初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析Word格式.docx
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(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算
(5)符号:
正数a的正的平方根可用表示,也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用—表示.
(6)〈—〉
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是0.
也就是,在等式(x≥0)中,规定。
(2)的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数.
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)(x≥0)<
—〉
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(0)
;
注意的双重非负性:
-(〈0)0
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数.
3、立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根
(2)一个数的立方根,记作,读作:
“三次根号”,
其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方.
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;
任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。
(5)〈—〉
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6),这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可).
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:
六、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算.同级运算时,从左到右依次进行;
不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;
运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:
第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;
第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?
幂?
底数?
指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;
括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
常考题:
一.选择题(共13小题)
1.9的平方根为( )
A.3B.﹣3C.±
3D.
2.的算术平方根是( )
A.2B.±
2C.D.±
3.下列各组数中,互为相反数的一组是( )
A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2
4.如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是( )
A.a+b>0B.ab>0C.a﹣b>0D.|a|﹣|b|>0
5.估算﹣2的值( )
A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4到5之间
6.估计的值( )
A.在3到4之间B.在4到5之间C.在5到6之间D.在6到7之间
7.估计+3的值( )
A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间
8.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( )
A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间
9.如图,在数轴上表示实数的点可能是( )
A.点PB.点QC.点MD.点N
10.数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是( )
A.﹣1B.1﹣C.2﹣D.﹣2
11.下列说法不正确的是( )
A.1的平方根是±
1B.﹣1的立方根是﹣1
C.是2的平方根D.﹣3是的平方根
12.下列各数中,3.14159,,0。
131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1个),﹣π,,,无理数的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
A.ac>bcB.|a﹣b|=a﹣bC.﹣a<﹣b<cD.﹣a﹣c>﹣b﹣c
二.填空题(共13小题)
14.的平方根是.
15.﹣8的立方根是.
16.的算术平方根是.
17.﹣()2=.
18.已知a、b为两个连续的整数,且,则a+b=.
19.已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6,则这个数是.
20.若实数a、b满足|a+2|,则=.
21.比较大小:
﹣3﹣2.
22.=.
23.5﹣的小数部分是.
24.比较大小:
(填“>”“<”“="
).
25.若x,y为实数,且,则(x+y)2010的值为.
26.若将三个数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是.
三.解答题(共14小题)
27.计算:
(﹣2)2+(﹣3)×
2﹣.
28.计算:
(﹣2)2+|﹣1|﹣.
29.求值:
+()2+(﹣1)2015.
30.阅读下面的文字,解答问题:
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如:
∵,即,
∴的整数部分为2,小数部分为.
请解答:
(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(2)已知:
,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.
31.已知:
x﹣2的平方根是±
2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.
32.已知,a、b互为倒数,c、d互为相反数,求的值.
33.设2+的整数部分和小数部分分别是x、y,试求x、y的值与x﹣1的算术平方根.
34.计算:
(﹣2)2﹣(3﹣5)﹣+2×
(﹣3)
35.
(1)有这样一个问题:
与下列哪些数相乘,结果是有理数?
A、;
B、;
C、;
D、;
E、0,问题的答案是(只需填字母):
;
(2)如果一个数与相乘的结果是有理数,则这个数的一般形式是什么(用代数式表示).
36.求值:
已知y=x2﹣5,且y的算术平方根是2,求x的值.
37.画一条数轴,把﹣1,,2各数和它们的相反数在数轴上表示出来,并比较它们的大小,用“<”号连接.
38.求x的值:
(1)4x2=25;
(2)(x﹣0.7)3=0。
027.
39.已知2a﹣1的平方根是±
3,3a+b﹣1的算术平方根是4,求12a+2b的立方根.
40.已知M=是m+3的算术平方根,N=是n﹣2的立方根,试求M﹣N的值.
初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
参考答案与试题解析
1.(2017•武汉模拟)9的平方根为( )
【分析】根据平方根的定义求解即可,注意一个正数的平方根有两个.
【解答】解:
9的平方根有:
=±
3.
故选C.
【点评】此题考查了平方根的知识,属于基础题,解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个,且互为相反数.
2.(2015•日照)的算术平方根是( )
【分析】先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可.
