数列通项公式方法求前n项和例题讲解和方法总结Word文档下载推荐.docx
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型,
3.
已知数列中满足a1=1,,求的通项公式.
∵
∴.
a1=*1=
4.待定系数法:
a=p
a+q(p≠1,pq≠0)型,
通过分解常数,可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。
解法:
设a+k=p(a+k)与原式比较系数可得
pk-k=q,即k=,从而得等比数列{a+k}。
4.在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1.
由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),
令bn=an+1,所以{bn}是以2为公比的等比数列.
所以bn=b1·
2n-1=(a1+1)·
2n-1=2n+1,
所以an=bn-1=2n+1-1(n∈N*).
5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式,分子只有一项
(两边取倒,再分离常数化成求解)然后用待定系数法或是等差数列
例5.
已知数列满足,求数列的通项公式。
由
得
是以首项为,公差为的等差数列
考点六、构造法
.形如
然后用待定系数法或是等差数列
6、已知数列满足求an.
将两边同除,得,变形为.
设,则.所以,
数列为首项,为公差的等比数列.
.因,所以=
得=.
求数列的通项公式
一、数列通项公式的求法
1、观察法
观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系,从而归纳出构成规律写出通项公式
例、由数列的前几项写通项公式
(1)1,3,5,7,9…
(2)9,99,999,9999,
(3)
2、定义法:
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差或公比。
这种方法适应于已知数列类型的题目.
例
(1)已知是一个等差数列,且。
求的通项.;
(2)已知数列{}为等比数列,求数列{}的通项公式;
(3)已知等比数列,若,求数列的通项公式。
(4)数列中,,求的通项公式
(5)已知数列满足,,求的通项公式
(6)已知数列中,,且当时,则
;
.
3、公式法:
已知数列的前n项和公式,求通项公式的基本方法是:
注意:
要先分n=1和n≥2
两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。
例
(1)已知数列的前n项和,求的通项公式。
(2)已知数列中,,则
(3)已知数列前n项和,求的通项公式
4
累加法:
利用求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法(可求前项和).
反思:
用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.
例.
(1)数列中,,求的通项公式
(2)在数列中,
,
求数列的通项公式?
5、累乘法:
利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:
的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).
例
(1)已知数列的首项,且,求数列的通项公式
(2)已知数列的首项,求数列的通项
6、凑配法(也叫构造新数列):
将递推公式(为常数,,)通过与原递推公式恒等变成的方法叫凑配法(构造新数列.)
例
(1)数列中,,求的通项公式
(2)已知数列中,,,求的通项公式
7、倒数变换:
将递推数列,取倒数变成
的形式的方法叫倒数变换.
例
(1)在数列中,,,求数列的通项公式?
求前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn=____________=________________,推导方法:
____________;
②等比数列前n项和Sn=推导方法:
乘公比,错位相减法.
③常见数列的前n项和:
a.1+2+3+…+n=________________;
b.2+4+6+…+2n=_________________;
c.1+3+5+…+(2n-1)=_____________;
d.
e.
(2)分组求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列,即可以分别求和,然后再合并;
(3)裂项(相消)法:
有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.
常见的裂项公式有:
①_x0001_
=-;
②=;
③=-.
(4)错位相减:
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.这种方法主要用于求数列的前n项和,其中和分别是
和
;
(5)倒序相加:
例如,等差数列前n项和公式的推导.
考点二、分组求和法:
2.求数列的前n项和。
考点三、.裂项相消法:
求数列的前n项和.
设
(裂项)
则
(裂项求和)
==
考点四、错位相减法:
4.
求数列前n项的和.
由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………………………②
(设制错位,乘以公比)
-
②得
(错位相减)
考点五、倒序相加法:
5.
求的值
设………….
①
将①式右边反序得
…………②(反序)
又因为
①+②得
(反序相加)
=89
S=44.5
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn;
(2)设{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,求{bn}的通项公式及前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13的值为(
A.
130
B.
260
C.
156
D.
168
在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N+,其中a,b为常数,则ab=________.
二、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·
bn}的前n项和,其中{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
2.设数列的前n项和为,为等比数列,且
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
例2.已知数列的首项,,….
(Ⅰ)证明:
数列是等比数列;
(Ⅱ)数列的前项和.
