ、Ⅱ式中的、、可得:
以上方程即为椭圆锥体曲面的空间方程。
设一个平面切得锥体后的曲线方程:
可见以上方程为一双曲线方程。
又因为,其中m为
路基边坡坡率,n为最小设计坡率。
所以以上双曲线方程为:
通过已知量坡高h、路基边坡坡率m,最小设计坡率n就可以够设计出椭圆锥坡横断面上的椭圆锥体双曲线。
3.3.2运算机程序代码与运算结果分析
PublicSubzhuti()
‘概念各参数
DimhAsDouble,yAsDouble
DimnAsDouble,mAsDouble
Dimz1AsDouble,z2AsDouble
Dimx1AsDouble,x2AsDouble
‘输入已知参数
h=InputBox("
请输入坡高h"
y=InputBox("
请输入里程y"
m=InputBox("
请输入路基边坡坡率m"
n=InputBox("
请输入最小设计坡坡率n"
a=h*m:
b=h*n
‘判断输入的里程是不是已经到坡角
Ify>
bThen
y=MsgBox("
输入的里程已经到坡角最边缘"
Dimp
(2)AsDouble,q
(2)AsDouble
DimlAsAcadLine
x1=0:
z1=h-h*y/b
‘绘制椭圆锥体曲线
Do
x2=x1+0.01’通过改变步长能够提高曲线的精度
z2=h-h*Sqr(x2^2/a^2+y^2/b^2)
p(0)=x1:
p
(1)=z1:
p
(2)=0
q(0)=x2:
q
(1)=z2:
q
(2)=0
Setl=ThisDrawing.ModelSpace.AddLine(p,q)
x1=x2:
z1=z2
LoopUntilz1<
0
ThisDrawing.SaveAs("
椭圆锥体曲线.dwg"
输入h=8,y=6,m=1.5,n=1.0以后在CAD对象界面上显示如下一条锥体双曲线:
通过对h=8的椭圆锥面
即:
沿y=6的平面进行剖切后的曲线对比如图12。
可见当x的步长取0.01时两条曲线已几乎完全吻合。
以上横断面的设计主要以正椭圆锥坡为研究对象,对于斜椭圆锥坡横断面,由于有斜交角的原因其横断面要分为靠路基侧的横断面和靠桥侧的横断面,如此斜椭圆锥体分为两个小于正1/4正椭圆锥体的坡面,它们的横断面曲线仅是正椭圆锥体双曲线的一部份。
又因为斜椭圆锥坡主要运用在桥涵上,在桥涵上锥坡设挡土墙的情形较少,因此在这里就也再也不多敖述,如碰到有斜锥坡横断面设计要求情形,能够参照正椭圆锥坡的横断面设计原理。
3.4椭圆锥坡的正面设计
由于椭圆锥坡在空间中是椭圆锥体的一部份,其正面图示必将是一个三角形。
在正椭圆锥坡中为一个直角三角形。
由于在斜交桥的外侧锥坡极点的夹角为一个钝角,而内侧为锐角,因此斜交桥的外侧锥坡的正面图示为一个钝角三角形,内侧为一锐角三角形。
4.椭圆锥坡的施工放样及运算机程序
对椭圆锥坡的放样方式有很多,这里介绍两种常常利用的方式极坐标法和解析(条分)法,这两种方式各有优缺点。
4.1椭圆锥坡的极坐标放样[4]原理与程序编写
由于正椭圆锥坡能够说是斜椭圆锥坡的一种特例,因此以下均以斜椭圆锥坡为对象来讨论。
由于在椭圆锥坡的设计中咱们已经设计出了临界坡线投影相对于长轴的偏角θ,底面椭圆长半轴a和短半轴b如图8所示,又已知底面椭圆上两临界坡线的投影和,设其夹角为φ,如图13所示。
图13椭圆锥坡的极坐标放样
在图13中的椭圆中设OX为极轴ρ为极径则有坐标变换:
,将其代入直角坐标系椭圆方程可得:
,即:
施工时就可以够依照以上公式进行放样,其中为极轴与极径的夹角,a,b别离为椭圆的长半轴和短半轴。
放样时初值,又由于夹角φ与递增角δ相除往往不能除尽,在锥坡放样中常把它们的余值平均分派到开始与最后的两个等份中(设它们的余值为β,则α1=θ+δ+β/2,αn=αn-1+δ+β/2),其他角按αn=αn-1+δ放样即可。
按此理论可得该放样方式的VB程序代码如下:
DimaAsDouble,bAsDouble'
概念椭圆的长半轴和短半轴
Dimp(100)AsDouble,r(100)AsDouble'
概念极径与偏角即ρ和α
DimqAsDouble'
概念起始偏角θ
DimfAsDouble'
概念锥坡夹角φ
DimmAsDouble,nAsInteger'
概念求φ与δ的余值参数
DimtAsDouble'
概念递增角δ
DimstrAsString