∵=2,
而2的算术平方根是,
∴的算术平方根是,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误.
3.(2002•杭州)下列各组数中,互为相反数的一组是( )
【分析】根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项.
【解答】解:
A、=2,﹣2与2互为相反数,故选项正确;
B、=﹣2,﹣2与﹣2不互为相反数,故选项错误;
C、﹣2与不互为相反数,故选项错误;
D、|﹣2|=2,2与2不互为相反数,故选项错误.
故选A.
【点评】本题考查的是相反数的概念,只有符号不同的两个数叫互为相反数.如果两数互为相反数,它们的和为0.
4.(2009•江苏)如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是( )
A.a+b>0B.ab>0C.a﹣b>0D.|a|﹣|b|>0
【分析】本题要先观察a,b在数轴上的位置,得b<﹣1<0<a<1,然后对四个选项逐一分析.
A、∵b<﹣1<0<a<1,∴|b|>|a|,∴a+b<0,故选项A错误;
B、∵b<﹣1<0<a<1,∴ab<0,故选项B错误;
C、∵b<﹣1<0<a<1,∴a﹣b>0,故选项C正确;
D、∵b<﹣1<0<a<1,∴|a|﹣|b|<0,故选项D错误.
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系,数轴上右边的数总是大于左边的数.
5.(2015•新疆)估算﹣2的值( )
【分析】先估计的整数部分,然后即可判断﹣2的近似值.
∵5<<6,
∴3<﹣2<4.
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法"
是估算的一般方法,也是常用方法.
6.(2014•营口)估计的值( )
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.
∵5<<6,
∴在5到6之间.
【点评】此题主要考查了估算无理数的那就,“夹逼法"
7.(2006•沈阳)估计+3的值( )
【分析】先估计的整数部分,然后即可判断+3的近似值.
∵42=16,52=25,
所以,
所以+3在7到8之间.
故选:
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小的能力,理解无理数性质,估算其数值.现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
8.(2012•义乌市)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( )
【分析】先根据正方形的面积是15计算出其边长,在估算出该数的大小即可.
∵一个正方形的面积是15,
∴该正方形的边长为,
∵9<15<16,
∴3<<4.
故选B.
【点评】本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质,根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键.
9.(2008•遵义)如图,在数轴上表示实数的点可能是( )
【分析】先对进行估算,再确定是在哪两个相邻的整数之间,然后确定对应的点即可解决问题.
∵≈3.87,
∴3<<4,
∴对应的点是M.
故选C
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系,应先看这个无理数在哪两个有理数之间,进而求解.
10.(2006•西岗区)数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是( )
【分析】首先根据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答.
∵数轴上表示1,的对应点分别为A,B,
∴AB=﹣1,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:
1﹣(﹣1)=2﹣.
【点评】本题考查的知识点为:
求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两点间的距离,求较小的数,就用较大的数减去两点间的距离.
11.(2012秋•安新县期末)下列说法不正确的是( )
【分析】A、根据平方根的定义即可判定;
B、根据立方根的定义即可判定;
C、根据平方根的定义即可判定;
D、根据平方根的定义即可判定.
A、1的平方根是±
1,故A选项正确;
B、﹣1的立方根是﹣1,故B选项正确;
C、是2的平方根,故C选项正确;
D、=3,3的平方根是±
,故D选项错误.
D.
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0的平方根是0;
负数没有平方根.
12.(2013•安顺)下列各数中,3。
14159,,0。
131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1个),﹣π,,,无理数的个数有( )
【分析】无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数.
由定义可知无理数有:
0。
131131113…,﹣π,共两个.
B.
【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:
π,2π等;
开方开不尽的数;
以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
13.(2015•枣庄)实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
A.ac>bcB.|a﹣b|=a﹣bC.﹣a<﹣b<cD.﹣a﹣c>﹣b﹣c
【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小,再对各选项进行分析即可.
∵由图可知,a<b<0<c,
∴A、ac<bc,故A选项错误;
B、∵a<b,
∴a﹣b<0,
∴|a﹣b|=b﹣a,故B选项错误;
C、∵a<b<0,
∴﹣a>﹣b,故C选项错误;
D、∵﹣a>﹣b,c>0,
∴﹣a﹣c>﹣b﹣c,故D选项正确.