三、分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
2、已知数列的通项公式为,则它的前n项的和
3:
求数列的前n项和。
四、裂项相消法求和
[例1]
在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
练习1、设数列的前n项的和为,点均在函数的图像上
(1)求数列的通项公式;
(2)设是数列的前n项的和,求
3、数列的通项公式为,则它的前10项的和=
4、5.已知数列是等差数列,其前项和为
(I)求数列的通项公式;
(II)求和:
等差
等比
应用
例1.在等差数列中,,则
练习1.设{}为等差数列,公差d
=
-2,为其前n项和.若,则=()
A.18
B.20
C.22
D.24
2.已知各项均为正数的等比数列{},=5,=10,则=()
(A)
(B)
7
(C)
6
(D)
3.等差数列的前n项和为,且
=6,=4,
则公差d=________
等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6=_______
数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
6.正项等比数列=
7.等比数列的前项和为,已知,,则
8.已知等差数列的公差为3,若成等比数列,则等于()
A.9
B.3C.
-3
D.-9
9.
设等差数列的前项和为,则
(
A.3
B.4
C.5
D.6
10.已知数列为等差数列,且,,那么则等于()
11.知数列为等差数列,是它的前项和.若,,则
A.10
B.16
C.20
D.24
12.在等比数列中,首项,,则公比为
13.
若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.
14
.等比数列中,公比,记
(即表示数列的前
项之积),取最大值时n的值为()
A.8B.9C.9或10D.11
数列大题训练
1、已知等差数列满足:
,,的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令bn=(nN*),求数列的前n项和.
2.函数对任意都有
(1)求和的值
(2)数列满足:
数列是等差数列吗?
请给予证明.
3.已知数列满足是首项为1、公比为的等比数列.
(1)求的表达式;
(2)如果
求数列的前n项和.
4、数列的前项和记为
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)等差数列各项为正,前项和为,,又成等比数列,求.
5、已知数列是等差数列,且,是数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和;
(Ⅱ)
若数列满足,且是数列的前项和,求与.
6.
设是正数组成的数列,其前n项和为
并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项.
(2)令
求证:
7、已知数列是等差数列,
数列的前n项和是,且.
(Ⅰ)
求数列的通项公式;
(Ⅲ)
记,求的前n项和
8.已知数列的前项和满足,其中.
(II)设,求数列的前项和为.
9.已知数列的首项为,前项和,且数列是公差为的等差数列.
(2)若,求数列的前项和.
10、已知数列满足
(1)求的通项公式;
(2)证明:
11.已知数列的前项和是,且.
(2)设,求适合方程
的正整数的值.
数列大题训练(
答案
1、
【解析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,所以;
==。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===,
所以==,即数列的前n项和=
2.
(1)因为
故
令得
即
而
两式相加得
所以
又故数列是等差数列.
3.
(1)
当时,
(2)因
…①
…②
①一②得
又故
4、解:
(Ⅰ)由可得,
两式相减得:
又∴
故是首项为1,公比为3的等比数列
(Ⅱ)设的公比为,由得,可得,可得
故可设,又,
由题意可得,解得
∵等差数列的各项为正,∴
5、(Ⅰ)设数列的公差为,由题意可知:
解得:
…3分
…………………………………5分
6.
(1)由题意可知:
整理得
所以故
整理得:
由题意知
即数列为等差数列,其中
7、解:
(Ⅰ)设的公差为,则:
,,
∵,,∴,∴.
………………………2分
∴.
…………………………………………4分
(Ⅱ)当时,,由,得.
…………………5分
当时,,,∴,即…7分
∴是以为首项,为公比的等比数列.
…………………………………9分
(Ⅲ)由
(2)可知:
.
.……13分
8.解:
(I)∵,
当,∴,当,∵,
②
①-②:
,即:
………………………………4分
又∵,
,∴对都成立,所以是等比数列,∴
(II)∵,∴,
∴,
∴,即
.……………………………12分
9.
(1)由已知得,∴.
当时,.
,∴,.
(2)由⑴可得.
当为偶数时,,
当为奇数时,为偶数
,综上,
10.
(1)解
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴,∴。
∵n是正整数,∴,,
∴。
11.解:
(1)
当时,,由,得
当时,∵
…5分
∴是以为首项,为公比的等比数列.故
解,得
19
篇2:
几种求极限方法及总结
本文关键词:
几种,极限,方法
几种求极限方法及总结本文简介:
几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究,我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限根据极限的定义:
数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时,有-a〈.例1用定
几种求极限方法及总结本文内容:
几种求极限方法的总结
摘
要
极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究,我总结出十二种求极限的方法.
关键词
定义
夹逼定理
单调有界
无穷小
洛必达
泰勒公式
数列求和定积分
定积分
数列
1
用定义求极限
根据极限的定义:
数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时,有-a〈.