'
以下为已知参数赋初值
a=Val(Text1.Text)
b=Val(Text2.Text)
q=Val(Text3.Text)
f=Val(Text4.Text)
t=Val(Text5.Text)
概念π
将角度转换为弧度
q=q/180*pi
f=f/180*pi
t=t/180*pi
托圆弧的等份数
m=f/t:
n=f/t
初值计算
r(0)=q
p(0)=a*b/Sqr(a^2*Sin(r(0))^2+b^2*Cos(r(0))^2)
r
(1)=(m-n)/2*t+t+r(0)
p
(1)=a*b/Sqr(a^2*Sin(r
(1))^2+b^2*Cos(r
(1))^2)
计算中间各等份点放样值
DimiAsInteger
Fori=2Ton-1Step1
r(i)=r(i-1)+t
p(i)=a*b/Sqr(a^2*Sin(r(i))^2+b^2*Cos(r(i))^2)
Nexti
计算末值
r(n)=r(n-1)+t+(m-n)/2*t
p(n)=a*b/Sqr(a^2*Sin(r(n))^2+b^2*Cos(r(n))^2)
将输出结果转化为字符形式
Fori=0Ton
r(i)=r(i)/pi*180
str=str&
"
α("
&
i&
)="
r(i)&
ρ("
p(i)&
Chr(13)+Chr(10)
向文本框输出放样所求参数偏角α和极径ρ
text6.Text=str
运行结果:
(以上放样结果为输入椭圆长半轴a=12,短半轴b=10,两坡线投影夹角φ=150°
递增角δ=10°
时的极坐标放样例表)
4.2椭圆锥坡的解析(条分)法放样[5]原理与程序编写
所谓椭圆锥坡的解析(条分)法放样,就是将底面的椭圆弧沿x轴(或y
轴)的直线方向均匀的分成n等份,然后求出弧上的y轴坐标(或x轴坐标)到
准线的距离来施工放样的进程。
这种方式要分两种情形(钝角和锐角)来讨论,
如图14所示。
图14椭圆锥坡的条分法放样
由于在椭圆锥坡中两临界坡线底面投影所夹钝角当切仅当包括底面椭圆的短半轴,所夹锐角当切仅当包括底面椭圆的长半轴,所以当成立如图14所示的以x轴方向为长轴,y轴方向为短轴的椭圆方程时,钝角所对应的准线L1必与x轴平行,锐角所对应的准线L2必与y轴平行(当椭圆锥坡为正椭圆锥坡时,别离与椭圆的长半轴a,短半轴b重合,现在成立一条准线即可)。
因此施工放样时,只需肯定准线上各条分的y*值或x*值就可以放出底面的椭圆弧来。
设OP、OQ、OM为椭圆锥坡临界坡线的投影,三点坐标别离为P(xn,yn),Q(x0,y0),M(xm,ym),又设计中得知与椭圆的长半轴a的偏角θ,与的夹角φ,所以:
、、
即
由以上点的坐标可得知:
的值可按照参数φ和θ求出,从而求出各条分的放样参数y*与x*。
依照此理论编写的VB程序代码如下:
概念椭圆的长半轴a和短半轴b
Dima1AsDouble,b1AsDouble'
概念临界坡线投影a'
和b'
DimqAsDouble,fAsDouble'
概念偏角θ和临界坡线投影夹角φ
Dimx(1000)AsDouble,y(1000)AsDouble'
概念条分点
Dimy1(1000)AsDouble,x1(1000)AsDouble'
概念椭圆弧上放样点到准线的距离y*(x*)
Diml1AsDouble,l2AsDouble'
概念准线与x轴(y轴)的距离
以下概念条分份数及其求余参数
DimnAsInteger,vAsDouble
DimmAsInteger,uAsDouble
DimtAsDouble,dAsDouble'
概念x、y方向的增值
DimiAsInteger'
循环参数
以下在文本中赋初值
a1=Val(Text3.Text)
b1=Val(Text4.Text)
q=Val(Text5.Text)
f=Val(Text6.Text)
l1=Val(Text7.Text)
l2=Val(Text8.Text)
t=Val(Text9.Text)
d=Val(Text10.Text)
DimpiAsDouble'
将角度转换为弧度表示
赋初值
x(0)=a1*Cos(q)
y1(0)=l1-b*Sqr(1-x(0)^2/a^2)
y(0)
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