高中数学 324函数模型的应用实例二全册精品教案 新人教A版必修1Word下载.docx
- 文档编号:18816434
- 上传时间:2023-01-01
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:73.38KB
高中数学 324函数模型的应用实例二全册精品教案 新人教A版必修1Word下载.docx
《高中数学 324函数模型的应用实例二全册精品教案 新人教A版必修1Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 324函数模型的应用实例二全册精品教案 新人教A版必修1Word下载.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
10
11
12
320
280
240
请据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
师生合作回顾一元一次函数,一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”
生:
尝试解答例1
解:
根据表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为
480–40(x–1)=520–40x(桶)
由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得
y=(520–40x)x–200
=–40x2+520x–200,0<x<13
易知,当x=6.5时,y有最大值.
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
师:
帮助课本剖析解答过程,回顾反思上节课的学习成果
以旧引新激发兴趣,再现应用技能.
应用举例
4.指数型函数模型的应用
例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:
y=y0ert,
其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
1955
1956
1957
1958
1959
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
120
130
140
150
160
170
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?
试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
例2解答:
(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y=a·
bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·
bx得:
,用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:
y=2×
1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×
1.02x得y=2×
1.02175,
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷
63.98≈1.22>1.2,
所以,这个男生偏胖.
归纳总结:
通过建立函数模型,解决实际实际问题的基本过程:
形如y=bacx函数为指数型函数,生产生活中以此函数构建模型的实例很多(如例1)
在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例
师生合作总结解答思路及题型特征
师生:
共同完成例1解答:
(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55196(1+r1)=56300,可得1951年的人口增长率
r1≈0.0200.
同理可得,
r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276,
r8≈0.0222,r9≈0.0184.
于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为
r(r1+r2+…+r9)÷
9≈0.0221.
令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图并作出函数
y=55196e0.0221t(t∈N)的图象
由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y=130000代入
y=55196e0.0221t,
由计算器可得t≈38.76.
所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
通过实例求解,提炼方法整合思路提升能力.
巩固练习
练习1已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;
1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍?
什么时候世界人口是1970年的2倍?
(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;
而xx年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法?
解答:
(1)已知人口模型为
y=y0en,
其中y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有
y=5e0.003t.
当y=10时,解得t≈231.
所以,1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知,xx年世界人口数约为1970年的2倍.
(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
固化能力强化技巧
4.拟合函数模型
例3某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量y给出四种函数模型:
y=ax+b,y=ax2+bx+c,
y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?
所以y=–0.8×
0.54+1.4=1.35
本题是对数据进行函数模拟,选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图,然后作出模拟函数的图象,选择适合的几种函数类型后,再加以验证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,必须借助计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验,又必须与具体实际结合起来.
动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.
点评学生解答,总结,回答问题
解析:
本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数的变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.
由题知A(1,1),B(2,1.2),C
(3,1.3),D(4,1.37).
(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有
所以得y=0.1x+1.
(2)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点代入,有
所以y=–0.05x2+0.35x+0.7.
(3)设,将A,B两点的坐标代入,有
所以
(4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得
用已学函数模型综合求解问题,提升综合应用模型的能力.
练习2某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人分别为74,78,83,你认为谁选择的模型较好?
学生口述解题思路
老师借助电脑解答问题
(1)列表
(2)画散点图.
(3)确定函数模型.
甲:
y1=–x2+12x+41,
乙:
y2=–52.07×
0.778x+92.5
(4)做出函数图象进行比较.
计算x=6时,y1=77,y2=80.9.
可见,乙选择的模型较好.
固化解题技巧
归纳总结
1.数学模型
所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括,用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性,在纯粹状态下研究数量关系和空间形式,函数就是最重要的数学模型,用函数解决方程问题,使求解变得容易进行,这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题,则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.
2.关于数学建模中的假设
就一般的数学建模来说,是离不开假设的,如果在问题的原始状态下不作任何假设,将所有的变化因素全部考虑进去,对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面:
(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常,初步接触一个问题,会觉得围绕它的因素非常多,经仔细分析筛查,发现有的因素并无实质联系,有的因素是无关紧要的,排除这些因素,问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.
(2)降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同,经过适当的假设就可以有能力建立数学模型,并且得到相应的解.
一般情况下,是先在最简单的情形下组建模型,然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际,得到更满意的解.
师生合作交流归纳知识,整合解题体会
整合理论培养学习能力
课后练习
3.2第四课时习案
学生独立完成
固化知识提高能力
2019-2020年高中数学3.2.4函数模型的应用实例
(二)教案新人教A版必修1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 324函数模型的应用实例二全册精品教案 新人教A版必修1 324 函数 模型 应用 实例 二全册 精品 教案 新人 必修