例1
用定义证明
证明:
要使不等式=成立:
解得n,取N=,于是
N=,,有即
2利用两边夹定理求极限
例2
求极限
则有:
同时有:
,于是
由.
有
已知:
∴=1
3利用函数的单调有界性求极限
实数的连续性定理:
单调有界数列必有极限.
例3
设,,(n=1,2,)(),求
显然是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见
从而
,显然是单调增加的,所以
两段除以,得
这就证明了的有界性
设,对等式两边去极限,则有
解得
4利用无穷小的性质求极限
关于无穷小的性质有三个,但应用最多的性质是:
若函数f(x)(x是无穷小,函数g(x)在U(有界,则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.
例
解4
而故
5
应用“两个重要极限”求极限
例5求
解
∴原式=
6利用洛必达法则求极限
例6求(
例7
7利用泰勒公式求极限
例8:
∵中分子为,∴将各函数展开到含项。
当时,从而=1-
8利用数列求和来求极限
有时做一些求极限的题时,若对原函数先做一些变形,化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9:
令,则
-=
,∴
原式=
9用定积分求和式的极限
例10
设函数f(x)在上连续,且f(x),求
令T=
于是lnT==
10
利用定积分求极限
利用定积分求极限可分为以下两种形式
(1)型.
定理1
设f(x)在上可积,则有:
例12
求
设f(x)=x,f(x)在上可积。
==
(2)型.
定理2
设f(x)在上可积,则有=epx
例13
令
f(x)=x,则有==exp=
11利用数列的递推公式求极限
这种方法实际上包含有两种方法
(1)利用递推关系求出通项公式,然后求极限。
这是基本的解法,它把极限的存在性与求极限问题一起解决.
例14
设=1,,3(,求
递推公式可化为3(
设,那么
所以,=1,
将以上各式相加得
如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+,利用无穷小和极限的关系,只需证明(,便可确定数列的极限确实存在且就为A.
例15
证明数列
2,2+,2+,极限存在并求出这个极限.
由题意知递推关系为,若数列的极限存在并设为A,则A=2+
,有递推关系得1+,即
因为
但2=1+,所以
由此推出数列的极限存在并且就为1+
12
利用级数收敛的必要条求极限
当计算的
题目形式很复杂时,可以作一个级数,看其是否收敛.再根据收敛的必要条计算极限.
收敛的必要条:
若级数收敛,则
例16
计算
作级数,令
有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条=0
参考文献
陈传璋
金福临
朱学炎
数学分析(第二版)高等教育出版社
.1983.7
解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6
第19卷第2期
杨曼英
《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报
1994.第2期
唐守宪
《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报
2003.1第22卷第1期篇3:
范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法
范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法本文关键词:
圆锥曲线,解题,方法,范本
范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法本文简介:
高中数学圆锥曲线解答题解法面面观汇编:
范本桥圆锥曲线解答题中的十一题型:
几乎全面版题型一:
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:
弦的垂直平分线问题题型三:
动弦过定点的问题题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题题型五:
向量问题题型六:
面积问题题型七:
弦或弦长为定值、最值问题问题八:
直线问题问题九:
对
本文内容:
高中数学圆锥曲线解答题解法面面观
汇编:
范本桥
圆锥曲线解答题中的十一题型:
几乎全面版
题型一:
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二:
弦的垂直平分线问题
题型三:
动弦过定点的问题
题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题
题型五:
向量问题
题型六:
面积问题
题型七:
弦或弦长为定值、最值问题
问题八:
直线问题
问题九:
对称问题
问题十、存在性问题:
(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:
三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系(简单题型未总结)
例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N
交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;
若不存在,请说明理由。
依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线,,,。
由消y整理,得
由直线和抛物线交于两点,得
由韦达定理,得:
则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为:
令y=0,得,则
为正三角形,到直线AB的距离d为。
解得满足②式此时。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程,然后解决相关问题,比如:
求L在x轴y轴上的截距的取值范围,求L过某定点等等。
有时候
题目的条比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:
弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1:
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出.
例题2、已知椭圆C:
的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论
(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。
从而椭圆的方程为
(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,,即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,直线MN的方程为:
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,椭圆的焦点为,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
例题4、已知点A、B、C是椭圆E:
上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
(I)
,且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:
将点C代入方程,得,椭圆E的方程为
(II)
直线PC与直线QC关于直线对称,
设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:
,即,由消y,整理得:
是方程的一个根,
即同理可得:
=
则直线PQ的斜率为定值。
共线向量问题
1:
如图所示,已知圆为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且
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