【点评】本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.
14.(2015•庆阳)的平方根是±
2 .
【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.
的平方根是±
2.
故答案为:
±
2
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0的平方根是0;
15.(2015•茂名)﹣8的立方根是 ﹣2 .
【分析】利用立方根的定义即可求解.
∵(﹣2)3=﹣8,
∴﹣8的立方根是﹣2.
﹣2.
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念.如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数.
16.(2009•峨边县模拟)的算术平方根是 3 .
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值,然后即可求出其算术平方根.
∵=9,
又∵(±
3)2=9,
∴9的平方根是±
3,
∴9的算术平方根是3.
即的算术平方根是3.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,解题的关键是知道,实际上这个题是求9的算术平方根是3.注意这里的双重概念.
17.(2009•江苏)﹣()2= ﹣3 .
【分析】直接根据平方的定义求解即可.
∵()2=3,
∴﹣()2=﹣3.
【点评】本题考查了数的平方运算,是基本的计算能力.
18.(2012•枣庄)已知a、b为两个连续的整数,且,则a+b= 11 .
【分析】根据无理数的性质,得出接近无理数的整数,即可得出a,b的值,即可得出答案.
∵,a、b为两个连续的整数,
∴<<,
∴a=5,b=6,
∴a+b=11.
11.
【点评】此题主要考查了无理数的大小,得出比较无理数的方法是解决问题的关键.
19.(2009•凉山州)已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6,则这个数是.
【分析】由于一个非负数的平方根有2个,它们互为相反数.依此列出方程求解即可.
根据题意可知:
3x﹣2+5x+6=0,解得x=﹣,
所以3x﹣2=﹣,5x+6=,
∴()2=
.
【点评】本题主要考查了平方根的逆运算,平时注意训练逆向思维.
20.(2013•东莞市)若实数a、b满足|a+2|,则= 1 .
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值,代入所求代数式计算即可.
根据题意得:
解得:
,
则原式==1.
故答案是:
1.
【点评】本题考查了非负数的性质:
几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
21.(2014•射阳县三模)比较大小:
﹣3<﹣2.
【分析】先把两数平方,再根据实数比较大小的方法即可比较大小.
∵(3)2=18,
(2)2=12,
∴﹣3<﹣2.
故答案为:
<.
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较,实数大小比较法则:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小.
22.(2013•南平)= 3 .
【分析】33=27,根据立方根的定义即可求出结果.
∵33=27,
∴;
【点评】本题考查了立方根的定义;
掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键.
23.(2014•辽阳)5﹣的小数部分是 2﹣.
【分析】根据1<<2,不等式的性质3,可得﹣的取值范围,再根据不等式的性质1,可得答案.
由1<<2,得
﹣2<﹣<﹣1.
不等式的两边都加5,得
5﹣2<5﹣<5﹣1,
即3<5﹣<4,
5﹣的小数部分是(5﹣)﹣3=2﹣,
【点评】本题考查了估算无理数的大小,利用了不等式的性质:
不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,不等式的两边都加同一个数,不等号的方向不变.
24.(2014•岳麓区校级自主招生)比较大小:
>(填“>”“<”“="
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可,可以估算的整数部分,然后根据整数部分即可解决问题.
∵﹣1>1,
∴>.
故填空结果为:
>.
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等.当分母相同时比较分子的大小即可.
25.(2010•成都)若x,y为实数,且,则(x+y)2010的值为 1 .
【分析】先根据非负数的性质列出方程组,求出x、y的值,然后代入(x+y)2010中求解即可.
由题意,得:
x+2=0,y﹣3=0,
解得x=﹣2,y=3;
因此(x+y)2010=1.
【点评】本题考查了非负数的性质:
有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.
26.(2010•河南)若将三个数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是.
【分析】首先利用估算的方法分别得到﹣,,前后的整数(即它们分别在那两个整数之间),从而可判断出被覆盖的数.
∵﹣2<﹣<﹣1,2<<3,3<<4,且墨迹覆盖的范围是1﹣3,
∴能被墨迹覆盖的数是.
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系,以及估算无理数大小的能力.
27.(2014•钦州)计算:
【分析】原式第一项利用乘方的意义化简,
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